广东省佛山市桂城中学2024-2025高一（下）第一次月考数学试卷（图片版含答案）

2024-2025 学年广东省佛山市桂城中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = 1 3 ，则 的虚部为( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
2 .cos2 12 sin
2
12 =( )
A. 12 B.
3 2
3 C. 2 D.
3
2
3.若 = 60°，则 3 =( )
A. 0 B. 1 C. 3 D. 2
4.已知| | = 2，且 = 2，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. 1 B. 1 2 2 C. D.

5.已知向量 ， 满足：| | = 1，| + 2 | = 2，且( 2 ) ⊥ ，则| | =( )
A. 12 B.
2 C. 32 2 D. 1
6 2 = 3.若 5，则sin
4 + cos4 =( )
A. 1725 B.
17
25 C.
8
25 D.
8
25
7.要得到函数 = + 的图象，只需将函数 = 2 2 的图象上所有的点( )
A. 先向右平移8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)
B. 1先向左平移8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)
C. 先向右平移4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)
D. 1先向左平移4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)
8.已知△ 中， = 2， = 3，∠ = 60°， = 2 ， = ，则 =( )
A. 1
B. 2
C. 12
D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.在平面直角坐标系 中，已知角 的终边经过点 (3, 4)下列说法正确的有( )
A. = 35
B. + = 1sin cos 7
sin( 2+ )sin(2 + )C. 3tan( )cos( + ) = 5
D. 1+ 1 sin +
1+ 7
1 cos = 5
10.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列说法正确的是( )
A. cos( + ) =
B.若 ： ： = 1：2：3，则 ： ： = 1：2：3
C.若 > ，则 >
D.若sin2 + sin2 sin2 < 0，则△ 是钝角三角形
11.如图是函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图像，则( )
A. ( )的最小正周期为
B. = 5 6是函数 = ( )的一条对称轴
C.将函数 = ( ) 的图像向右平移3个单位后，得到的函数为奇函数
D.若函数 = ( )( > 0)在[0, ] 5 4上有且仅有两个零点，则 ∈ [ 6 , 3 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = 3 5， 为锐角，则 cos( + 6 ) = ______．
13 5 .已知向量 ， 的夹角为 6，| | = 2 3,
= (3,4)，则| + 2 | = ______．
14.在△ 中，| + | = 4，| + | = 2，则△ 面积的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
在平面直角坐标系中，已知 = (1, 2)， = (3,4)．
(1)若(3 )//( + )，求实数 的值；
(2)若( ) ⊥ ，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 3cos2 .
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)当 ∈ [ 3 , 3 ]时，求函数 ( )的值域．
17.(本小题 15 分)
在△ 3中，角 、 、 的对边分别为 ， ， .已知 = 5
(1)若 = 92，求△ 的面积；
(2) 设向量 = (2 2 , 3)， = ( , cos 2 )，且 // ， = 5 3，求 的值．
18.(本小题 17 分)

养殖户承包一片靠岸水域，如图所示， 、 为直线岸线， = 2 千米， = 3 千米，∠ = 3，该
承包水域的水面边界是某圆的一段弧 ，过弧 2 上一点 按线段 和 修建养殖网箱，已知∠ = 3．
(1)求岸线上点 与点 之间的直线距离；
(2)如果线段 上的网箱每千米可获得 2 万元的经济收益，线段 上的网箱每千米可获得 4 万元的经济收
益.记∠ = ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？
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19.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点，对于函数 ( ) = + ，称向量 = ( , )为函数 ( )的相伴特征向量，同时
称函数 ( )为向量 的相伴函数．
(1)若 = ( 3, 1)为 ( ) = ( 6 )的相伴特征向量，求实数 的值；
(2) 8 记向量 = (1, 3)的相伴函数为 ( )，求当 ( ) = 5且 ∈ ( 3 , 6 )时 的值；
(3)已知 ( 2,3) ， (2,6)， ( )为(1)中函数， ( ) = ( 2 3 )，请问在 = ( )的图象上是否存在一点 ，
使得 ⊥ ，若存在，求出 点坐标；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 3 410
13.2 13
14.43
15.解：(1) ∵ = (1, 2)， = (3,4)，
∴ 3 = 3(1, 2) (3,4) = (0, 10)，
+ = (1, 2) + (3,4) = (3 + 1,4 2)，
∵ (3 )//( + )，∴ 0 + 10(3 + 1) = 0，解得 = 13．
(2) = (1, 2) (3,4) = (1 3 , 2 4 )，
∵ ( ) ⊥ ，∴ ( ) = 3 × (1 3 ) + 4 × ( 2 4 ) = 25 5 = 0，
= 1解得 5．
16.解：(1)函数 ( ) = 2 + 2 3cos2 = 2 + 3 2 + 3
= 2 (2 + 3 ) + 3，
2 + 5 令 3 ∈ [2 2 , 2 + 2 ], ∈ ，解得 ∈ [ 12 , + 12 ], ∈ ，
2 + ∈ [2 + , 2 + 3 令 3 2 2 ], ∈ ，解得 ∈ [ +

12 , +
7
12 ], ∈ ，
5
所以函数的单调递增区间为[ 12 , + 12 ]， ∈ ，
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单调递减区间为[ + 7 12 , + 12 ]， ∈ ；
(2) ∈ [ 当 3 , 3 ]时，2 +
∈ [ 3 3 , ]，

当 2 + 3 = 2时， ( ) = 2 + 3，
2 + 3当 3 = 3时， ( ) = 2 × ( 2 ) + 3 = 0，
所以函数 ( )的值域为[0,2 + 3].
17.解：(1)由 = 92，得 =
9
2．
= 3 = 9 = 15又因为 5，所以 2 2．
又 为△ 4 1的内角，所以 = 5 .所以△ 的面积 = 2 = 3．
(2)因为向量 = (2 2 , 3)， = ( , cos

2 )，且 // ，
2 所以 2 cos 2 = 3 ，即 = 3 ．
因为 ≠ 0，所以 = 3．
因为 为三角形的内角，0 < < ，
= 所以 3．
所以 = sin( + ) = + = 3 3 1 4 4+3 32 × 5 + 2 × 5 = 10 ，
5 3
由正弦定理， = 4+3 3 = 3 = 4 + 3 3．
10 2
18.解：(1) = 2 千米， = 3 ∠ = 千米， 3，
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ∠ = 4 + 9 2 × 2 × 3 × 12 = 7，
所以 = 7，
即岸线上点 与点 之间的直线距离为 7千米．
(2)在△ 2 中，∠ = 3，∠ = ，

由正弦定理可得：sin∠ = sin∠ ，
7 = 即
sin2 sin(

3 )
= sin ，
3
7 2 21
则 = 3 sin( 3 ) = 3 sin( 3 )，
2
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= 73 =
2 21
3 (0 < <

3 )，
2
设两段网箱获得的经济总收益为 万元，
则 = 2 + 4 = 4 21 8 213 sin( 3 ) + 3
= 4 21 [sin( 3 3 ) + 2 ] =
4 21
3 (
3 3
2 + 2 ) = 4 7sin( +

6 )，
∈ (0, ) 因为 3 ，所以 + 6 ∈ ( 6 , 2 )，

所以 = 4 7sin( + 6 ) ∈ (2 7, 4 7)．
所以两段网箱获得的经济总收益最高接近 4 7万元．
19.解：(1) ( ) = ( ) = 36 2
1
2 ，
又 = ( 3, 1)为 ( ) = ( 6 )的相伴特征向量，
∴ = 2；
(2) ∵向量 = (1, 3)的相伴函数为 ( ) = + 3 ，
又 ( ) = + 3 = 2 ( + ) = 83 5，
∴ sin( + ) = 43 5，∵ ∈ (

3 ,

6 )，∴ +

3 ∈ (0,

2 )，
∴ cos( + 33 ) = 5，
∴ = sin[( + ) ] = 13 3 2 sin( +

3 )
3
2 cos( +
4 3 3
3 ) = 10 ；
(3) 由题可知 ( ) = 2 ( 6 )，
∴ ( ) = ( ) = 2 [( ) 2 3 2 3 6 ] = 2 (

2

2 ) = 2

2，
( , 2 1设 2 )，∵ ( 2,3)， (2,6)，
∴ = ( + 2,2 12 3)，
= ( 2,2 12 6)，
又∵ ⊥ ，∴ = 0，
∴ ( + 2)( 2) + (2 1 12 3)(2 2 6) = 0，
即 2 4 + 4 2 12 18
1
2 + 18 = 0，
∴ (2 1 92 2 )
2 = 254
2，
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∵ 2 ≤ 2 12 ≤ 2，
∴ 13 ≤ 2 1 92 2 2 ≤
5
2，
∴ 254 ≤ (2
1
2
9 2 169
2 ) ≤ 4 ，
∵ 25 2 ≤ 25又 4 4，
∴ = 0 (2 1 9 )2 25 2 25当且仅当 时， 2 2 和 4 同时等于 4，
∴在 = ( )图像上存在点 (0,2)，使得 ⊥ ．
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