宁夏银川市育才中学2024-2025高二（下）第一次月考数学试卷(pdf版,含答案)

2024-2025 学年宁夏银川市育才中学高二（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = 3 12 + 1 的极小值为( )
A. 17 B. 15 C. 15 D. 17
2.定义“分组排列”：先将 个不同元素分成 组( ≤ )，再对这 组进行全排列.现有 6 名志愿者，要分
成 3 组，一组 1 人，一组 2 人，一组 3 人，然后将这 3 组分配到 3 个不同的社区服务，则不同的分配方法
有( )种．
A. 360 B. 120 C. 60 D. 240
3.如图，一只蚂蚁从点 出发沿着水平面的线条爬行到点 ，再由点 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶
点 ，则它可以爬行的不同的最短路径有( )条．
A. 40
B. 60
C. 80
D. 120
4.在二项式(2 + 1)6的展开式中，系数最大项的系数是( )
A. 20 B. 160 C. 240 D. 192
5.已知函数 ( ) = 2 + 2 是减函数，则 的取值范围为( )
A. ( ∞,0] B. ( ∞, 1] C. ( ∞,1] D. ( ∞, 12 ]
6.已知函数 ( ) = 2 3 + 3( + 2) 2 + 12 + 1 在 = 2 处取得极大值，则实数 的取值范围为( )
A. < 2 B. > 2 C. > 2 D. < 2
7.已知 上的可导函数 ( )的图象如图所示，则不等式( 2) ′( ) > 0 的解集为( )
A. ( ∞, 2) ∪ (1, + ∞)
B. ( ∞, 2) ∪ (1,2)
C. ( ∞,1) ∪ (2, + ∞)
D. ( 1,1) ∪ (2, + ∞)
8.已知 ( )为定义在 上的可导函数， ′( )为其导函数，且 ( ) < ′( )恒成立， 是自然对数的底数，
则( )
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A. (2024) < (2025) B. (2024) < (2025)
C. (2024) = (2025) D. (2024) > (2025)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.判断下列命题正确的是( )
A.函数的极小值一定比极大值小
B.对于可导函数 ( )，若 ′( 0) = 0，则 0为函数的一个极值点
C.函数 ( )在( , )内单调，则函数 ( )在( , )内一定没有极值
D.三次函数在 上可能不存在极值
10.函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 3 是函数 = ( )的极值点
B. 1 是函数 = ( )的最小值点
C. = ( )在区间( 3,1)上单调递增
D. = ( )在 = 0 处切线的斜率小于零
11.已知函数 ( ) = + ， ′( )为 ( )的导函数，则( )
A.曲线 = ( )在(0, (0))处的切线方程为 = + 1
B. ( )在区间(0, + ∞)上单调递增
C. ( )在区间( , 0)上有极小值
D. ′( )在区间( , + ∞)上有两个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 3 4 2 = ，则 8 + 18 + 9 = ______．
13.用 6 种颜色给下图四面体 的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶
点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有_____种. (答案用具体数字表示)
14.函数 = 在区间(0,3]上有两个零点，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ( 2 + 1) ( ∈ )在 = 2 处取得极小值．
(1)求 的值，并求函数 ( )的单调区间；
(2)求 ( )在区间[ 2,0]上的最大值和最小值．
16.(本小题 15 分)
从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加数学竞赛．
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(1)如果选出的 4 人中男生、女生各 2 人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有 1 人入选，那么有多少种选法？
(3)如果被选出的 4 人是甲、乙、丙、丁，将这 4 人派往 2 个考点，每个考点至少 1 人，那么有多少种派送
方式？
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + + 2 在 = 2 处取得极值 14．
(1)求 ， 的值；
(2)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(3)求函数 ( )在[ 3,3]上的最值．
18.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = 22 ( ∈ )．
(1)讨论 ( )的单调性．
(2)当 = 1， > 1 时，证明： ( ) < 2 33 ．
19.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = + ．
(1)当 = 2 时，求 ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)若 ( ) ≥ 3 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.120
13.4080
3
14.( , 3 ]
15.解：(1)易知 ( )的定义域为 ，
可得 ′( ) = (2 ) + ( 2 + 1) = ( 2 + 2 + 1) ，
因为函数 ( )在 = 2 处取得极小值，
所以 ′(2) = (4 2 + 4 + 1) 2 = 0，
解得 = 3，
当 = 3 时， ( ) = ( 2 3 + 1) ，
可得 ′( ) = ( 2 2) = ( + 1)( 2) ，
当 < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 1 < < 2 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 2 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以函数 ( )在 = 2 处取得极小值，满足题意；
(2)由(1)知， ( )在( 2, 1)上单调递增，在( 1,0)上单调递减，
所以 ( )在 = 1 处取得极大值也是最大值，最大值 ( 1) = 5 1，
又 (0) = 1， ( 2) = 11 2，
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以为内 1 < 11 2，
所以 ( )在区间[ 2,0]上的最小值为 1．
综上所述， ( )在区间[ 2,0]上的最大值为 5 1，最小值为 1．
16.解：(1)从 5 名男生中选 2 名，4 名女生中选 2 人，属于组合问题， 2 25 4 = 60，故有 60 种选法；
(2)若小王和小红均未入选，则有 47 = 35 种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有 1 人入选，则有
4 49 7 = 126 35 = 91 种选法；
(3)若 2 个考点派送人数均为 2 人，则有 2 24 2 = 6 种派送方式，
若 1 个考点派送 1 人，另 1 个考点派送 3 人，则有 14 3 23 2 = 8 种派送方式，故一共有 8 + 6 = 14 种派送
方式．
17.解：(1)因为函数 ( ) = 3 + + 2，所以 ′( ) = 3 2 + ，
又函数 ( )在 = 2 处取得极值 14．
( 2) = 14 8 2 + 2 = 14 = 1
则有 ，即 ，解得： ，
′( 2) = 0 12 + = 0 = 12
经检验， = 1， = 12 时，符合题意，故 = 1， = 12．
(2)由(1)知：函数 ( ) = 3 + 12 + 2，则 ′( ) = 3 2 + 12，
所以 ′(1) = 9，又因为 (1) = 1 + 12 + 2 = 13，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 13 = 9( 1)，
也即 9 + 4 = 0．
(3)由(1)知：函数 ( ) = 3 + 12 + 2，则 ′( ) = 3 2 + 12，
令 ′( ) = 0，解得： 1 = 2， 2 = 2，
在 ∈ [ 3,3]时，随 的变化， ′( )， ( )的变化情况如下表所示：
3 ( 3, 2) 2 ( 2,2) 2 (2,3) 3
′( ) 0 + 0
( ) 7 单调递减 14 单调递增 18 单调递减 11
由表可知：当 = 2 时，函数 ( )有极小值 ( 2) = 14；
当 = 2 时，函数 ( )有极大值 (2) = 18；
因为 ( 2) = 14 < (3) = 11， (2) = 18 > ( 3) = 7，
故函数 ( )在[ 3,3]上的最小值为 ( 2) = 14，最大值为 (2) = 18．
18.解：(1)因为 ( ) = 1 22 ，定义域为(0, + ∞)，所以 ′( ) =

( > 0)，
2
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增．当 > 0 时， ′( ) = = ．
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所以当 0 < < 时， ′( ) < 0；当 > 时， ′( ) > 0．
综上所述：当 ≤ 0 时， ( )的单调递增区间为(0, + ∞)，无单调递减区间；
当 > 0 时， ( )的单调递增区间为( , + ∞)，单调递减区间为(0, )．
3 2
(2)证明：当 = 1 2时，设 ( ) = 3 1 23 2 ( > 1)，则 ′( ) = 2
2 1 = 2 1 =
( 1)(2 2+ +1)
．
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上是增函数．
从而 ( ) > (1) = 1 2 3 1 26 > 0，即3 2 > 0，
1 2 2所以 32 + < 3 ．
故当 > 1 1时，有 2 + < 2 32 3 成立
2
19. 2 ′( ) =解：(1)当 = 2 时， ( ) = + 2 ′(1) = 1， (1) = 2
则 ( )在(1, (1))处的切线方程为： 2 = 1 × ( 1) + 3 = 0；
(2) ( ) = + 由 ′( ) =

2 ( > 0)，
若 ≤ 0，则 ′( ) > 0 恒成立，即 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
若 > 0，则 > 时，有 ′( ) > 0，即 ( )在(0, )上单调递减，
> > 0 时，有 ′( ) < 0，即 ( )在(0, )上单调递减；
综上：若 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；若 > 0 时， ( )在(0, )上单调递减， ( )在(0, )上单
调递减；
(3)不等式 ( ) ≥ 3 + 2 3 ≥ 恒成立，
设 ( ) = + 2 3 ( > 0) ′( ) = + 2 2，
易知 ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
又 ′(1) = 0，所以 > 1 时有 ′( ) > 0，1 > > 0 时有 ′( ) < 0，
即 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 2 ≥ ≥ 2，
故 的取值范围[2, + ∞)．
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