2024-2025河南省郑州十九中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省郑州十九中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则复数( )
A. B. C. D.
2.如图，四边形为平行四边形，，为线段的中点，若以，为基底表示向量，则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
4.已知平面向量，的夹角为，且，，则( )
A. B. C. D.
5.下列命题：向量与都是单位向量，则；
在中，必有；
四边形是平行四边形，则；
若向量与共线，则存在唯一的实数使．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知中，，，，那么满足条件的( )
A. 有两个解 B. 有一个解 C. 无解 D. 不确定
7.一艘船向正北航行，在处看灯塔在船的北偏东方向上，航行后到处，看到灯塔在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔的距离即的长为( )
A. B.
C. D.
8.在中，角，所对的边分别为，，点为的外心，若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
C.
D. 若为纯虚数，则
10.若向量，，则( )
A. B.
C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为
11.设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则点是的重心
B. 若，则点在边的延长线上
C. 若在所在的平面内，角、、所对的边分别是，，，满足以下条件，则
D. 若，且，则的面积是面积的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数为虚数单位，满足，则的值为______．
13.与的夹角为锐角，的取值范围为______．
14.如图，在中，，，直线交于点，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中．
若为纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围．
16.本小题分
已知向量、满足，，且与的夹角为．
求的值；
当为何值时，？
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，求的周长的取值范围．
18.本小题分
如图，在中，为边上一点，且，，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．
已知，，求；
已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是；
在中，，，角的平分线与交于点，且，若，求．
参考答案
1.
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14.
15.解：且为纯虚数，
，解得．
在复平面内对应的点在第一象限，
，解得或，
故的取值范围为．
16.
17.解：在中，，
由正弦定理：，可得：，可得，
因为，故，从而，
又，所以．
在中，由余弦定理有
当且仅当时取等号，
，，，
又，
的周长的取值范围
18.解：Ⅰ因为，，，
在中，由余弦定理可得：，
即，
解得；
Ⅱ由图知：，由Ⅰ可得，
由图知，为锐角，为锐角，，
可得，，
，
可得，
可得．
19.
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