河北省沧州市泊头一中2024-2025高二（下）月考数学试卷（3月份）(pdf版,含答案)

2024-2025 学年河北省沧州市泊头一中高二（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布 ( , 2)，已知数
学成绩高于 115 分的人数与低于 75 分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为( )
A. 85 B. 90 C. 95 D. 100
2.在( )4的展开式中， 3的系数为( )
A. 6 B. 6 C. 12 D. 12
3.某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊 5 人中选 4 人参加演出.要求甲和乙必须同时参加，且他们的
演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有( )
A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 72 种

4 ( ) = 3 ( ) = 1 ( | ) = 1.已知 5， 5， 2，则 ( ) =( )
A. 15 B.
2 C. 3 45 5 D. 5
5.甲、乙两人进行比赛，假设每局甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率为 0.4，且各局比赛互不影响.若采取“5
局 3 胜制”，则概率最大的比赛结果是( )
A.乙 3：2 赢得比赛 B.甲 3：0 赢得比赛C.甲 3：1 赢得比赛D.甲 3：2 赢得比赛
6.从正整数 1，2，3，…，999，1000 中取出 100 个不同的数组成递增的等差数列，这样的数列共有( )
A. 4555 个 B. 4654 个 C. 5445 个 D. 5500 个
7.现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6 本不同的书籍分
发给甲乙丙 3 人，每人至少分得 1 本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是( )
A. 180 B. 150 C. 120 D. 210
8.飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子(骰子为均匀的正六面体)正面朝上的点数确定飞机往前
走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往
回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩 3 步(如图所示)，设该玩家到达终点时投掷骰子
的次数为 ，则 ( ) =( )
A. 3
B. 4
C. 5
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D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(1 2 )5 = 0 + 1 + 2 2 + 3 + 4 53 4 + 5 ，则下列结论中正确的是( )
A. 0 = 1 B. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2
C. + + = 122 D. 1 + 2 + 3 + 4 + 51 3 5 2 4 8 16 32 = 1
10.下列选项中正确的是( )
A.已知随机变量 服从二项分布 (10, 12 )，则 (2 ) = 5
B.口袋中有大小相同的 7 个红球、2 个蓝球和 1 个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量 ，
7
则 的数学期望 ( ) = 5
C.对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测，从中任取 2 件，已知其中一件为正品，则另一
5
件也为正品的概率是13
D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为 0.8，则在 9 次射击中，最有可能击中的次数是 7 次
11.已知 { 1, 2, …, }表示 1， 2，…， 中最小的数， { 1, 2, …, }表示 1， 2，…， 中最大的
数.若 1， 2， 3， 4， 5， 6为 1，2，3，4，5，6 的任意排列，设 = { { 1, 2, 3}， { 4, 5, 6}}，
= { { 1, 2, 3}， { 4, 5, 6}}，则( )
A.排列总数为 720 个 B.满足 1 < 2 < 3的排列有 80 个
C. > 4 3 9的概率为5 D. > 的概率为10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( 2 + 2 )( 2 )7的展开式中 4 6的系数为______. (用数字作答)
13.如图，一个质点在随机外力的作用下，从 0 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动 3 次，
设质点最终所在位置的坐标为 ，则 ( ) = ______．
14.现有质量分别为 1，2，3，4，5，7 千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子
装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一、二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概
率是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知( 2 + 2 ) 1 的展开式中，第 4 项的系数与倒数第 4 项的系数之比为2．
(1)求 的值；
(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
(3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
16.(本小题 15 分)
为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育
新人”的二十大知识竞赛，并选出了 4 名女生和 3 名男生共 7 名优胜者.赛后，7 名同学站成一排，照相留
念．
(1)女生必须站在一起的站队方式有多少种？
(2)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？
(3)现在要求这 7 名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇
报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？
17.(本小题 15 分)
机器人甲、乙分别在 ， 两个不透明的箱子中取球，甲先从 箱子中取 2 个或 3 个小球放入 箱子，然后乙
3
再从 箱子中取 2 个或 3 个小球放回 箱子，这样称为一个回合.已知甲从 箱子中取 2 个小球的概率为4，取
3 1 2 1个小球的概率为4，乙从 箱子中取 2 个小球的概率为3，取 3 个小球的概率为3 .现 ， 两个箱子各有除颜
色外其它都相同的 6 个小球，其中 箱子中有 3 个红球，3 个白球； 箱子中有 2 个红球，4 个白球．
(1)求第一个回合甲从 箱子取出的球中有 2 个红球的概率；
(2)求第一个回合后 箱子和 箱子中小球个数相同的概率；
(3)两个回合后，用 表示 箱子中小球个数，用 表示 箱子中小球个数，求 的分布列及数学期望．
18.(本小题 17 分)
有 ， ， ， ， ， ， ， 八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决
定最后的冠军.八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知 ～ 这七名运动员互相对决时
1 2
彼此间的获胜概率均为2， 运动员与其它运动员对决时， 获胜的概率为3，每场对决没有平局，且结果相
互独立．
(1)求这八名运动员各自获得冠军的概率；
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(2)求 与 对决过且最后获得冠军的概率；
(3)求 与 对决过且最后获得冠军的概率．
19.(本小题 17 分)
如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的
一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务． 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情
况，在某月从该市大学生中随机调查了 100 人，并将这 100 人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数
分布表(已知每人每月网络外卖消费金额不超过 3000 元)：
消费金额(单位：百元) [0,5] (5,10] (10,15] (15,20] (20,25] (25,30]
频数 20 35 25 10 5 5
(1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额 (单位：元)近似地服从正态分布 ( , 2)，其中
近似为样本平均数 (每组数据取区间的中点值， = 660).现从该市任取 20 名大学生，记其中网络外卖消费
金额恰在 390 元至 2370 元之间的人数为 ，求 的数学期望；
(2) 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值 100 元的
饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格、…、
1
第 60 格共 61 个方格．棋子开始在第 0 格，然后掷一枚均匀的硬币(已知硬币出现正、反面的概率都是2，
其中 0 = 1)，若掷出正面，将棋子向前移动一格(从 到 + 1)，若掷出反面，则将棋子向前移动两格(从
到 + 2).重复多次，若这枚棋子最终停在第 59 格，则认为“闯关成功”，并赠送 500 元充值饭卡；若这枚
棋子最终停在第 60 格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束．
①设棋子移到第 格的概率为 ，求证：当 1 ≤ ≤ 59 时，{ 1}是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( < ≤ + ) = 0.6827， ( 2 < ≤ +
2 ) = 0.9545， ( 3 < ≤ + 3 ) = 0.9973．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 35
13.3
14.25
5
15.解：(1)展开式的通项为 2 +1 = 2 2，
∴展开式中第 4 项的系数为 3 23 ，倒数第 4 项的系数为 3 2 3 ，
3∴ 2
3 1 1 1
3 2 3
= 2，即2 6 = 2，∴ = 7．
(2)令 = 1，可得展开式中所有项的系数和为37 = 2187，
展开式中所有项的二项式系数和为27 = 128．
(3)展开式共有 8 项，由(1)可得当 2 5 2为整数，即 = 0，2，4，6 时为有理项，共 4 项，∴由插空法可
4 4
得有理项不相邻的概率为 4 58 =
1
．
8 14
16.解：(1)4 名女生和 3 名男生共 7 名优胜者，赛后，7 名同学站成一排，照相留念，
女生必须站在一起的站队方式有：种 44 44 = 576 种不同的站队方法．
(2)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有 2 种类型，
甲站两端有：2 14 55 = 960 种不同的站队方法．
甲不站两端，先选出 2 名女生和甲排列，甲在中间，共有 2· 24 2 = 12 种，把三个人看着一个整体，和剩下
的 4 名同学全排列，
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所以站队方式有 24· 2 52· 5 = 1440 种，
共有：960 + 1440 = 2400 种不同的站队方法．
(3)先将 4 个女生分成三组，有 24 = 6 种方法，
再将三组女生分到三个年级有 33 = 6 种，
再将三组男生分到三个年级有 33 = 6 种，
根据分步乘法计数原理，所有情况共 6 × 6 × 6 = 216 种．
17.解：(1)在第一个回合中， 1 =“甲从 箱子中取 2 个球“， 2 =“甲从 箱子中取出 3 个球“， =“甲
从 箱子中取出的球中有 2 个红球“，
2 2
( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 3 × 3 + 1 × 3
1
3 = 21则 1 2 1 1 2 2 4 2 4 36 6 80
；
(2)由题意得，甲从 箱子中取出小球的个数与乙从 箱子中取出小球的个数相同，
= 3 × 2 + 1 × 1 = 7所以 4 3 4 3 12；
(3)用 表示 箱子中小球个数，用 表示 箱子中小球个数，每个回合后，
， 3 2 1 1 7两个箱子小球个数不变的概率 (0) = 4 × 3 + 4 × 3 = 12，
箱子比 箱子小球个数少 2 个概率 ( 2) = 1 × 2 = 14 3 6，
箱子比 箱子小球个数多 2 个概率 (2) = 3 × 1 = 14 3 4，
两个回合后， 的个数可能值为： 4， 2，0，2，4，
( = 4) = ( 2) ( 2) = 136，
( = 2) = ( 2) (0) + (0) ( 2) = 16 ×
7
12 × 2 =
7
36，
( = 0) = (0) (0) + (2) ( 2) + ( 2) (2) = 61144，
( = 2) = (2) (0) + (0) (2) = 724，
( = 4) = (2) (2) = 116，
所以随机变量 的分布列为：
4 2 0 2 4
1 7 61 7 1

36 36 144 24 16
所以 ( ) = ( 4) × 136 + ( 2) ×
7
36 + 0 ×
61 7 1 1
144 + 2 × 24 + 4 × 16 = 3．
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18.解：(1) 夺冠即为三轮比赛都获胜，
∴ 2 8夺冠的概率为( 3 )
3 = 27，
1 8 19
由题意， ～ 七名运动员各自夺冠的概率均为7 (1 27 ) = 189．
(2)记事件 =“ 获得冠军”，事件 =“ 与 对决过”，
事件 =“ 与 在第 轮对决”， = 1，2，3，
设 在①号位，则 在 1，2，3 轮能与 对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧，
( ) = ( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 )
= 17 (1
2 1 1 1 2
3 ) × 2 × 2 = 84 + 7 ×
2 × 13 2 × (1
2
3 ) ×
1 4 2 1 2 1 2 37
2+ 7 × 3 × 2 × 3 × 2 × (1 3 ) = 756．
(3)记事件 =“ 与 对决过”，
没有与 对决过且最后获得冠军的概率为：

( ) = ( ) ( ) = 19 37 39189 756 = 756，

( ) = (( + ) ) = ( ) + ( )

= ( ) ( | ) + ( ) ( | )，
由题意， ～ 六名运动员与 对决过的概率相同， 夺冠时共与三名运动员对决，

∴ ( | ) = 26， ( | ) =
3
6，
37 2 39 3 191
代入得 ( ) = 756 × 6 + 756 × 6 = 4536．
19. 解：(1) = 250 × 0.2 + 750 × 0.35 + 1250 × 0.25 + 1750 × 0.1 + 2250 × 0.05 + 2750 × 0.05 = 1050，
因为 服从正态分布 (1050, 6602)，
(390 < ≤ 2370) = ( < ≤ + 2 ) = 0.9545 0.9545 0.6827所以 2 = 0.8186．
所以 ～ (20,0.8186)，
所以 的数学期望为 ( ) = 20 × 0.8186 = 16.372．
(2)①棋子开始在第 0 格为必然事件， 0 = 1．
1 1
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第 1 格，其概率为2，即 1 = 2．
棋子移到第 (2 ≤ ≤ 59)格的情况是下列两种，而且也只有两种：
(ⅰ)棋子先到第 2 1格，又掷出反面，其概率为2 2；
(ⅱ) 1棋子先到第 1 格，又掷出正面，其概率为2 1，
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1 1
所以 = 2 2 + 2 1，
即
1 1
1 = 2 ( 1 2)，且 1 0 = 2，
所以当 1 ≤ ≤ 59 1 1时，数列{ 1}是首项 1 0 = 2，公比为 2的等比数列．
1
②由①知 1 1 = 2 , 2 = (
1 2
1 2 ) , 3 2 = (
1 3 1
2 ) , …, 1 = ( 2 ) ，
以上各式相加，得 1 = (
1
2 ) + (
1
2 )
2 + … + ( 1 2 ) ，
1 1 1 2 1
所以 = 1 + ( 2 +12 ) + ( 2 ) + … + ( 2 ) = 3 [1 ( 2 ) ]( = 0,1,2, …, 59)．
2 1 2 1
所以闯关成功的概率为 6059 = 3 [1 ( 2 ) ] = 3 [1 ( 2 )
60]，
1
闯关失败的概率为 60 = 2 58 =
1 × 2 [1 ( 1 )592 3 2 ] =
1
3 [1 + (
1
2 )
59]．
= 2 [1 ( 1 )60] 1 [1 + ( 1 )59 159 60 3 2 3 2 ] = 3 [1 (
1 )582 ] > 0，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率．
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