3.3.1 抛物线的标准方程（课件+学案+练习共3份）苏教版（2019）选择性必修第一册
3.3.1 抛物线的标准方程
课标要求 1. 掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程.
2. 能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程. 3. 能利用抛物线的定义和标准方程求最值.
一、抛物线的定义
1.思考 抛物线可以看成双曲线的一支对吗？
2.填空 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的____________的点的轨迹叫作________，定点F叫作抛物线的________，定直线l叫作抛物线的________.
温馨提醒 (1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫作抛物线的焦点；一条定直线l叫作抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线.
例如，到点F(0，1)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y＋1＝0，轨迹是一条直线.
3.做一做 (多选)下列命题是假命题的是( )
A.到定点F(－1，0)和定直线x＝1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线
B.到定点F(2，1)和定直线3x－2y－4＝0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线
C.抛物线的焦点一定在y轴上
D.抛物线的标准方程中，p表示焦点到准线的距离，p的值永远大于0
二、抛物线的标准方程
1.思考 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可使所求抛物线的方程形式简单？
2.填空
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_______________ x＝－
_______________ x＝
_______________ y＝－
_______________ y＝
温馨提醒 (1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.
3.做一做 抛物线y＝－x2的准线方程是( )
A.x＝ B.x＝ C.y＝2 D.y＝4
题型一 求抛物线的标准方程
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(－2，0)；
(2)准线为y＝－1；
(3)过点A(2，3)；
(4)焦点到准线的距离为.
思维升华 求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
特别提醒 当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程.
训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
题型二 抛物线定义的应用
例2 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝x0，则x0等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
迁移1 若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，求PA＋PF的最小值.
迁移2 若将本例(2)中的点(0，2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
思维升华 抛物线定义在求最值中的应用
(1)解此类最值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.
(2)数形结合是求解几何最值的常用方法之一.
训练2 已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值.
题型三 抛物线的实际应用问题
例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
思维升华 (1)解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.
(2)以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线解决问题主要体现在：①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；②利用已求方程求点的坐标.
(3)求解抛物线实际应用题的步骤：
训练3 探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )
A.11.25 cm B.5.625 cm C.20 cm D.10 cm
[课堂小结]
1.牢记2个知识点
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程.
2.掌握2种解决问题的方法
(1)求标准方程的方法.
(2)运用定义解决有关距离的最值问题的方法.
3.注意1个易错点
忽视抛物线的开口方向而致误.
3.3.1 抛物线的标准方程
知识探究
一、1.提示 双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异，虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来有点“像”，但绝不能把抛物线看成是双曲线的一支.
2.距离相等 抛物线 焦点 准线
3.BC [由抛物线定义易得A是真命题；B是假命题，因为定点F(2，1)在定直线3x－2y－4＝0上，所以动点P的轨迹为直线；C是假命题，抛物线的焦点的位置可以随抛物线方程的不同而不同，比如y2＝2x的焦点在x轴上.D明显正确.]
二、1.提示 过F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，设焦点F到准线l的距离为p，则F，
又设P(x，y)为抛物线上任意一点，过点P作PH⊥l，垂足为H，则PF＝PH，得＝，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0).
2.y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
3.C [将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2.]
题型剖析
例1 解 (1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，∴p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝或n＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.
(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
训练1 解 (1)法一 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
法二 抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0).
把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
例2 (1)A [∵＋x0＝x0，∴x0＝1.]
(2)解
由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由题图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F
三点共线时距离之和最小，
所以最小距离
d＝＝.
迁移1 解 将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±.
所以点A在抛物线内部，
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，则PA＋PF＝PA＋d.
由图可知，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值是，
即PA＋PF的最小值是.
迁移2 解 如图，作PQ垂直于准线l于点Q，PA1＋PQ＝PA1＋PF≥A1Fmin.
A1F的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1.即所求最小值为1.
训练2 解 如图，设点F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点分别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，
则MN＝(AC＋BD).
由抛物线的定义，知AC＝AF，BD＝BF，
∴MN＝(AF＋BF)≥AB＝.
设点M的横坐标为x，
则MN＝x＋，x≥－＝，
当线段AB过焦点F时，等号成立，此时点M到y轴的最短距离为.
例3 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
故p＝，得x2＝－y.
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
训练3 B [如图，
建立平面直角坐标系，
设抛物线方程是
y2＝2px(p>0).
∵A(40，30)在抛物线上，
∴302＝2p×40，∴p＝，
∴光源到反光镜顶点的距离为＝＝＝5.625(cm).](共52张PPT)
3.3.1 抛物线的标准方程
第3章 圆锥曲线与方程 3.3 抛物线
课标要求
1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程. 2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程. 3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值.
知识探究
题型剖析
课时精练
内容索引
知识探究
1.思考 抛物线可以看成双曲线的一支对吗？
提示 双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异，虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来有点“像”，但绝不能把抛物线看成是双曲线的一支.
一、抛物线的定义
2.填空 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的__________的点的轨迹叫作________，定点F叫作抛物线的______，定直线l叫作抛物线的______.
距离相等
抛物线
焦点
准线
温馨提醒
(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫作抛物线的焦点；一条定直线l叫作抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线.
例如，到点F(0，1)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y＋1＝0，轨迹是一条直线.
3.做一做 (多选)下列命题是假命题的是
A.到定点F(－1，0)和定直线x＝1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线
B.到定点F(2，1)和定直线3x－2y－4＝0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线
C.抛物线的焦点一定在y轴上
D.抛物线的标准方程中，p表示焦点到准线的距离，p的值永远大于0
√
由抛物线定义易得A是真命题；B是假命题，因为定点F(2，1)在定直线3x－2y－4＝0上，所以动点P的轨迹为直线；C是假命题，抛物线的焦点的位置可以随抛物线方程的不同而不同，比如y2＝2x的焦点在x轴上.D明显正确.
√
1.思考 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可使所求抛物线的方程形式简单？
二、抛物线的标准方程
提示
2.填空
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
___________________
___________________
___________________
____________________
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
温馨提醒
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.
√
题型剖析
题型一 求抛物线的标准方程
例1
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(－2，0)；(2)准线为y＝－1；
∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
思维升华
求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
特别提醒 当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程.
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(3，－4)；
训练1
法一 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
法二 抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0).
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
∴所求抛物线的标准方程为
x2＝－20y或y2＝－60x.
题型二 抛物线定义的应用
例2
√
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的.
由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.
三点共线时距离之和最小，
若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，求PA＋PF的最小值.
迁移1
所以点A在抛物线内部，
则PA＋PF＝PA＋d.
迁移2
如图，作PQ垂直于准线l于点Q，PA1＋PQ＝PA1＋PF≥A1Fmin.
即所求最小值为1.
思维升华
抛物线定义在求最值中的应用
(1)解此类最值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.
(2)数形结合是求解几何最值的常用方法之一.
已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值.
训练2
如图，设点F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点分别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，
由抛物线的定义，知AC＝AF，BD＝BF，
设点M的横坐标为x，
题型三 抛物线的实际应用问题
例3
河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
思维升华
(1)解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.
(2)以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线解决问题主要体现在：①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；②利用已求方程求点的坐标.
(3)求解抛物线实际应用题的步骤：
探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是
A.11.25 cm B.5.625 cm C.20 cm D.10 cm
训练3
如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程是y2＝2px(p>0).
∵A(40，30)在抛物线上，
√
课堂小结
1.牢记2个知识点
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程.
2.掌握2种解决问题的方法
(1)求标准方程的方法.
(2)运用定义解决有关距离的最值问题的方法.
3.注意1个易错点
忽视抛物线的开口方向而致误.
课时精练
一、基础巩固
√
1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是
A.(2，0) B.(－2，0) C.(4，0) D.(－4，0)
∵y2＝－8x，∴p＝4，
∴焦点坐标为(－2，0).
√
法一 设动点P的坐标为(x，y).
2.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线.
√
3.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是
A.x2＝±3y B.y2＝±6x
C.x2＝±12y D.x2＝±6y
∴2p＝12，
又∵对称轴是y轴，
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
√
4.(多选)对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是
A.① B.② C.③ D.④
抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
√
所以③不满足；
则k＝－2，此时满足条件的直线存在，所以④满足.故选BD.
√
5.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为
A.y2＝x B.x2＝8y C.x2＝－8y D.y2＝－8x
当抛物线的焦点在x轴上时，
√
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以抛物线的方程为y2＝x;
当抛物线的焦点在y轴上时，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，
所以抛物线的方程为x2＝－8y.
综上，抛物线的方程为y2＝x或x2＝－8y.
6.若抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为___________.
如图，设抛物线的焦点为F，连接BF，PF.
8.如图所示，设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.
因为抛物线的方程为y2＝4x，
所以准线方程为x＝－1，焦点F的坐标为(1，0)，
所以点P到点B(－1，1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于PB＋PF，则PB＋PF≥BF，
当B，P，F三点共线且P居B，F之间时PB＋PF取得最小值BF，
因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，
所以可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，
10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
0.7
依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，如图所示.
(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
因为点C(5，－5)在抛物线上，所以52＝－2p·(－5)，
0.7
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).
设车辆高h米，则DB＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
基础巩固
√
11.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为
A.x2＝－12y或y2＝16x B.x2＝12y或y2＝－16x
C.x2＝9y或y2＝12x D.x2＝－9y或y2＝－12x
二、综合运用
对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为
y2＝2px(p>0)，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
12.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于D.若AF＝4，则以下结论正确的是
A.p＝2 B.F为AD的中点 C.BD＝2BF D.BF＝2
√
如图所示，作AH⊥准线于点H，AM⊥x轴于点M，BE⊥准线于点E.
√
√
设准线与x轴的交点为N.
∵p＝2，∴NF＝FM＝2，故△AMF≌ △ DNF，
∴F为AD的中点，故B正确；
∵BD＝2BF，BD＋BF＝DF＝AF＝4，
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式.
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x>0).
三、创新拓展
√课时精练 18 抛物线的标准方程
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
(2，0) (－2，0) (4，0) (－4，0)
2.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
椭圆 双曲线 抛物线 直线
3.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
x2＝±3y y2＝±6x x2＝±12y x2＝±6y
4.(多选)对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是( )
① ② ③ ④
5.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为( )
y2＝x x2＝8y x2＝－8y y2＝－8x
6.若抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________.
7.以椭圆＋y2＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______________.
8.如图所示，设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.
9.(15分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，而且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程.
10.(15分)如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).
二、综合运用
选择题每小题5分，共10分
11.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )
x2＝－12y或y2＝16x
x2＝12y或y2＝－16x
x2＝9y或y2＝12x
x2＝－9y或y2＝－12x
12.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于D.若AF＝4，则以下结论正确的是( )
p＝2 F为AD的中点
BD＝2BF BF＝2
13.(15分)已知位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程.
三、创新拓展
选择题每小题5分，共5分
14.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )
5 8 ＋2 －1
课时精练18 抛物线的标准方程
1.B [∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为(－2，0).]
2.D [法一 设动点P的坐标为(x，y).
则＝.
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线.
法二 显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.]
3.C [∵顶点与焦点的距离等于3，∴＝3，∴2p＝12，
又∵对称轴是y轴，∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.]
4.BD [抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则MF＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；
由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线斜率存在时，方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时满足条件的直线存在，所以④满足.故选BD.]
5.AC [当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝，
所以抛物线的方程为y2＝x；当抛物线的焦点在y轴上时，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，
所以抛物线的方程为x2＝－8y.
综上，抛物线的方程为y2＝x或x2＝－8y.]
6. [抛物线方程化为y2＝－x，所以抛物线开口向左，2p＝，＝，故焦点坐标为.]
7.y2＝4x [由＋y2＝1得，右焦点为(，0)，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.]
8. [如图，设抛物线的焦点为F，连接BF，PF.
因为抛物线的方程为y2＝4x，
所以准线方程为x＝－1，焦点F的坐标为(1，0)，
所以点P到点B(－1，1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于PB＋PF，
则PB＋PF≥BF，当B，P，F三点共线且P居B，F之间时PB＋PF取得最小值BF，
此时BF＝＝，
即所求最小值为.]
9.解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，
所以可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
将点代入方程求得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，
由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，点到两焦点距离之差的绝对值为2a＝1，所以a＝，b2＝c2－a2＝，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
10.解 (1)依题意，
设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，如图所示.
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以52＝－2p·(－5)，解得p＝，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h米，则DB＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
11.A [对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.]
12.ABC [如图所示，作AH⊥准线于点H，AM⊥x轴于点M，BE⊥准线于点E.
直线l的斜率为，
故tan∠AFM＝，∴∠AFM＝.
又AF＝4，故MF＝2，AM＝2.
∴A，将点A的坐标代入抛物线的方程得p＝2(负值舍去)，故A正确；
设准线与x轴的交点为N.
∵p＝2，∴NF＝FM＝2，故△AMF≌△DNF，
∴F为AD的中点，故B正确；
∵∠BDE＝，∴BD＝2BE＝2BF，故C正确；
∵BD＝2BF，BD＋BF＝DF＝AF＝4，
∴BF＝，故D错误.故选ABC.]
13.解 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等.
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式.又因为＝，所以p＝1，2p＝2.
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x>0).
14.D [设圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C，则C(0，4)，半径r＝1.由题意可知抛物线的焦点F(1，0)，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和为PQ＋PF≥QF≥CF－1＝－1＝－1.故选D.]
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