2024-2025江苏省苏州市吴江区震泽中学高二（下）月考数学试卷（3月份）(pdf版,含答案)

2024-2025 学年江苏省苏州市吴江区震泽中学高二（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 ( )在 上可导， ( ) = 3 2 5 ′(2) 2，则 ′(2) =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
2 1.已知函数 ( ) = 22 ，则函数 ( )
1
在[ 2 , ]上的最大值为( )
1 2A. 1
2
2 B. 2 C. 8 + 2 D. 2 1
3.三次函数 ( ) = 3 2 在( ∞, + ∞)上是减函数，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 13 ] B. ( ∞,1) C. ( ∞,
1
3 ) D. ( ∞,1]
4.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，函数 ( ) = ( 1) ′( )的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. ( )的极大值为 ( 2)，极小值为 (2)
B. ( )在( 2,1)，(2, + ∞)上单调递增
C. ( )的极小值为 ( 2)，极大值为 (2)
D. ( )在( ∞, 2)，(1,2)上单调递减
5.已知函数 ( ) = 3 + 3 + 3( ∈ , ∈ )， ′( )为 ( )的导函数，则 (2021) + ( 2021) +
′(2022) ′( 2022) =( )
A. 0 B. 2021 C. 2022 D. 6
6.已知函数 ( ) = ( 2 4 + 1) 恰有三个零点，则实数 的取值范围为( )
A. ( 2 3, 0) B. ( 6 , 0) C. (
6 3 6
, 2 ) D. (0, )
7.若 为函数 ( ) = ( )2( )(其中 ≠ 0)的极小值点，则( )
A. > > 0 B. < < 0 C. > 2 D. < 2
8.已知函数 ( ) = 2 2 + 有两个不同的极值点 1， 2，若不等式 ( 1) + ( 2) < 1 + 2 + 恒成立，
则 的取值范围是( )
A. [ 4, + ∞) B. [ 5, + ∞) C. [ 6, + ∞) D. [ 7, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 (1,2)在函数 ( ) = 3的图象上，则过点 的曲线 ： = ( )的切线方程是( )
A. 6 4 = 0 B. 4 + 7 = 0 C. 4 + 7 = 0 D. 3 2 + 1 = 0
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10.关于函数 ( ) = 1 + ，下列说法正确的是( )
A. (1)是 ( )的极小值 B.函数 = ( ) 有且只有 1 个零点
C. ( )在( ∞,1) 1上单调递减 D.设 ( ) = ( )，则 ( ) < ( )
11.已知函数 ( ) = 2 ( > 0, ≠ 1)，则下列结论中正确的是( )
A.函数 ( )恒有 1 个极值点
B.当 = 时，曲线 = ( )恒在曲线 = + 2 上方
1
C.若函数 ( )有 2 个零点，则 1 < < 2
D.若过点 (0, )存在 2 条直线与曲线 = ( )相切，则 0 < < 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 = 1.函数 22 的单调递减区间为______．
13 .已知函数 ( )的定义域为( 2 , 2 )，其导函数是 ′( ).有 ′( ) + ( ) < 0，则关于 的不等式
3 ( ) < 2 ( 6 ) 的解集为______．
14.设函数 ( ) = 2 ，若在(0, + ∞)上有且只有一个正整数 0，使得 ( 0) < 0，则 的取值范围
是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 3 + 3 2 + 9 2．
(1)求函数 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)求 ( )的极值．
16.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)当 = 0 时，求函数 ( )的单调区间；
(2)若对任意 ∈ (0, + ∞)， ( ) ≤ 2 + 2 恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 1 ， ( ) = 2 ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)证明：当 ∈ (0,2)时， ( ) ≤ ( )．
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18.(本小题 12 分)
2
已知函数 ( ) = 2 ( 1) + ( 1) , > 1．
(1)讨论函数 ( )的单调区间；
(2)若 ( ) = (1)且 > 1，证明： ∈ (1, )，( 1) > 1．
19.(本小题 12 分)
设函数 ( ) = ( 1) + ( > 0)，其中 为自然对数的底数， 为实数．
(1)若 ( )在( ∞,0)上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)求 ( )的零点的个数；
(3)若不等式 ( ) ≥ 0 在[1, + ∞)上恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(0,1)
13.( 6 ,

2 )
14.(0,
2 2
4 ]
15.解：(1)因为 ( ) = 3 + 3 2 + 9 2，该函数的定义域为 ，
则 ′( ) = 3 2 + 6 + 9，∴ (1) = 9， ′(1) = 12，
所以函数 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 9 = 12( 1)，即 12 3 = 0．
(2)因为 ( ) = 3 + 3 2 + 9 2，该函数的定义域为 ，
则 ′( ) = 3 2 + 6 + 9 = 3( + 1)( 3)，列表如下：
( ∞, 1) 1 ( 1,3) 3 (3, + ∞)
′( ) 0 + 0
( ) 减 极小值 增 极大值 减
所以函数 ( )的极小值为 ( 1) = 7，极大值为 (3) = 25．
16.解：(1)当 = 0 时， ′( ) = + 1， > 0，
令 ′( ) < 0 1 1，解得 0 < < ，故 ( )的单调递减区间是(0, )，
令 ′( ) > 0，解得 > 1 1 ，故 ( )的单调递增区间是( , + ∞)，
1 1
综上， ( )的单调递减区间是(0, )，单调递增区间是( , + ∞)．
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(2)由任意 ∈ (0, + ∞)， ( ) ≤ 2 + 2 知 ≤ 2 + + 2 恒成立．
> 0 2因 ，故 ≥ ，在 ∈ (0, + ∞)上恒成立．
设 ( ) = 2 ( > 0)
1 2 ( 2)( +1)
，则 ′( ) = 1+ 2 = 2 ，
当 ∈ (0,2)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ (2, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
故当 = 2 时， ( )取得极大值，也是最大值，且 ( ) = (2) = 2 3，
所以若 ≥ ( )在 ∈ (0, + ∞)上恒成立，则 ≥ ( ) = 2 3，
故实数 的取值范围是[ 2 3, + ∞)．
1
17.解：(1)函数 ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 1 + =
1( + 1 )，
记 ( ) = + 1 ，则
1 1 1
′( ) = 2 = 2 ，
所以当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
当 > 1 时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 1，
所以 ′( ) = 1( + 1 ) > 0，
所以函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
(2) 1 ≤ 2 = ( 1) 1原不等式为 ，即 ≤ 1，
≤ 1即证 1在 ∈ (0,2)上恒成立，

设 ( ) = ，则 ′( ) =
= 1 ( )2 ，
所以，当 < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) ≤ (1) = 1 ，
令 ( ) = + 1, ′( ) = 1 1 =
1
，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) = (1) = 0，所以 ≤ 1，
且在 ∈ (0,2) < 1 1上有 1 < 1，所以可得到 ( ) ≤ ( 1)，即 ≤ 1，
所以在 ∈ (0,2)时，有 ( ) ≤ ( )成立．
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18.
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19.解：(1) ′( ) = + 1，
因为 ( )在( ∞,0)上单调递增，
所以 ′( ) = + 1 ≥ 0 对 ∈ ( ∞,0)恒成立，
令 ( ) = + 1， ∈ ( ∞,0)，则 ′( ) = ( + 1) ，
则当 < 1时， ′( ) < 0，当 1 < < 0 时， ′( ) > 0，
故 ( )在( ∞, 1)上递减，在( 1,0)上递增，
则 ( ) = ( 1) =

+ 1，

依题意，需使 + 1 ≥ 0，即 ≤ ，故得：0 < ≤ ，
所以实数 的取值范围为(0, ]；
(2)由 ( ) = ( 1) + ，得 ′( ) = + 1，
因为 > 0，若 ≤ 0，则 ( ) < 0， ( )无零点，
当 > 0 时， ′( ) > 0，故 ( )在(0, + ∞)上递增，
注意到 (0) = < 0， (1) = 1 > 0，
由零点存在定理， ( )在(0,1)上有唯一的零点；
所以 ( )有 1 个零点；
(3)不等式 ( ) ≥ 0 在[1, + ∞)上恒成立，
即不等式 ( 1) ≥ 0 在[1, + ∞)上恒成立，
令 ( ) = ( 1) ， ∈ [1, + ∞)，
又 (1) = 0，所以 ( ) ≥ (1)在[1, + ∞)上恒成立，
当 ≥ 1 时， ′( ) = ，
令 ( ) = ′( ) = ，则 ′( ) = ( + 1)
+ 2 > 0, ∈ [1, + ∞),
所以函数 ( )在[1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (1) = ( 1) ≥ 0，
即 ′( ) ≥ 0，
所以函数 ( )在[1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 0，
故 ≥ 1 时，符合题意；
当 0 < < 1 时，函数 ′( )在[1, + ∞)上单调递增，
1 1 1
则 ′(1) = ( 1) < 0， ′( ) = 1，

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令 ( ) = ， > 0，则 ′( ) = 1 > 0，
所以函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > (0) = 1 > 0，所以 > ，
令 ( ) = (1 )， > 0，则 ′( ) = + 1 > 0，
所以函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > (0) = 0，所以 > 1 ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 ′( ) = 1 >
1 = 1 > = 0，

1
所以 0 ∈ (1, )，使得 ′( 0) = 0，
当 ∈ (1, 0)时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )在(1, 0)上单调递减，
所以 ( 0) < (1) = 0，与题意矛盾，
综上所述， 的范围为{ | ≥ 1}．
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