第二章　二次函数　综合评价卷 （含答案） 2024-2025数学北师大版九年级下册

第二章　二次函数　综合评价卷
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.有下列函数:①y=1-x2;②y=;③y=x(1-x);④y=(1-2x)(1+2x).其中,二次函数有( )
A.1个　　　　　　　B.2个　　　　　　　
C.3个　　　　　　　D.4个
2.抛物线y=3x2-5的顶点坐标是( )
A.(0,-5) B.(0,0) C.(0,5) D.(3,-5)
3.抛物线y=-x2+x+1经平移后,不可能得到的抛物线是( )
A.y=-x2+x B.y=-x2-4
C.y=-x2+2 021x-2 022 D.y=-x2+x+1
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如表所示,点A(-4,y1),B(-2,y2),C(4,y3)在该二次函数的图象上,则y1,
y2,y3的大小关系为( )
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
A.y1=y3C.y15.一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
A　　　 　B　　 　　C　　 　　D
6.点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上,则m-n的最大值为( )
A. B. 4
C.- D.-
7.如图所示的是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2.5 m,则水面宽度增加( )
A.1 m B.2 m C.3 m D.6 m
8.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过(0,6),且有最小值,则该二次函数的图象与x轴交点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.不确定
9.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-2,0),B(6,0),与y轴相交于点C,有以下结论:①b2-4ac>0;②4a+b=0;③当y>0时,-2<6;④a+b+c<0.其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.我们将图象顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为互异二次函数.如图所示,在正方形OABC中,点A,C的坐标分别为(0,2),
(2,0),则互异二次函数y=(x-m)2-m的图象与正方形OABC有交点时,m的最大值和最小值分别是( )
A.4,-1 B.,-1 C.4,0 D.,-1
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.已知y=(m+1)+2x-3是二次函数,则m的值为 .
12.若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上,则c= .
13.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=m(x+3)2+n与y=m(x-
2)2+n+1交于点A,过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C(点B在点C左侧),则线段BC的长为 .
14.公园要建造圆形的喷水池,水面中心O处垂直于水面安装一个柱子,柱子顶端处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,如图所示.安装师傅调试时发现,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面内.喷头高5 m时,水柱落点距O点5 m;喷头高8 m时,水柱落点距O点6 m.现要使水柱落点距O点8 m,则喷头高应调整为 m.
三、解答题(共74分)
15.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(-3,0),(2,-5).
(1)求此二次函数的表达式.
(2)点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上
16.(12分)已知二次函数的图象y=x2-4x+3.
(1)求该二次函数的图象与x轴的交点坐标;
(2)如图所示,在所给的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象,并写出当y<0时,x的取值范围.
17.(12分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值;
(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且点P到y轴的距离是2,求点P的坐标.
18.(13分)如图所示,某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成,其中OA=20 m,OC=7 m,最高点P与地面的距离为9 m,以地面OA所在直线为x轴,OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的表达式.
(2)暑期来临之际,该活动中心工作人员设计了6 m长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来(条幅的宽可忽略不计),为了安全起见,条幅最低处不能低于地面上方2 m.设条幅与OC的水平距离为 m m,求出m的取值范围.
19.(13分)如图所示,抛物线y=ax2+bx-3与x轴相交于点A(-1,0),
B(3,0),与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点,当PA=PC时,求点P的
坐标;
(3)点M为该抛物线上第四象限内的一点,连接BC,CM,当∠BCM=90° 时,求点M的坐标.
20.(14分)如图所示,抛物线y=ax2-3ax-4a经过点C(0,2),交x轴于点A,B(点A在点B左侧),连接BC,直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,与BC上方的抛物线交于点E,与BC交于点F.
(1)求抛物线的表达式及点A,B的坐标.
(2)是否存在最大值 若存在,请求出其最大值及此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.第二章　二次函数　综合评价卷
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.有下列函数:①y=1-x2;②y=;③y=x(1-x);④y=(1-2x)(1+2x).其中,二次函数有(　C　)
A.1个　　　　　　　B.2个　　　　　　　
C.3个　　　　　　　D.4个
2.抛物线y=3x2-5的顶点坐标是(　A　)
A.(0,-5) B.(0,0) C.(0,5) D.(3,-5)
3.抛物线y=-x2+x+1经平移后,不可能得到的抛物线是(　D　)
A.y=-x2+x B.y=-x2-4
C.y=-x2+2 021x-2 022 D.y=-x2+x+1
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如表所示,点A(-4,y1),B(-2,y2),C(4,y3)在该二次函数的图象上,则y1,
y2,y3的大小关系为(　B　)
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
A.y1=y3C.y15.一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是(　A　)
A　　　 　B　　 　　C　　 　　D
6.点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上,则m-n的最大值为(　C　)
A. B. 4
C.- D.-
7.如图所示的是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2.5 m,则水面宽度增加(　B　)
A.1 m B.2 m C.3 m D.6 m
8.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过(0,6),且有最小值,则该二次函数的图象与x轴交点的个数为(　A　)
A.0 B.1 C.2 D.不确定
9.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-2,0),B(6,0),与y轴相交于点C,有以下结论:①b2-4ac>0;②4a+b=0;③当y>0时,-2<6;④a+b+c<0.其中正确的有(　B　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.我们将图象顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为互异二次函数.如图所示,在正方形OABC中,点A,C的坐标分别为(0,2),
(2,0),则互异二次函数y=(x-m)2-m的图象与正方形OABC有交点时,m的最大值和最小值分别是(　D　)
A.4,-1 B.,-1 C.4,0 D.,-1
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.已知y=(m+1)+2x-3是二次函数,则m的值为　1　.
12.若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上,则c=　9　.
13.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=m(x+3)2+n与y=m(x-
2)2+n+1交于点A,过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C(点B在点C左侧),则线段BC的长为　10　.
14.公园要建造圆形的喷水池,水面中心O处垂直于水面安装一个柱子,柱子顶端处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,如图所示.安装师傅调试时发现,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面内.喷头高5 m时,水柱落点距O点5 m;喷头高8 m时,水柱落点距O点6 m.现要使水柱落点距O点8 m,则喷头高应调整为　16　m.
三、解答题(共74分)
15.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(-3,0),(2,-5).
(1)求此二次函数的表达式.
(2)点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上
解:(1)由题意,得
解得
∴此二次函数的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)当x=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,
∴点P(-2,3)在这个二次函数的图象上.
16.(12分)已知二次函数的图象y=x2-4x+3.
(1)求该二次函数的图象与x轴的交点坐标;
(2)如图所示,在所给的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象,并写出当y<0时,x的取值范围.
解:(1)当y=0时,x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,
∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0).
(2)∵y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1,
∴该二次函数图象的顶点坐标为(2,-1).
令x=0,则y=3,∴该二次函数的图象经过点(0,3).
画函数图象如图所示.
由图象,知当y<0时,117.(12分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值;
(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且点P到y轴的距离是2,求点P的坐标.
解:(1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,
∴k2+k-6=0,解得k1=-3,k2=2.
又∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k与x轴有两个交点,
∴3k<0,∴k<0,∴k=-3.
(2)由(1),得抛物线的关系式为y=x2-9.
∵点P在抛物线y=x2-9上,且点P到y轴的距离是2,
∴点P的横坐标为2或-2.
当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5,
∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).
18.(13分)如图所示,某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成,其中OA=20 m,OC=7 m,最高点P与地面的距离为9 m,以地面OA所在直线为x轴,OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的表达式.
(2)暑期来临之际,该活动中心工作人员设计了6 m长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来(条幅的宽可忽略不计),为了安全起见,条幅最低处不能低于地面上方2 m.设条幅与OC的水平距离为 m m,求出m的取值范围.
解:(1)∵在矩形OABC中,OA=20 m,OC=7 m,
∴AB=7 m,BC=20 m,
∴C(0,7),B(20,7),
∴抛物线的对称轴为直线x==10,
∴P(10,9).
设抛物线的表达式为y=a(x-10)2+9,
把C(0,7)代入,得a(0-10)2+9=7,
解得a=-,
∴y=(x-10)2+9.
(2)由题意可知,当y=6+2=8时,-(x-10)2+9=8,
解得x1=10+5,x2=10-5,
∴当y≥8时,10-5≤x≤10+5,
即m的取值范围为10-5≤m≤10+5.
19.(13分)如图所示,抛物线y=ax2+bx-3与x轴相交于点A(-1,0),
B(3,0),与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点,当PA=PC时,求点P的
坐标;
(3)点M为该抛物线上第四象限内的一点,连接BC,CM,当∠BCM=90° 时,求点M的坐标.
解:(1)抛物线y=ax2+bx-3与x轴相交于点A(-1,0),B(3,0),
∴设抛物线表达式为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a=ax2+bx-3,
∴3a=3,则a=1,
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
(2)抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1.
∵点P在该抛物线对称轴上,∴设P(1,p),
∴PA=,PC=.
∵PA=PC,
∴=,
∴p=-1,∴P(1,-1).
(3)∵B(3,0),C(0,-3),
∴OB=OC=3.
设M(m,m2-2m-3).
当∠BCM=90°时,如图所示,过点M作MH⊥y轴于H,
则HM=m.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°,
∴∠HCM=90°-∠OCB=45°,
∴∠HMC=45°=∠HCM,∴CH=MH.
∵CH=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m,∴-m2+2m=m,
∴m=0(不符合题意,舍去)或m=1,
∴M(1,-4).
20.(14分)如图所示,抛物线y=ax2-3ax-4a经过点C(0,2),交x轴于点A,B(点A在点B左侧),连接BC,直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,与BC上方的抛物线交于点E,与BC交于点F.
(1)求抛物线的表达式及点A,B的坐标.
(2)是否存在最大值 若存在,请求出其最大值及此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)把C(0,2)代入y=ax2-3ax-4a,得-4a=2,解得a=-,
则该抛物线的表达式为y=-x2+x+2.
∵y=-x2+x+2=-(x+1)(x-4),解得x1=-1,x2=4,
∴A(-1,0),B(4,0).
(2)存在.
由题意,知点E位于y轴右侧,过点E作EG∥y轴,交BC于点G,如图所示,
∴CD∥EG,∴=.
∵直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,∴D(0,1),
∴CD=2-1=1,∴=EG.
设直线BC的表达式为y=mx+n(m≠0).
将B(4,0),C(0,2)代入y=mx+n(m≠0),得解得
∴直线BC的表达式是y=-x+2.
设E(t,-t2+t+2),其中0∴EG=(-t2+t+2)-(-t+2)=-(t-2)2+2,
∴=-(t-2)2+2.
∵-<0,∴当t=2时,存在最大值,最大值为2,此时点E的坐标是(2,3).