天津市二中2024-2025高一（下）第一次月考数学试卷(pdf版,含答案)

2024-2025 学年天津二中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若 = (7,4)， = (4,0)，则与向量 同向的单位向量是( )
A. ( 3 , 4 ) B. ( 4 , 3 ) C. ( 3 , 4 ) D. ( 45 5 5 5 5 5 5 ,
3
5 )
2.在△ 中，若 = 2 3， = 2， = 60°，则 =( )
A. 6 B.

4 C.
5
6或 6 D. 3
3.平面向量 与 的夹角为 60°， = (2,0)，| | = 1，则| + 2 | =( )
A. 3 B. 2 3 C. 4 D. 12
4.若| | = 2，| | = 4，向量 与 的夹角为 120°，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. 3 4
B. 1 C. 1 4 2
D. 1 2

5.若| | = 2，| | = 2 且( ) ⊥ ，则 与 的夹角是( )
A. 6 B.

4 C. 3 D.
5
12
6.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ： ： = 3：5：7，则最大角为( )
A. 5 6 B. 6 C.
2
3 D. 3
7.已知向量 与 = (6, 8)的夹角为 ，且| | = | |，若点 的坐标为( 1,2)，则点 的坐标为( )
A. ( 7,10) B. (7,10) C. (5, 6) D. ( 5,6)
8 , , = 1 3.若单位向量 满足 2， = 2 ，则 =( )
A. 0 B. 12 C. 0 或
1
2 D. 0
3
或 2
9.在平行四边形 中， = 2, = 1, = (2, 3)，则 =( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
10 (
1
.已知非零向量 与 满足 + ) = 0，且| | | | | = 2，则△ 为( )| | |
A.等腰非等边三角形 B.等边三角形
C.三边均不相等的三角形 D.直角三角形
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11.在△ 中， = 2 7， = 2，∠ = 60°，则 =______．
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12.设△ 的内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， .若 + = 12 ，且 > ，则 = ______．
13.已知点 (1,0)，点 ( 3,1)，向量 = ( , 4)，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是______．
14.已知 与 是两个不共线的向量， = ， = 2 + ， = + ，若 ， ， 三点共线，则 2 =
______．
15.已知正方形 的边长为 2， 是 的中点， 是线段 上的点，则 的最小值为______．
16.已知 是△ 的外心， = 2， = 3， + 2 = 1，若 = + ，( ≠ 0)，则
cos∠ =______．
三、解答题：本题共 3 小题，共 36 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 12 分)
已知向量 = (1,0)， = ( ,1) ，且 与 的夹角为4．
(1)求 及| 2 |；
(2)若 + 与 垂直，求实数 的值．
18.(本小题 12 分)
在△ 5中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 2 + 2 2 = ， = 3， = 3 ．
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)求 的值；
(Ⅲ)求 sin(2 )的值．
19.(本小题 12 分)
已知锐角△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 = ( , )， = (2 , 3)，且 // ．
(1)求角 的大小；
(2)若△ 的面积为 3，求 的最小值；
(3)若 = 2， 边上的中线 长为 3，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.6
12. 6
13.( ∞, 16) ∪ ( 16,1)
14.3
15. 95
16.34
17.解：(1)根据题意，向量 = (1,0)， = ( ,1)，
则 = ，| | = 1，| | = 1 + 2，

又由 与 的夹角为4，则有
= | || | ，即 = 1 + 2 × 22 ，
解可得： = 1，
则 2 = ( 1, 2)，故| 2 | = 1 + 4 = 5；
(2)由(1)的结论， = 1，则 = (1,1)，
若 + 与 垂直，则( + ) = 1 + 2 = 0，
1
解可得： = 2．
18.解：(Ⅰ)因为 2 + 2 2 = ，
所以由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
1
可得 = 2，
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又 为△ 的内角，
所以 = 3；
(Ⅱ)由 = 5 5 2 23 ，可得 = 1 ( 3 ) = 3，

由(Ⅰ)知 = 3，
又因为 = 3，
3× 3
则由正弦定理得： = 2 9 = 2 = 4；
3
(Ⅲ)因为 2 = 2 = 4 59 ， 2 = 2
2 1 = 19，
所以 sin(2 ) = sin(2 ) = 1 2 3 2 = 1 × 4 5 3 1 4 5 33 2 2 2 9 2 × 9 = 18 ．
19.
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