18.2.3正方形 练习（含解析）2024-2025人教版（2012）数学八年级下册

18.2.3正方形 练习
一、单选题
1．已知矩形的对角线交于点O，下列条件中能判定四边形是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
2．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．7 C． D．
3．用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的个数为（ ）
①；②为等边三角形；③；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，正方形的边长为，连接，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．
5．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为，若 ，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形的边长均为定值，点H在线段上，从点F向点C运动，在这个过程中，的面积（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．不确定
7．如图，已知正方形和正方形，点、、、分别是菱形的四条边的中点，点、分别在、上，若，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．4
8．如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
9．如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
11．如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在边长为18的正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在上，且四边形和均为正方形，记的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，的面积为，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ．
14．如图，在正方形中，，为对角线上的一动点，以为斜边向右作等腰，则的最小值为 ．
15．如图，设四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此下去．则第2024个正方形的边长为 ．
16．如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，，则点P到直线的距离为 ．
三、解答题
17．在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点．
(1)连接，如图1，求证：；
(2)如图2，过点作交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长．
18．如图，四边形是正方形，是上任意一点（点与、不重合），于，于．
(1)求证：；
(2)求证：．
19．如图，点在正方形的边上（不与点，重合），是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，．
(1)根据题意补全图形，并证明；
(2)①求证：；
②探究线段，，之间的数量关系．
20．如图，正方形中，点M，N分别在，上，且，与相交于点P．
(1)求证：；
(2)求的大小．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B D B C B C D D
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：矩形中，对角线交于点O，
，，
A，，不能判定四边形是正方形；
B，，不能判定四边形是正方形；
C，，不能判定四边形是正方形；
D，，由对角线互相垂直的矩形为正方形，能判定四边形是正方形；
故选D．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理，等角对等边，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质得因为，所以，即，再运用勾股定理列式，得，故阴影部分的面积，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积
，
故选：C．
3．B
【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可．
【详解】解：由折叠得：，垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
故①②正确，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵为等边三角形，，，
∴，，
设，则，
由勾股定理得：，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴在中，，
而，
∴，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，综合性较强，难度较大．
4．D
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，延长交于点E，根据正方形的性质结合已知条件证得，再根据勾股定理的逆定理证得和是直角三角形，再证，从而得出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，延长交于点E，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形且，
∴，
∵，
∴是直角三角形且，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．证明，可得，再利用等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】此题考查正方形的性质，平行线的判定和性质，根据正方形的性质及平行线的判定和性质得到，由此与之间的距离处处相等，即可判断点H在线段上，从点F向点C运动，在这个过程中的面积不变．
【详解】解：∵四边形均为正方形，
∴，
∴，
∴与之间的距离处处相等，
设与之间的距离为h，
∴的面积，是定值，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握并且灵活运用相关知识，作出适当的辅助线是解题的关键．
连接，，易证E，A，B，G四点共线，，从而，由中位线定理有，从而得到，又因为，由勾股定理表示出，由从而得到．
【详解】解：如图，连接，，
四边形是菱形，
，
点M，N，C，D分别是菱形的四条边的中点，
，
四边形 和四边形是正方形，
，，
，
，
E，A，B三点共线，
同理G，A，B也三点共线，
E，A，B，G四点共线，
，
在与中，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，作，由边长为3的正方形，等腰三角形，．F为的中点，得．，，得，H是的中点，得，，，即可得．
【详解】解：作交于I，
边长为3的正方形，等腰三角形，．F为的中点，
．，，
，
，，
H是的中点，
，
，，，
．
故选：C
9．D
【分析】根据题意直接证明，进而得，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：D．
10．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键．
根据正方形的性质可得，进而运用勾股定理得到，再证明得到，然后说明，最后根据直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵四边形为正方形，，
∴，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵点H为的中点，
∴．
故选D．
11．C
【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，进而得，然后根据即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键．
12．D
【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．先求出，证明是等腰直角三角形，设，则，再证明是等腰直角三角形，则，同理，则，由此解得，进而得，，据此可对选项A，B进行判断；再设，证明是等腰直角三角形，则，，同理，则，由此解出，进而得，，据此可对选项C，D进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：四边形是正方形，且边长为18，是对角线，
，，，
在中，由勾股定理得：，
四边形是正方形，
，，，
，
是等腰直角三角形，
设，
由勾股定理得：，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
同理：，
，
，
，，
故选项A，B均正确，不符合题意；
四边形是正方形，
设，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
同理：，
，
，
，，
故选项C正确，不符合题意；选项D不正确，符合题意．
故选：D．
13．或
【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，求出的长，并证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第二种情况是当，且点E在的垂直平分线上时，证为等边三角形，求出，即可求出的长．
【详解】解：①如图，当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，

由题意知，为等边三角形，
∴，
，
，
在四边形中，
，
，
，
∴在中，
，
；
②如图，当，且点E在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，
，
又，
为等边三角形，
，
，
在中，，
∴，
解得．
综上所述，的值为或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，度所对的直角边是斜边的一半等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答．
14．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半，准确找到点的运动轨迹，证明是解题的关键．
延长到点M，使，连接，，,利用正方形性质和旋转全等模型证明，从而可得和是直角三角形，从而由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，再由．即可得出结论．
【详解】解：延长到点M，使，连接，，，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵是以为斜边作等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴的最小值为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了正方形的性质以及图形类规律探索，解题关键是利用正方形的对角线等于边长的倍的性质，并注意正方形的序数与指数的关系．根据正方形的对角线等于边长的倍，进行依次求解，然后根据指数的变化求出第n个正方形的边长即可．
【详解】解：∵四边形是边长为1的正方形，
∴第二个正方形的边长，
第三个正方形的边长，
同理：第n个正方形的边长，
∴第2024个正方形的边长为．
故答案为：．
16．3
【分析】本题主要考查角平分线的性质、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键．利用正方形的性质得到为的平分线，直接利用角平分线的性质即可求解．
【详解】解：过点作于点，

∵四边形为正方形，
∴平分，
又∵，
，
∴点到直线的距离为3．
故答案为：3．
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，即可；
（2）连接，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得，，，根据，四边形的内角和，则，推出，根据平角的性质，可，等量代换，可得，根据等边对等角，可得，根据三角形的内角和，即可；
（3）延长到，使，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得
，，由（2），根据角的数量关系，可得，根据全等三角形的判定和性质，可得，，再根据线段之间的数量关系，即可．
【详解】（1）解：证明如下：
∵四边形是正方形，是对角线
∴，
∵是公共边
∴
∴．
（2）解：证明如下：
连接，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
（3）解：延长到，使，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴
∴．
【点睛】本题考查正方形，全等三角形，等腰三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，进行解答，即可．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据正方形的性质，利用证明即可；
（2）利用全等三角形的性质结合线段之间的和差关系即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，
∴．
19．(1)图形见解析，证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由正方形的性质可知，即可证明结论；
（2）①连接，，首先证明，得，再证明，得，，得出是等腰直角三角形，从而得出答案；
②连接，首先利用，证明四边形是平行四边形，得，则，在中，利用勾股定理可得结论．
【详解】（1）解：补全图形如图，
证明：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）①证明：如图，连接，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②解：．
证明：连接，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
20．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）利用证明全等即可；
（2）根据全等的性质，得到，由，从而求出．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴．