3.1.1 椭圆的标准方程（课件+学案+练习共3份）苏教版（2019）选择性必修第一册
3.1.1 椭圆的标准方程
课标要求 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、会求其标准方程.
一、椭圆的定义
1.思考 在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点.如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
2.填空 平面内到两个定点F1，F2的________________________的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的________，两个焦点间的距离叫作椭圆的________.
温馨提醒 (1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹是线段.
(2)当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在.
3.做一做 思考辨析，判断正误
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝4，则点P的轨迹是椭圆.( )
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝2，则点P的轨迹是椭圆.( )
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足PF1＋PF2＝1，则点P的轨迹是椭圆.( )
二、椭圆的标准方程
1.思考 你认为怎样建系可使所得椭圆方程形式简单？
2.填空 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
焦点 ____________ ____________
a，b，c的关系 ____________ ____________
温馨提醒 (1)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”＋“平方”，右边是1，切莫记为0.
(2)椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大.因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”.
3.做一做 已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题型一 椭圆定义的应用
角度1 椭圆定义的直接应用
例1 如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.求△AF1B的周长.
角度2 椭圆中的焦点三角形
例2 已知点P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积.
思维升华 利用定义解决涉及焦点相关问题的计算
(1)定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离之和为常数的问题，那么可考虑能否利用椭圆定义.
(2)一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题.另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何时应用、怎样应用.
训练1 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上.若PF1＝4，则PF2＝______，∠F1PF2的大小为________.
题型二 求椭圆的标准方程
例3 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).
思维升华 (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程.
①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程.
(2)当已知椭圆经过两点求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.
训练2 求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.
题型三 求与椭圆有关的轨迹问题
例4 (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________.
(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
思维升华 1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法.本例(2)所用方法为定义法.
2.定义法求轨迹方程
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法.
3.代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以将点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法).
训练3 (1)已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程.
(2)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且PA＋PB是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程.
[课堂小结]
1.牢记2个知识点
(1)椭圆的定义.
(2)椭圆的标准方程.
2.掌握求标准方程的2种方法
(1)待定系数法.
(2)定义法.
3.注意1个易错点
若焦点位置不确定，一定要分类讨论.
3.1.1 椭圆的标准方程
知识探究
一、1.提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
2.距离之和等于常数(大于F1F2) 焦点 焦距
3.(1)√
(2)× 提示 因为PF1＋PF2＝F1F2，所以点P的轨迹是线段F1F2.
(3)× 提示 因为PF1＋PF2＜F1F2，所以动点P的轨迹不存在.
二、1.提示 以F1，F2所在的直线为x轴，
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.
2.(－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) c2＝a2－b2 c2＝a2－b2
3.B [将椭圆方程化为标准方程为x2＋＝1，又其一个焦点坐标为(0，1)，
故－1＝1，解得k＝2.]
题型剖析
例1 解 由椭圆方程＋＝1可得a＝5，
故由椭圆定义有AF1＋AF2＝2a＝10，BF1＋BF2＝2a＝10，又AF2＋BF2＝AB，
所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2
＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝2a＋2a＝20.
例2 解 由椭圆方程＋＝1可得a＝，b＝2，c＝＝1.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2
＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2－2PF1·PF2·cos 30°，
∴4＝(2)2－(2＋)PF1·PF2，∴PF1·PF2＝16(2－).
∴S△F1PF2＝PF1·PF2·sin 30°＝8－4.
训练1 2 120° [由椭圆方程＋＝1可得a＝3，
c＝＝，∴F1F2＝2.
∵PF1＋PF2＝2a＝6，
∴PF2＝6－PF1＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2
＝＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.]
例3 解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
因为2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以所以
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
训练2 解 法一 (1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
例4 (1)x2＋＝1 [设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1.
所以＋＝1，即x2＋＝1.]
(2)解 由已知，得两定圆的圆心和半径分别为
Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图.
由题设知MQ1＝1＋R，MQ2＝9－R，
所以MQ1＋MQ2＝10>Q1Q2＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
训练3 解 (1)设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0).
利用中点坐标公式，得∴
∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是＋4y2＝1.
(2)以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，
则2a＝AC＋BC＝＋＝4，
2c＝AB＝2，
所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.
所以曲线E的方程为＋＝1.(共56张PPT)
3.1.1 椭圆的标准方程
第3章 圆锥曲线与方程 3.1 椭 圆
课标要求
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、会求其标准方程．
知识探究
题型剖析
课时精练
内容索引
知识探究
1.思考 在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点．如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
一、椭圆的定义
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
2.填空 平面内到两个定点F1，F2的__________________________________的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的______，两个焦点间的距离叫作椭圆的______.
距离之和等于常数(大于F1F2)
焦点
焦距
温馨提醒
(1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹是线段.
(2)当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在.
3.做一做 思考辨析，判断正误
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝4，则点P的轨迹是椭圆.( )
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝2，则点P的轨迹是椭圆.( )
√
×
提示 因为PF1＋PF2＝F1F2，所以点P的轨迹是线段F1F2.
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足PF1＋PF2＝1，则点P的轨迹是椭圆.( )
×
提示 因为PF1＋PF2＜F1F2，所以动点P的轨迹不存在.
1.思考 你认为怎样建系可使所得椭圆方程形式简单？
提示 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.
二、椭圆的标准方程
2.填空 椭圆的标准方程
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
c2＝a2－b2
c2＝a2－b2
温馨提醒
(1)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”＋“平方”，右边是1，切莫记为0.
(2)椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大.因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”.
3.做一做 已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是
A.1 B.2 C.3 D.4
√
题型剖析
题型一 椭圆定义的应用 角度1 椭圆定义的直接应用
例1
故由椭圆定义有AF1＋AF2＝2a＝10，BF1＋BF2＝2a＝10，
又AF2＋BF2＝AB，
所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2
＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝2a＋2a＝20.26
角度2 椭圆中的焦点三角形
例2
在△ PF1F2中，由余弦定理，得
思维升华
利用定义解决涉及焦点相关问题的计算
(1)定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离之和为常数的问题，那么可考虑能否利用椭圆定义.
(2)一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题.另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何时应用、怎样应用.
训练1
2
120°
∵PF1＋PF2＝2a＝6，
∴PF2＝6－PF1＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得
∴∠F1PF2＝120°.
题型二 求椭圆的标准方程
例3
分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；
因为椭圆的焦点在x轴上，
因为2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.
因为椭圆的焦点在y轴上，
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).
因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
思维升华
(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程.
①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程.
(2)当已知椭圆经过两点求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.
训练2
法一 (1)当焦点在x轴上时，
（2）当焦点在y轴上时，
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
法二 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
题型三 求与椭圆有关的轨迹问题
例4
设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，
由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；
(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图.
由题设知MQ1＝1＋R，MQ2＝9－R，
所以MQ1＋MQ2＝10>Q1Q2＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
思维升华
1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法.本例(2)所用方法为定义法.
2.定义法求轨迹方程
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法.
3.代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以将点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法).
训练3
设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0).
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，
以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
2c＝AB＝2，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
课堂小结
1.牢记2个知识点
(1)椭圆的定义.
(2)椭圆的标准方程.
2.掌握求标准方程的2种方法
(1)待定系数法.
(2)定义法.
3.注意1个易错点
若焦点位置不确定，一定要分类讨论.
课时精练
一、基础巩固
√
1.平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足MF1＋MF2为常数”是“M的轨迹是椭圆”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
当MF1＋MF2>F1F2时，M的轨迹才是椭圆.
√
由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(负值舍去).
√
√
√
√
由椭圆的标准方程知，a2＝169，b2＝25，
(0，－12)，(0，12)
∴c2＝a2－b2＝169－25＝144，
又由椭圆的标准方程知椭圆的焦点在y轴上，
∴焦点坐标为(0，－12)和(0，12).
设椭圆的另一个焦点为E，
4
则MF＋ME＝2a＝10，
∴ME＝8，又ON为△MEF的中位线，
8
18
△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝10＋8＝18.
法一 若焦点在x轴上，
若焦点在y轴上，
则a2
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
由①②得b2＝4，a2＝20，
10.已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹方程.
由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，且MF2＝MP，
从而MF1＋MF2＝MF1＋MP＝PF1＝4>F1F2，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
其中2a＝4，2c＝2，则b2＝a2－c2＝3，
基础巩固
√
11.(多选)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可以是A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线
二、综合运用
如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则AC＝R－r.由于r＝BC，
√
∴AC＝R－BC，即CA＋CB＝R.
∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R.
∵B为圆内的定点，∴AB
若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆.
综上，圆心C的轨迹为椭圆或圆.
设点P的坐标为(x，y)，
∵线段PF1的中点在y轴上，
又点P在椭圆上，
13.已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.
如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴PB＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距PA＝10－r，即PA＋PB＝10(大于AB＝6).
∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
其中2a＝10，2c＝AB＝6.
∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
三、创新拓展
(0，±1)
设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d).
∵点A，B都在椭圆上，
解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1).课时精练 13 椭圆的标准方程
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足MF1＋MF2为常数”是“M的轨迹是椭圆”的( )
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
2.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m的值为( )
9 4 3 2
3.如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值为( )
2 3 4
4.(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且F1F2＝2，若PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆C的标准方程可以是( )
＋＝1 ＋＝1 ＋＝1 ＋＝1
5.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
＋＝1(x≠0) ＋＝1(x≠0)
＋＝1(x≠0) ＋＝1(x≠0)
6.椭圆＋＝1的焦点坐标是________________.
7.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________.
8.设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，则焦距为________；若P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________.
9.(15分)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点.
10.(15分)已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹方程.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.(多选)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可以是( )
圆 椭圆 线段 射线
12.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上.若线段PF1的中点在y轴上，则∠PF2F1＝________，PF1－PF2＝________.
13.(15分)已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.
三、创新拓展
14.设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________.
课时精练13 椭圆的标准方程
1.B [当MF1＋MF2>F1F2时，M的轨迹才是椭圆.]
2.C [由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(负值舍去).]
3.B [因为△POF2是面积为的正三角形，
所以S△POF2＝c2＝，解得c＝2，所以点P的坐标为(1，)，
将其代入椭圆方程得＋＝1，与c2＝a2－b2＝4联立，解得b2＝2.故选B.]
4.BC [由已知2c＝F1F2＝2，所以c＝.因为2a＝PF1＋PF2＝2F1F2＝4，所以a＝2.所以b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.故选BC.]
5.B [由AB＋AC＝20－8＝12>BC＝8，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与y轴的交点)，其中2a＝12，2c＝8，b2＝a2－c2＝20.
故其方程为＋＝1(x≠0).]
6.(0，－12)，(0，12) [由椭圆的标准方程知，a2＝169，b2＝25，
∴c2＝a2－b2＝169－25＝144，
又由椭圆的标准方程知椭圆的焦点在y轴上，
∴焦点坐标为(0，－12)和(0，12).]
7.4 [设椭圆的另一个焦点为E，则MF＋ME＝2a＝10，
∴ME＝8，又ON为△MEF的中位线，∴ON＝ME＝4.]
8.8 18 [由椭圆的方程知a＝5，b＝3，c＝＝4，故焦距为8，
△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝10＋8＝18.]
9.解 (1)法一 若焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1；
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由已知条件得解得
则a2
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).
将两点(2，－)，代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一 因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 设椭圆方程为＋＝1(m>－9)，
将(，－)代入方程，解得m＝－5，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
10.解 由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，且MF2＝MP，
从而MF1＋MF2＝MF1＋MP＝PF1＝4>F1F2，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
其中2a＝4，2c＝2，则b2＝a2－c2＝3，
所以点M的轨迹方程为＋＝1.
11.AB [如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，
动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则AC＝R－r.
由于r＝BC，∴AC＝R－BC，即CA＋CB＝R.
∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R.
∵B为圆内的定点，∴AB
若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆.
综上，圆心C的轨迹为椭圆或圆.]
12. [椭圆＋＝1的左焦点是F1(－2，0)，右焦点是F2(2，0).
设点P的坐标为(x，y)，
则线段PF1的中点为.
∵线段PF1的中点在y轴上，∴＝0，即x＝2.
又点P在椭圆上，∴y＝±，不妨取P为，
可得PF2⊥F1F2，则∠PF2F1＝.
PF1＝＝，PF2＝2×3－＝.
∴PF1－PF2＝－＝.]
13.解 如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，
∴PB＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距PA＝10－r，
即PA＋PB＝10(大于AB＝6).
∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
其中2a＝10，2c＝AB＝6.
∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.
14.(0，±1) [根据题意，知F1(－，0)，F2(，0).
设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d).
可得＝(m＋，n)，＝(c－，d).
∵＝5，∴∴c＝，d＝.
∵点A，B都在椭圆上，∴＋n2＝1，＋＝1.
解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1).]
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