浙江省杭州东方中学2024-2025高二（上）期末数学试卷（含答案）

浙江省杭州东方中学 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线 2 = 4 的准线方程是( )
A. = 2 B. = 2 C. = 1 D. = 1
2.圆( 3)2 + ( + 2)2 = 1与圆( 7)2 + ( 1)2 = 16的位置关系是( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含
2 2
3.“1 < < 3”是“方程 + = 1表示椭圆”的( )
3 1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
4.与椭圆 + = 1有相同焦点，且长轴长为4√ 5的椭圆的方程是( )
9 4
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
25 20 20 25 20 15 15 20
5.已知递减等差数列{ }， 1，
2
2024是方程 2025 + 2024 = 0两个实根，当 = 0时， =( )
A. 2026 B. 2025 C. 1012 D. 2
6.如图，已知四面体 的棱长都是2，点 为棱 的中点，则 · 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
第 1 页，共 9 页
7.如图，在 中，∠ = 90 ， = 2， = 1，当点 、 分别在 、 轴上运动，点 到原点 的最
大距离是( )
A. 1 + √ 2 B. √ 6 C. √ 5 D. 3
2 2
8.点 是椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点 ，圆 与 轴相交于
, 两点，若 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是( )
√ 5 1
A. (2 √ 3, 1) B. ( , 1)
2
√ 6 √ 2 √ 6 √ 2 √ 5 1
C. ( , 1) D. ( , )
2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2
9.已知双曲线 2 = 1，则双曲线( )
3
A. 焦点坐标为( √ 2, 0)和(√ 2, 0)
1 1
B. 渐近线方程为 = 和 =
3 3
2√ 3
C. 离心率为
3
√ 3
D. 与直线 : = + 1有且仅有一个公共点
3
10.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两
个球，事件 =“第一次取出的是红球”，事件 =“第二次取出的是红球”，事件 =“取出的两球同色”，
事件 =“取出的两球不同色”，则( )
A. 与 互斥 B. 与 互为对立事件
1
C. 与 相互独立 D. ( | ) =
3
第 2 页，共 9 页
11.如图，在直四棱柱 1 1 1 1中， = 2√ 2， 1 = 2，点 , 在以线段 为直径的圆 上运动，
且 , , 三点共线，点 , 分别是线段 , 1 1的中点，下列说法中正确的有( )
A. 存在点 ，使得平面 1与平面 1 1 不垂直
B. 当直四棱柱 1 1 1 1的体积最大时，直线 1 与直线 1垂直
C. 当 = 2时，过点 1, , 的平面截该四棱柱所得的截面周长为2√ 5 + 3√ 2
5
D. 当 = 2时，过 的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 (3,5)、 (5,7)，直线 的斜率是直线 斜率的√ 3倍，则直线 的倾斜角为 ．
13.已知数列{ 2 }的前 项和为 = 2 + 3 + 1，则数列{ }的通项公式为 ．
2
14.已知椭圆 + 2 = 1的左、右顶点分别为 , ，动点 ( 1, 1), ( 2, 2)均在椭圆上， 是坐标原点，记 4
1
和 的斜率分别为 1, 2； 与 的面积分别为 1, 2.若 1 2 = ，则 2 1 2的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
(1)直线 1: + 2 = 0与直线 2: (
2 2) + 2 = 0平行，求 的值；
(2)直线 1: + (1 ) 3 = 0与直线 2: ( 1) + (2 + 3) 2 = 0垂直，求 的值．
16.(本小题12分)
7
在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , .已知cos = ，3 = 4 ．
8
(1)求cos 的值；

(2)求sin(2 + )的值．
6
17.(本小题12分)
已知直线 2 2 1: + 1 = 0与圆 : + 2 2 = 0( > 0)交于 ， 两点，且∠ = 30 ．
(1)求实数 的值；
第 3 页，共 9 页
(2)若点 为直线 2: + + 2 = 0上的动点，求 的面积．
18.(本小题12分)
已知底面 是正方形， ⊥平面 ， // ， = = 3 = 3，点 、 分别为线段 、 的
中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
√ 42
(3)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，若存在求出 的值，若不存在，
7
说明理由．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，若点 ( 0, 0)满足 0, 0都是整数，则称点 为格点．
2 2
(1)指出椭圆 + = 1上的所有格点；
8 2
(2)设 , 是抛物线 = 2上的两个不同的格点，且线段 的长度是正整数.求直线 的斜率的所有可能值；

(3)设 ( ≥ 3且 ∈ )项的数列{ }满足：点 ( , +1)是函数 = √ 2 4的图象上的格点2
( = 1,2, , 1).则是否存在正整数 ，使得数列{ }为常数列；若存在，请求出正整数 的取值范围；若
不存在，请说明理由．
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】

12.【答案】60 或
3
2, = 1
13.【答案】 = { 4 + 5, ≥ 2
2
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)因为直线 1: + 2 = 0与直线
2
2: ( 2) + 2 = 0平行，
所以 1 ( 2 2) = 0，解得 = ±1，
经检验，当 = 1时，两直线重合，
所以 = 1；
(2)因为直线 1: + (1 ) 3 = 0与直线 2: ( 1) + (2 + 3) 2 = 0垂直，
所以 ( 1) + (1 )(2 + 3) = 0，解得 = 1或 3．
16.【答案】解：(1)在 中， 3 = 4 ，
2
2 3 2 2
+ 2 ( ) +
2
7
又因为 cos = = 4
2 3
= ,
2× 8
4
1
解得 = ，
2
由余弦定理可得
2+ 2
2 3 2 2 2
( ) +( )
cos = = 4 2
1
3 = ． 2 2 4
4 2
第 5 页，共 9 页
1
(2)由(1)可知cos = ，且 中 ∈ (0, )，
4
√ 15
所以 sin = √ 1 2 = ，
4
√ 15 7
从而 sin2 = 2sin cos = ， cos2 = 2 2 = ．
8 8

故 sin (2 + ) = sin 2 cos + cos 2 sin
6 6 6
√ 15 √ 3 7 1 3√ 5+7
= × × = ．
8 2 8 2 16
17.【答案】解：(1)将圆 : 2 + 2 2 2 = 0( > 0)化为( )2 + ( 1)2 = 2 + 1，
所以其圆心 ( , 1)，半径 = √ 2 + 1，作 ⊥ 于点 ，
由垂径定理可得 为 的中点，如下图所示：
1 1
由∠ = 30 可得| | = | | = ，
2 2
| | | | √ 2+1
又| | = = = , > 0，
√ 1+1 √ 2 2
所以 = 1；
√ 2
(2)由(1)可知| | = ，所以| | = 2√ 3 × | | = √ 6，
2
直线 2: + + 2 = 0与直线 1: + 1 = 0平行，
|2+1| 3√ 2
所以点 到 的距离为 = = ，
√ 1+1 2
1 1 3√ 2 3√ 3
因此 的面积为 = | | = × √ 6 × = ．
2 2 2 2
18.【答案】(1)证明：法一：分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
由题意可知点 、 分别为线段 、 的中点．所以 // ， // ，
因为 // ，所以 // ，所以点 、 、 、 四点共面，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 // ，
第 6 页，共 9 页
因为 平面 ， 平面 ，所以 // 平面 ，
又因为 // ， 平面 ， 平面 ，所以 // 平面 ，
又因为 ∩ = ， 、 平面 ，所以平面 // 平面 ，
因为 平面 ，所以 // 平面 ；
法二：因为 为正方形，且 ⊥ 平面 ，所以 、 、 两两互相垂直，
以点 为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
3 3 3 1
则 (0,0,3) 、 (3,3,0) 、 (0,3,1) 、 (3,0,0) 、 ( , 0, ) 、 ( , 3, ) ，
2 2 2 2
所以 = (0,3, 1) ，易知平面 的一个法向量 = (1,0,0) ，
→ →
所以 = 0 ，所以 ⊥ ，
又因为 平面 ，所以 // 平面 ．
(2)解：设平面 的法向量 = ( , , ) ， = (3,3, 3) ， = ( 3,0,1) ，
= 3 + 3 3 = 0
则 { ，取 = 1 ，可得 = (1,2,3) ，
= 3 + = 0
所以平面 的一个法向量为 = (1,2,3) ，
易知平面 的一个法向量 = (0,1,0) ，设平面 与平面 夹角为 ，
| | 2 2 √ 14
则 cos = |cos , | = = = = ，
| | | | 1×√ 1+4+9 √ 14 7
第 7 页，共 9 页
√ 14
所以平面 与平面 夹角余弦值为 ；
7
(3)解：假设存在点 ，使得 = = (3 , 3 , 3 ) ，其中 ∈ [0,1] ，
则 = + = (0,0,3) + (3 , 3 , 3 ) = (3 , 3 , 3 3 ) ，
由(2)得平面 的一个法向量为 = (1,2,3) ，
| | |3 +6 +9 9 | √ 42
由题意可得 |cos , | = = = ，
| | | | √ 2 2 2 7√ 14× 9 +9 +(3 3 )
整理可得 12 2 8 + 1 = 0 .即 (2 1)(6 1) = 0 ，
1 1 1
因为 0 ≤ ≤ 1 ，解得 = 或 ，所以， = 或 = 1 ．
6 2 5
2 2
19.【答案】解：(1)根据题意，椭圆 + = 1, = 2√ 2, = √ 2，
8 2
当 = 0时， = ±√ 2不满足；
√ 7
当 = 1时， = ± ，不满足；
2
2 2
当 = 2时， = ±1，则点(2,1)和为椭圆 + = 1上的格点，
8 2
由椭圆的对称性可得格点：(2,1), ( 2,1), ( 2, 1), (2, 1)．
(2)设 ( , 2), ( , 2), ( , ∈ 且 ≠ )，
则| | = √ ( )2 + ( 2 2)2 = | |√ 1 + ( + )2为正整数，记为 ，
2 2
所以1 + ( + )2 = 2 = ( ) ，
( )
由于 , , 都是整数，所以( + )2与( + )2 + 1都是完全平方数，
故只能有( + )2 = 0，
2 2
因此 = = + = 0，即直线 的斜率为0．
(3)设存在正实数 ，使得数列{ }为常数列，
记 = ( = 1,2, , )，则 为整数．

由题意得， +1 = √ 2 4，即 √ 2 4 = ， 2 2
2 2
4 4( 4)+162 16所以 = 2 = 2 = 4 + 2 ，且
2 ∈ ， 2 4为16的因数，
4 4 4
所以正整数 只可能使得 2 4 = 1,2,4,8,16，
经检验得，当 2 4 = 1,2,4,8,16时， 不是正整数，
所以不存在正整数 ，使得数列{ }为常数列．
第 8 页，共 9 页
第 9 页，共 9 页