第9章 中心对称图形—平行四边形 单元全优达标卷（原卷版 解析版）

中心对称图形—平行四边形 单元全优达标卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，绕点顺时针旋转70°到的位置，若，则的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD
3．如图，在中，过点B作交延长线于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
5．如图，在正方形中，，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
6．下列四个命题：①平行四边形的对角相等；②矩形的对角线相等；③矩形的四个角都是直角；④菱形的四条边都相等；其中逆命题是真命题的是（　　）
A．① B．①③ C．①③④ D．①②③④
7．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G.若AG＝6，则DE的值为（　　）
A． B． C． D．5
8．在平面直角坐标系内，A，B，C三点的坐标分别是，，，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，矩形 中， ， ，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点 落在点 处，当 为直角三角形时， 的长为（　　）
A．3 B． C．2或3 D．3或
10．把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（　　）
A．4 B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个平行四边形相邻两边分别是12厘米和8厘米，其中一条边上的高是10厘米，这个平行四边形的面积是　 　平方厘米．
12．如图，将一副三角板在平行四边形中作如下摆放，设，那么　 　 .
13．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC=10，DM=2，则AB等于　 　
14．如图，矩形 中， ， ，顺次连接 、 、 、 的中点得到四边形 ，那么四边形 的面积为　 　.
15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，
AB＝3，AD＝10，点E在AD上且DE＝2.点G为AE的中点，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为　 　.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
18．如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
19．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：BF=DF；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．
①求证：四边形BFDG是菱形；
②若AB=3，AD=4，求FG的长．
20．已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，
（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图1）：
①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；
②证明：AE⊥BF；
（2）如果动点E、F满足BE=OF（如图2），问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．
21．如图，，是四边形的对角线的三等分点，，的延长线分别平分，，交点分别为点，.
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形.
22．如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且
AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，于点E．
（1）过点C作于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证．
24．如图，D是等边三角形ABC边BC上一点，DE∥AC交AB于点E，B，B′关于直线DE成轴对称，连接B′E，B′D分别交AC于点F，G．
（1）求证：四边形AEDG是平行四边形；
（2）当四边形AEDG是菱形时，求这个菱形的面积与△ABC的面积之比；
（3）当AB＝6，DE＝2AE时，直接写出四边形AEDG的两条对角线长AD＝　 　，EG＝　 　.
25．如图1，平面直角坐标中，O为坐标原点，点A、C都在坐标轴上，，连接，，矩形的面积是60．
（1）求点B坐标；
（2）如图2，点E、F分别在线段、上，，连接，当四边形是平行四边形时，求点F坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点Q在的延长线上，连接，点M是的中点，连接、、，点N在上，连接，，连接并延长交y轴于点P，连接，当时，求点N坐标．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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中心对称图形—平行四边形 单元全优达标卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，绕点顺时针旋转70°到的位置，若，则的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转到的位置，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质，角的和差关系求解。根据旋转的性质可知，，再根据角的和差关系求解．
2．如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，OA=OC，AD=BC，对角线互相平分，但不一定垂直，
∴ 所以A符合题意，B、C、D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质逐项判断即可。
3．如图，在中，过点B作交延长线于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角相等可得∠A=∠C=40°，由余角的性质可得∠EBC=90°-∠C，据此计算.
4．如图，在菱形中，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
5．如图，在正方形中，，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
6．下列四个命题：①平行四边形的对角相等；②矩形的对角线相等；③矩形的四个角都是直角；④菱形的四条边都相等；其中逆命题是真命题的是（　　）
A．① B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：①原命题的逆命题为对角相等的四边形是平行四边形，根据四边形内角和为360度，结合对角相等，可得邻角互补，即可证明对边平行，据此可证明四边形是平行四边形，逆命题是真命题；
②原命题的逆命题是对角线相等的四边形是矩形，逆命题是假命题，例如等腰梯形的对角线也相等；
③原命题的逆命题是四个角是直角的四边形是矩形，逆命题是真命题；
④原命题的逆命题是四条边相等的四边形是菱形，逆命题是真命题，
综上，真命题有①③④.
故答案为：C．
【分析】一个命题一般包括题设与结论两部分，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出原命题的逆命题，据此先分别写出各个命题的逆命题；进而根据平行四边形的判定方法、矩形的判定方法、菱形的判定方法逐个判断出其真假即可.
7．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G.若AG＝6，则DE的值为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥FG，交FG于点H，
由翻折可知：AF＝AD＝9，DE＝EF，
∵AG＝6，
∴GD=AD-GD=3，
∵FG⊥AD，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵FG⊥AD，EH⊥FG，
∴四边形GHED为矩形，
∴GH＝DE，HE＝GD＝3，
设DE＝x，则GH＝EF＝x， ，
∵在Rt△HEF中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点E作EH⊥FG，交FG于点H，由翻折可知：AF＝AD＝9，DE＝EF，则GD=AD-GD=3，利用勾股定理求出FG，易得四边形GHED为矩形，则GH＝DE，HE＝GD＝3，设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF=-x，然后利用勾股定理进行计算.
8．在平面直角坐标系内，A，B，C三点的坐标分别是，，，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】【解答】解：∵平行四边形两组对边分别平行，
∴以OB、BC为邻边，第四个顶点坐标为（-1，2），在第四象限；
以OC、BC为邻边，第四个顶点坐标为（1，-3），在第二象限；
以OC、OB为邻边，第四个顶点坐标为（7，2），在第一象限；
∴ 第四个顶点不可能在第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等，分类讨论：①以OB、BC为邻边，②以OC、BC为邻边，③以OC、OB为邻边，结合点的坐标与图形性质判断出第四个顶点所在的象限，即可逐项判断得出答案.
9．如图，矩形 中， ， ，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点 落在点 处，当 为直角三角形时， 的长为（　　）
A．3 B． C．2或3 D．3或
【答案】D
【解析】【解答】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示。
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A. B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5 3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4 x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4 x）2，解得x= ，
∴BE= ；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示。
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3.
综上所述，BE的长为 或3.
故答案为：D.
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
10．把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个平行四边形相邻两边分别是12厘米和8厘米，其中一条边上的高是10厘米，这个平行四边形的面积是　 　平方厘米．
【答案】80
12．如图，将一副三角板在平行四边形中作如下摆放，设，那么　 　 .
【答案】75°
【解析】【解答】解：如图，过点作，
，
由题意得：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：75°.
【分析】过点E作MN∥AB，根据平行线的性质可得∠BEN=∠1=30°，由题意可得∠3=45°，结合平角的概念以及对顶角的性质可求出∠FEN的度数，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，则MN∥CD，由平行线的性质可得∠2+∠FEN=180°，据此计算.
13．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC=10，DM=2，则AB等于　 　
【答案】6
【解析】【解答】延长BD交AC于F，
AD平分∠BAC 且BD⊥AD
≌
(填空题可以直接用三线合一的逆定理判定)
DM是三角形BCF的中位线
DF=4
AB=AF=AC-FC=10-4=6
故填：6
【分析】根据已知垂直和平分的条件，很容易想到三线合一的逆定理，证得D是中点且AB为等腰三角形的腰，再根据中位线的定理，中位线平行与底边且等腰底边的一半求出线段FC，进一步可求AB.
14．如图，矩形 中， ， ，顺次连接 、 、 、 的中点得到四边形 ，那么四边形 的面积为　 　.
【答案】24
【解析】【解答】解：连接HF、EG，
∵矩形ABCD，
∴BC∥AD，BC=AD，
∵H、F分别为边DA、BC的中点，
∴BF=AH，
∴四边形BFHA是平行四边形，
∴AB=HF=6，AB∥HF，
同理BC=EG=8，BC∥EG，
∵AB⊥BC，
∴HF⊥EG，
∴四边形EFGH的面积是 EG×HF= ×6×8=24.
故答案为：24.
【分析】连接HF、EG，根据矩形的性质，结合中点的性质，求出四边形BFHA是平行四边形，得出HF的长，同理求出EG，然后根据平行线的性质求出HF⊥EG，则可得出四边形EFGH的面积是 EG×HF，最后代入数据计算即可.
15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为　 　．
【答案】35
【解析】【解答】解：∵四边形ABD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠D=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∵∠DCE+∠DEC=90°．
∴∠AEF=∠DCE，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE=CD，AF=DE=2，
∴AD=AE+DE=AE+2，
∵矩形ABCD的周长为24，
∴2（AE+ED+CD）=24，
∴2（2AE+2）=24，
解得：CD=AE=5，
∴AD=7，
∴矩形ABCD的面积=AD×CD=7×5=35，
故答案为：35．
【分析】先证出△AEF≌△DCE（AAS），可得AE=CD，AF=DE=2，再结合矩形ABCD的周长为24，可得2（AE+ED+CD）=24，求出CD=AE=5，再结合AD=7，最后求出矩形ABCD的面积=AD×CD=7×5=35即可。
16．如图，在矩形ABCD中，
AB＝3，AD＝10，点E在AD上且DE＝2.点G为AE的中点，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为　 　.
【答案】5
【解析】【解答】解：如图，连接PA.
∵AG=EG，EF=FP，
∴GF= PA，
∴GF+EF= （PA+PE），
求出PA+PE的最小值即可，
作点A关于BC的对称点T，连接ET交BC于P′，此时P′E+P′A的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EAT=90°，
∵AB=BT=3，
∴AT=6，
∵AD=10，DE=2，
∴AE=AD-DE=10-2=8，
∴P′E+P′A=P′E+P′T=ET= ，
∴EG+EF的最小值为 ×10=5，
故答案为：5.
【分析】首先证明GF+EF= （PA+PE），求出PA+PE的最小值即可，作点A关于BC的对称点T，连接ET交BC于P′，此时P′E+P′A的值最小.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF（ ASA ），
∴AE=DF
（2）解：若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵若AD平分∠BAC∴∠EAD=∠DAF，又∵∠ADE=∠DAF，
∴∠EAD=∠ADE
∴AE=DE．
∴平行四边形AEDF为菱形
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠ADE=∠DAF，∠DAE=∠FDA，又AD=DA，根据ASA判断出△ADE≌△DAF，根据全等三角形对应边相等得出AE=DF
（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形，根据角的平分线，及等量代换得出∠EAD=∠ADE，根据等角对等边得出AE=DE．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论。
18．如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
【答案】（1）解：长方形游泳池面积为：
平方米；
（2）解：∵长方形空地的面积为：
平方米，
∴休息区面积
平方米；
（3）解：∵
，
∴休息区的面积大于游泳池面积．
【解析】【分析】（1）由图形可得：游泳池的长为a，宽为a-2b，然后根据矩形的面积公式进行计算；
（2）根据休息区的面积=长方形空地的面积-游泳池的面积进行解答；
（3）利用作差法表示出休息区与游泳池面积之差，然后结合偶次幂的非负性进行判断.
19．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：BF=DF；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．
①求证：四边形BFDG是菱形；
②若AB=3，AD=4，求FG的长．
【答案】（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵DF=BF，
∴四边形BFDG是菱形；
②∵AB=3，AD=4，
∴BD=5．
∴OB= BD= ．
假设DF=BF=x，∴AF=AD-DF=4-x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即32+（4-x）2=x2，
解得x= ，
即BF= ，
∴FO= = = ，
∴FG=2FO= ．
【解析】【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
20．已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，
（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图1）：
①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；
②证明：AE⊥BF；
（2）如果动点E、F满足BE=OF（如图2），问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．
【答案】（1）解：延长AE交BF于点M．
①△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；
②证明：根据正方形的性质，
在△BAE和△CBF中，
∵ ，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
根据外角性质，∠AFB=∠BCF+∠CBF=45°+∠CBF，
又∵∠FAM=45°﹣∠BAE，
∴∠AMF=180°﹣（∠FAM+∠AFM）=180°﹣（45°+∠CBF+45°﹣∠BAE）=90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：当AE⊥BF时，点E在BO中点．证明如下：
延长AE交BF于点M，如图所示：
∵∠BME=∠AOE，∠BEM=∠AEO，
∴△BEM∽△AEO，
∴ ，
∵∠MBE=∠OBF，∠BME=∠BOF，
∴△BEM∽△BFO，
∴ ，
∵AO=BO，
∴EO=OF，
∵BE=OF，
∴BE=EO，
故当AE⊥BF时，点E在BO中点．
【解析】【分析】（1）①根据正方形性质及BE=CF即可得出全等的三角形，②根据全等三角形及正方形的性质即可得出结论，（2）根据正方形性质及已知条件得出△BEM∽△AEO，△BEM∽△BOF，再根据三角形相似的性质即可得出答案．
21．如图，，是四边形的对角线的三等分点，，的延长线分别平分，，交点分别为点，.
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形.
【答案】（1）解：连接交于，连接，，
∵，是的三等分点
∴
是中点，
是的一条中位线，
，即，
同理：，
四边形是平行四边形.
∴，，
∴，即
（2）解：由（1）得：，
又，
，即
四边形是平行四边形.
【解析】【分析】（1） 连接交于，连接，， 由三等分点可得， 从而得出 GE是的一条中位线 ，可得，，同理求出 ，根据平行四边形的定义可证四边形是平行四边形，可得，，，从而得出结论；
（2） 由（1）得，，由可得，根据对角线互相平分即证四边形是平行四边形.
.
22．如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且
AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
【答案】（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF.
∵在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，
∴△ABC≌DEF（SAS）.∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF.
∴四边形BCEF是平行四边形．
（2）解：连接BE，交CF与点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形.
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC= .
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC．
∴ ，即 .∴ .
∵FG=CG，∴FC=2CG= ，
∴AF=AC﹣FC=5﹣ .
∴当AF= 时，四边形BCEF是菱形．
【解析】【分析】（1）根据题意，证明得到△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质，平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据平行四边形的性质结合勾股定理，证明得到菱形即可。
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，于点E．
（1）过点C作于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证．
【答案】（1）解：CF即为所求（作图如图所示）；
（2）证明：∵AC，BD是矩形ABCD的对角线，
∴．
∵，，
∴．
又
∴．
∴
【解析】【分析】（1）利用尺规作图过点C作BD的垂线即可；
（2）由矩形的性质可得OA=OC，由垂直的定义可得，由对顶角相等可得，根据AAS证明，利用全等三角形的对应边相等即得结论．
24．如图，D是等边三角形ABC边BC上一点，DE∥AC交AB于点E，B，B′关于直线DE成轴对称，连接B′E，B′D分别交AC于点F，G．
（1）求证：四边形AEDG是平行四边形；
（2）当四边形AEDG是菱形时，求这个菱形的面积与△ABC的面积之比；
（3）当AB＝6，DE＝2AE时，直接写出四边形AEDG的两条对角线长AD＝　 　，EG＝　 　.
【答案】（1）证明：如图，
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵DE∥AC
∴∠1=∠A=60°
∠2=∠C=60°
∵B与B′关于DE对称
∴∠3=∠2=60°
∴∠1=∠3=60°
∴DG∥AE
∴四边形AEDG是平行四边形
（2）解：由（1）知，∠1=∠2=60°
∴ΔDBE是等边三角形
∴ED＝BE＝BD
同理，ΔDGC是等边三角形
∴DG＝DC＝GC
同（1），四边形DCFE是平行四边形
当四边形AEDG为菱形时，AE＝ED＝DG＝AG
∴AE＝BE＝BD＝CD＝CG＝GA
∵∠A=∠B=∠C＝∠3=60°
∴ΔAEG≌ΔEDG≌ΔBED≌ΔCDG
∴面积之比为1：2
（3）；
【解析】【解答】（3）由（2）可知△BED和△CDG是等边三角形，
∴BE=DE=BD，CD=DG=CG，
∵DE=2AE，AE=CD，BE=BD，
∴AB=3AE即=2，
∴BE=BD=DE=4，
由（1）可知四边形AEDG是平行四边形，
∴CD=DG=CG=AE=2，DG∥AB，
过点D作DM⊥AB于M，过点G作GN⊥DE于N，过点C作CH⊥AB于H，CH交DG于L，如图3
∴CL⊥AB
∴ BM=ME=BE=2
∵△ABC是等边三角形，
∴BH=AB=3
在Rt△BCH中
∴
同理可得：CL=
∴AM=AE+ME=2+2=4，
在Rt△ADM中
；
∴S平行四边形AEDG=S△ABC-S△BDE-S△CDG
=
=；
∴DE·NG=
在Rt△MDE中
∴NG=
在Rt△DNG中
∴EN=ED-DN=4-1=3，
在Rt△ENG中
.
故答案为：，.
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∠A=∠B=∠C=60°，利用平行线的性质可推出∠2=∠C=60°，利用轴对称的性质可求出∠3的度数，从而可证得∠1=∠3，然后利用平行线的判定定理，可证得DG∥AE，由此可证得结论.
（2）利用等边三角形的判定和性质可证得DG=DC=GC，可证得四边形DCFE是平行四边形，利用菱形的性质可证得AE＝BE＝BD＝CD＝CG＝GA，由此可推出ΔAEG≌ΔEDG≌ΔBED≌ΔCDG，即可求出这个菱形的面积与△ABC的面积之比.
（3）由（2）可知△BED和△CDG是等边三角形，结合已知条件可求出AE的长，从而可求出BE的长；利用平行四边形的性质可证得CD=DG=CG=AE=2，DG∥AB，过点D作DM⊥AB于M，过点G作GN⊥DE于N，过点C作CH⊥AB于H，CH交DG于L，如图3，先求出BM，ME的长，利用等边三角形的性质可求出BH的长，利用勾股定理分别求出CH，DM，CL的长；根据AM=AE+ME，可求出AM的长，利用勾股定理求出AD的长；再根据S平行四边形AEDG=S△ABC-S△BDE-S△CDG，求出四边形AEDG的面积，利用勾股定理求出DE的长，利用平行四边形的面积公式可求出NG的长；在Rt△DNG中，利用勾股定理求出DN的长，根据EN=ED-DN，可求出EN的长；然后在Rt△ENG中，利用勾股定理求出EG的长.
25．如图1，平面直角坐标中，O为坐标原点，点A、C都在坐标轴上，，连接，，矩形的面积是60．
（1）求点B坐标；
（2）如图2，点E、F分别在线段、上，，连接，当四边形是平行四边形时，求点F坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点Q在的延长线上，连接，点M是的中点，连接、、，点N在上，连接，，连接并延长交y轴于点P，连接，当时，求点N坐标．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ 轴， 轴，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴设 ，则 ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：
延长 交 于G，
∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴
取 中点H，连接 ，
∴ 且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵M是 中点，H是 的中点，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴
∴ ，
∴ 是 中位线，
∴ 轴
∴ ，
∴
连接 ， 为 斜边中线，
∴ ，
∴
又∵N是 中点，
∴
在x轴负半轴上取 ，连接 ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ， ，
∴
设 ，则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）先由点D的坐标即可得到OD的长，再运用勾股定理即可求出OA的长，进而即可求出矩形的面积，得到 ， ，再根据题意即可求解；
（2）设 ，则 ，进而即可表示出AE、OF、DF，再根据平行四边形的性质即可求解；
（3）延长 交 于G，先平行线的性质结合三角形全等的判定即可得到 ，连接 ，再运用三角形全等的性质结合直角三角形斜边上的中线的性质即可得到，取 中点H，连接 ，接着根据平行四边形的判定得到 ，进而即可得到，再根据三角形中位线定理即可得到 ， ，再结合题意运用三角形全等的判定即可得到，再根据三角形中位线定理结合题意得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质结合题意得到；在x轴负半轴上取 ，连接 ，进而即可得到，再运用勾股定理列出方程求出m即可求解。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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