2024-2025安徽省阜阳市某中学高三（下）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省阜阳市某中学高三（下）质检数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，以下结论正确的个数为( )
当时，函数的图象的对称中心为；
当时，函数在上为单调递减函数；
若函数在上不单调，则；
当时，在上的最大值为．
A. B. C. D.
4.盒中装有形状、大小完全相同的张“刮刮卡”，其中只有张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出张，则至少有一张有奖的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知定义域为的函数为奇函数，且，则( )
A. B. C. D.
6.下列函数中，值域为且为奇函数的是( )
A. B. C. D.
7.如图，某几何体的三视图是由三个边长为的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D. 与点的位置有关
8.在的展开式中，含的项的系数是( )
A. B. C. D.
9.若复数是纯虚数，则( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.若是的充分不必要条件，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
12.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图所示，点，均在抛物线上，等腰直角的斜边为，点在轴的正半轴上，则点的坐标是______．
14.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是______．
15.平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则______．
16.给出以下式子：
；
；
其中，结果为的式子的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，，点以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
求曲线的直角坐标方程，并指出其形状；
曲线与曲线交于，两点，若，求的值
18.本小题分
近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品请位专家进行质量把关，质量把关程序如下：若件手工艺品位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为级；若仅有位专家认为质量不过关，再由另外位专家进行第二次质量把关，若第二次质量把关的位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为级，若第二次质量把关的位专家中有位或位认为质量不过关，则该手工艺品质量为级；若有位或位专家认为质量不过关，则该手工艺品质量为级已知每一次质量把关中件手工艺品被位专家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立．
求件手工艺品质量为级的概率；
若件手工艺品质量为，，级均可外销，且利润分别为元、元、元，质量为级不能外销，利润为元．
求件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；
记件手工艺品的利润为元，求的分布列与均值．
19.本小题分
某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图如图：
规定产品的质量指标值在的为劣质品，在拘为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损元，优等品每件盈利元，特优品每件盈利元．以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．
求每件产品的平均销售利润；
该企业为了解年营销费用单位：万元对年销售量单位：万件的影响，对近年年营销费用和年销售量数据做了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．
表中，，，
根据散点图判断，可以作为年销售量万件关于年营销费用万元的回归方程．
求关于的回归方程；
用所求的回归方程估计该企业应投人多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？收益销售利润营销费用，取
附：对于一组数据，，，其回归直线均斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
20.本小题分
年是中国改革开放的第周年．为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的名市民进行调查，将他们的年龄分成段：，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人进行座谈，用表示年龄在内的人数，求的分布列和数学期望；若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为当最大时，求的值．
21.本小题分
已知矩阵，二阶矩阵满足．
求矩阵；
求矩阵的特征值．
22.本小题分
设首项为的正项数列的前项和为，数列的前项和为，且，其中为常数．
求的值；
求证：数列为等比数列；
证明：“数列，，成等差数列，其中，均为整数”的充要条件是“，且”．
参考答案
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17.解：由，得，
，即．
曲线的直角坐标方程为，
表示以为圆心，以为半径的圆；
将为参数，代入，
整理得．
设，所对应的参数分别为，，
则，．
，
解得，则．
18.解：由题意知，件手工艺品质量为级的概率为．
由题意可知，件手工艺品质量为级的概率为，
设件手工艺品中不能外销的手工艺品是件，则，
则，其中．
．
由得，所以当时，，
即，由得，
所以当时，，
所以当时，最大，即件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是件．
由题意可知，件手工艺品质量为级的概率为，
件手工艺品质量为级的概率为，
件手工艺品质量为级的概率为，
件手工艺品质量为级的概率为，
所以的分布列为：
则．
19.解：设每件产品的销售利润为，则的可能取值为：，，，
由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为、、，
，，．
则元，
即每件产品的平均销售利润为元；
由，得，
邻，，，则，
由表格中数据得，，
则．
，即
，．
故回归方程为；
设年收益为万元，则．
令，则．
当，即时，由最大值为．
即该企业应投人万元营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大万元．
20.解：按分层抽样的方法抽取的人中，
年龄在内的人数为人，
年龄在内的人数为人，
年龄在内的人数为人．
所以的可能取值为，，，
所以，，，
所以的分布列为
．
设在抽取的名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，
所以，
所以．
设，
若，则，；
若，则，．
所以当时，最大，即当最大时，．
21.解：由矩阵的逆矩阵，
得．
矩阵的特征多项式，
令，解得或，
所以矩阵的特征值为或．
22.解：时，由得或，
若时，，
当时，，解得或，
而，所以不符合题意，故．
证明：当时，，则，
并化简得，则，
得
又因为，所以数列是等比数列，且．
证明：充分性：若，，由知，，依次为，，，
满足，即，，成等差数列；
必要性：假设，，成等差数列，其中，均为整数，又，
所以，化简得．
显然，设，
因为，均为整数，所以当时，或，
故当，且当，且时上式成立，即证．
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