广东省广州市黄广牛剑高级中学2024-2025高一（下）月考数学试卷（3月份）（图片版含答案）

2024-2025 学年广东省广州市黄广牛剑高级中学高一（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 855°的值是( )
A. 12 B.
1
2 C.
2
2 D.
2
2
2.已知 = (4,6), + = (6,2)，则 =( )
A. (2, 4) B. ( 2,4) C. (2, 12 ) D. ( 2,
1
2 )
3.在△ 中，点 是 上靠近点 的四等分点，设 = , = ，则 =( )
A. 1 + 3 B. 1 + 2 C. 2 + 1 4 4 3 3 3 3 D.
3
4 +
1
4

4.下列说法正确的是( )
A.向量 与向量 的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.若 // ， // ，则 //
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
5 1.若 tan( + 4 ) = 6，则 =( )
A. 5 57 B. 7 C.
7
5 D.
7
5
6.已知向量 = ( , 3)， = (1,4)， = (2,1)，且(2 3 ) ⊥ ，则实数 =
A. 9 152 B. 0 C. 3 D. 2
7 2 6.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 2 2 = 2 3 ，则 2 =( )
A. 4 3 25 B. 4 C. 2 2 D. 2
8 △ = 1.如图，在 中，点 在线段 上，且 .若3 = 9

，则 的值为( )
A. 2 B. 3
C. 52 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (2,1)， = ( 3,1)， 是与 同向的单位向量，则下列结论正确的是( )
第 1页，共 7页
A. + 与 共线 B. 3 10 10单位向量 = ( 10 , 10 )
C. 1向量 在向量 上的投影向量为 2 D.若 = (
5
5 ,
2 5
5 )，则 ⊥
10 .如图是函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < 2 )的部分图象，下列说法正确的是( )
A.函数 ( )的周期是
B. ( 5 点 12 , 0)是函数 ( )图象的一个对称中心
C. 2025 直线 = 4 是函数 ( )图象的一条对称轴
D.将函数 ( ) 的图象向右平移6个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
11.在△ 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 = 3，( + )( ) = ( )，
则( )
A. = 6 B. △ 的周长的最大值为 3 3
C.当 最大时，△ 3的面积为 2 D. 2 + 的最大值为 3 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 , 为单位向量，且| + | = 1，则|2 | =______．
13.如图，已知正方形 1的边长为 3，且 = ( 2
+ )， 与 交于点 ，
则 = ______．
14.△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 + = 0， = 2.若点 与点 在 两侧， =
2 ， / / 且 ， ， ， 四点共圆，则四边形 的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
如图， 1 1是以向量 = ， = 为邻边的平行四边形， 是对角线的交点，且 = 3 ， = 3 .
试用 、 表示 、 、 ．
16.(本小题 12 分)
在平面直角坐标系中，已知 = (1, 2)， = (3,4)．
第 2页，共 7页
(1)若(3 )//( + )，求实数 的值；
(2)若( ) ⊥ ，求实数 的值．
17.(本小题 12 分)
在平面直角坐标系 中，向量 = ( , )， = ( + 1, + + 3)，其中 0 < < ．
(1)若 // ，求角 的值；
(2)记 ( ) = ，若 ( ) = 12，求 (2

3 )的值．
18.(本小题 12 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足(2 ) = ．
(1)求角 的大小；
(2)设 = 2， = 7．
( )求边 的值；
( )求 cos(2 )的值．
19.(本小题 12 分)
已知函数 = ( )的定义域为集合 ，若 ∈ 都有 ( + ) > ( )，其中 为正常数，则称函数 ( )为“
距”增函数．
(1)若函数 ( ) = + ，试判断函数 ( )是否为“ 距”增函数，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = + 1 , ∈ [
1
2 , + ∞)为“ 距”增函数，求正实数 的取值范围；
(3)若函数 ( ) = log 2(4 + ) ， ∈ [0, + ∞)为“2 距”增函数，求 ( )的最小值．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 7
13.3
14. 3
15.
16.解：(1) ∵ = (1, 2)， = (3,4)，
∴ 3 = 3(1, 2) (3,4) = (0, 10)，
+ = (1, 2) + (3,4) = (3 + 1,4 2)，
∵ (3 )//( + )，∴ 0 + 10(3 + 1) = 0，解得 = 13．
(2) = (1, 2) (3,4) = (1 3 , 2 4 )，
∵ ( ) ⊥ ，∴ ( ) = 3 × (1 3 ) + 4 × ( 2 4 ) = 25 5 = 0，
1
解得 = 5．
第 4页，共 7页
17.
18.解：(1) △ 中，(2 ) = ，
由正弦定理得(2 ) = ，
所以 2 = ，
即 2 = + ，
所以 2 = sin( + ) = ，
因为 ∈ (0, )，所以 = 12，

又 为三角形内角，所以 = 3．
(2) = 2， = 7，
( )由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，得 7 = 4 + 2 2 ，即 2 2 3 = 0，
解得 = 3．
3× 3
( ) 由正弦定理得 = =
2 3 21
7 = 14 ，
所以 2 = 1 2 2 = 1 2 × 27 1328 = 14，
第 5页，共 7页
2
= +
2 2 = 4+7 9 7所以 2 2×2× 7 = 14，
2 = 2 = 2 × 3 21 × 7 = 3 3所以 14 14 14 ，

因为 = 3，
所以 cos(2 ) = 2 + 2 = 13 1 3 3 3 114 × 2+ 14 × 2 = 7．
19.解：(1)函数 ( ) = + 是“ 距”增函数，理由如下：
因为 ( )的定义域为 ，
任取 ∈ ， ( + ) ( ) = sin( + ) + + ( + )
= +
= 2 ，
因为 ≤ 1，所以 2 > 0，
即 ( + ) ( ) > 0，
所以 ( + ) > ( )，
所以函数 ( ) = sin + 是“ 距”增函数；
(2) ( ) = + 1 1因为函数 ， ∈ [ 2 , + ∞)为“ 距”增函数，
1
所以对任意 ∈ [ 2 , + ∞), ( + ) > ( ),
所以 + + 1 1 1 1 + ( + ) = + + > 0，

即 + ( + ) > 0，
1
因为 > 0, ≥ 2，
所以 2 + 1 > 0，
因为函数 = 2 + 1 图象开口向上且对称轴为 = 2 < 0，
所以函数 = 2 + 1 [ 1在 2 , + ∞)上单调递增，
= 1 3所以当 2时，函数 =
2 + 1 取得最小值为 = 2 4，
若 2 + 1 > 0 1对任意 ≥ 2都成立，
3 3
则2 4 > 0，即 > 2，
因此若函数 ( ) = + 1 ∈ [ 1 ， 2 , + ∞)为“ 距”增函数，
第 6页，共 7页
则 ∈ ( 32 , + ∞)；
(3)由题意可知， > 4 ，
若函数 ( ) = 2(4 + ) ， ∈ [0, + ∞)为“2 距”增函数，
则 ∈ [0, + ∞)， ( + 2) > ( )，
即 (4 +22 + ) ( + 2) [ 2(4 + ) ] > 0，
4 +2 + 即 2 4 + > 2，
即4 +2 + > 4 × (4 + )，
所以 4 < < 4 +1， ∈ [0, + ∞)
所以 1 < < 4，
由 ( ) = 2(4 + ) =

2(2 + 2 )，
设 ( ) = 2 + 2 ，
①当 1 < ≤ 1 时， 1， 2 ∈ [0, + ∞)且 1 < 2，

(2 2
1 1 2 1 2
则 ( 1) ( 2) = 2 1 + 2 2 = 2 1 2 2
2 )
2 1 2 2 + 2 1 2 2 =
(2 2 )(2 2 )
2 12 2 ，
因为 0 ≤ 1 < 2，
所以2 1 2 2 < 0，2 12 2 > 0，2 12 2 > 0，
1 2 1 2
所以 ( ) ( ) = (2 2 )(2 2 )1 2 2 12 2 < 0，
即 ( 1) < ( 2)，
所以 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在[0, + ∞)上单调递增，
( ) = (0) = log2( + 1)；
②当 1 < < 4 时， ( ) = 2 + 2 ≥ 2 2
× 2 = 2 ，当且仅当2
= 2 ，即 = log4 时，取得等号．
此时 ( ) = 22 ，1 < < 4，
2( + 1), 1 < ≤ 1
综上， ( ) = ． 22 , 1 < < 4
第 7页，共 7页