2.1二次函数～2.2二次函数的图象与性质 阶段训练（含答案） 2024-2025数学北师大版九年级下册

2.1二次函数～2.2二次函数的图象与性质
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列函数是二次函数的是(　B　)
A.y=x+1 B.y=x(x+1)
C.y=(x+1)2-x2 D.y=
2.在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x(0A.y=x2 B.y=25-x2
C.y=x2-25 D.y=25-2x
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a为常数,且a>0)的图象上有四点A
(-1,y1),B(3,y1),C(2,y2),D(-2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是(　B　)
A.y1C.y24.已知抛物线y=(2-a)x2+1有最低点,那么a的取值范围是(　D　)
A.a>0 B.a<0
C.a>2 D.a<2
5.在平面直角坐标系中,把抛物线y=x2-2x+5先向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的抛物线为(　D　)
A.y=(x-5)2+4 B.y=(x+3)2+8
C.y=(x+3)2+1 D.y=(x-5)2+1
6.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　B　)
A　　 　B　　　C　　 　D
7.(2024北京月考)已知二次函数y=2 024x2+2 023x+2 022的图象上有两点A(m,2 024),B(n,2 024),则当x=m+n时,二次函数的值为(　B　)
A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,其图象如图所示.现有下列结论:①abc>0;②b-2a<0;③a-b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>
n(an+b)(n是不为1的常数).
其中正确的是(　D　)
A.①③
B.②④
C.③⑤
D.④⑤
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.(2024 长沙三模)抛物线y=-(x-2)2+6的顶点坐标为　(2,6)　 .
10.如图所示,☉O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是　2π　.
11.已知二次函数y=x2-4x-m的最小值是1,则m=　-5　.
12.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-2x+6向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,平移后所得的抛物线如图所示,点A在平移后的抛物线上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD长度的最小值为　8　.
三、解答题(共52分)
13.在同一平面直角坐标系中画出函数y=x2,y=x2-2,y=(x+1)2的图象,并分别说明函数y=x2-2,y=(x+1)2的图象可由函数y=x2的图象经过怎样的平移而得到.
解:函数y=x2,y=x2-2,y=(x+1)2的图象如图所示.
函数y=x2-2的图象可由函数y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度而得到;
函数y=(x+1)2的图象可由函数y=x2的图象沿x轴向左平移1个单位长度而得到.
14.如图所示,将二次函数y=-x2+k的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的新图象与x轴交于点A,B,已知点A的坐标为(-1,0),点B在x轴的正半轴上,平移后的图象的顶点为点C,过点C分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点D,E,连接BE交CD于点F.
(1)求k的值及点C的坐标;
(2)求△CEF与△BDF的面积之比.
解:(1)由题意,得二次函数y=-x2+k的图象平移后的表达式为y=-(x-
1)2+k+1.
∵点A的坐标为(-1,0),
∴0=-(-1-1)2+k+1,解得k=3,
∴y=-(x-1)2+4,∴顶点C(1,4).
(2)∵点A(-1,0),平移后的对称轴为直线x=1,∴点B(3,0),∴CE=1,
BD=2.
∵CE∥BD,
∴△CEF∽△DBF,
∴==.
15.如图所示,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴
右侧.
(1)写出C的对称轴和y的最大值.
(2)求a的值,并求出点P到对称轴的距离.
(3)坐标平面上放置一透明胶片,在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P′,C′.平移该胶片,使C′对应的函数表达式为y=-x2+4x-4.求点P′移动的最短路程.
解:(1)∵y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,
∴C的对称轴为直线x=6,
y的最大值为4.
(2)把P(a,3)代入y=4-(6-x)2,得
4-(6-a)2=3,解得a=5或a=7.
∵点P(a,3)在C的对称轴右侧,∴a=7.
∴点P的坐标为(7,3).
又对称轴为直线x=6,
∴点P到对称轴的距离为1.
(3)∵y=-x2+4x-4=-(x-2)2,
∴C′可由y=-(x-6)2+4先向左平移4个单位长度,再向下平移4个单位长度得到.∵=4,
∴点P′移动的最短路程为4.2.1二次函数～2.2二次函数的图象与性质
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列函数是二次函数的是( )
A.y=x+1 B.y=x(x+1)
C.y=(x+1)2-x2 D.y=
2.在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x(0A.y=x2 B.y=25-x2
C.y=x2-25 D.y=25-2x
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a为常数,且a>0)的图象上有四点A
(-1,y1),B(3,y1),C(2,y2),D(-2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1C.y24.已知抛物线y=(2-a)x2+1有最低点,那么a的取值范围是( )
A.a>0 B.a<0
C.a>2 D.a<2
5.在平面直角坐标系中,把抛物线y=x2-2x+5先向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的抛物线为( )
A.y=(x-5)2+4 B.y=(x+3)2+8
C.y=(x+3)2+1 D.y=(x-5)2+1
6.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A　　 　B　　　C　　 　D
7.(2024北京月考)已知二次函数y=2 024x2+2 023x+2 022的图象上有两点A(m,2 024),B(n,2 024),则当x=m+n时,二次函数的值为( )
A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,其图象如图所示.现有下列结论:①abc>0;②b-2a<0;③a-b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>
n(an+b)(n是不为1的常数).
其中正确的是( )
A.①③
B.②④
C.③⑤
D.④⑤
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.(2024 长沙三模)抛物线y=-(x-2)2+6的顶点坐标为 .
10.如图所示,☉O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 .
11.已知二次函数y=x2-4x-m的最小值是1,则m= .
12.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-2x+6向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,平移后所得的抛物线如图所示,点A在平移后的抛物线上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD长度的最小值为 .
三、解答题(共52分)
13.在同一平面直角坐标系中画出函数y=x2,y=x2-2,y=(x+1)2的图象,并分别说明函数y=x2-2,y=(x+1)2的图象可由函数y=x2的图象经过怎样的平移而得到.
14.如图所示,将二次函数y=-x2+k的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的新图象与x轴交于点A,B,已知点A的坐标为(-1,0),点B在x轴的正半轴上,平移后的图象的顶点为点C,过点C分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点D,E,连接BE交CD于点F.
(1)求k的值及点C的坐标;
(2)求△CEF与△BDF的面积之比.
15.如图所示,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴
右侧.
(1)写出C的对称轴和y的最大值.
(2)求a的值,并求出点P到对称轴的距离.
(3)坐标平面上放置一透明胶片,在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P′,C′.平移该胶片,使C′对应的函数表达式为y=-x2+4x-4.求点P′移动的最短路程.