浙江省2025年初中学业水平考试数学模拟押题卷 考试卷+解析卷

浙江省2025年初中学业水平考试数学模拟押题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．下列比较有理数的大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是 （ ）
A． B．
C．(-a2)3=-a5 D．(-ab)4÷(-ab)2=a2b2
3．已知光在真空中的速度大约为，太阳光照射到地球上大约需要，则地球与太阳的距离大约是（ ）
A． B． C． D．
4．由个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，现拿走一个小立方体，得到几何体的主视图与左视图均没有变化，则拿走的小立方体是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
5．若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．在运动会中，有15名选手参加了400米预赛，取前8名进入决赛．已知参赛选手成绩各不同，某选手要想知道自己是否进入决赛，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．平均数和众数
7．如图，若反比例函数的图象与正方形总有交点，且，，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
8．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知抛物线交x轴于两点，且点A在点B的左边，直线经过点A．若函数的图象与x轴只有一个公共点时，则线段AB的长为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．无法确定
10．如图，点E，F分别为正方形的边上的点，交于点G，连接，已知与的面积之差，若要求正方形面积，只需要知道下列哪条线段的长（ ）

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）
11．若A＝（x+y）2，B＝（x﹣y）2，则A﹣B＝ ．
12．当x取 时，分式有意义．
13．二十四节气是上古农耕文明的产物，它在我国传统农耕社会中占有极其重要的位置，它科学地揭示了天文气象变化的规律，将天文、农事、物候和民俗实现了巧妙的结合如图，随机转动指针一次，则指针落在夏至区域的概率是 ．
14．如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．

15．如图，点A在第一象限，作轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过AB的中点C，过点A作轴，交该函数图象于点是AC的中点，连结OE，将沿直线OE对折到，使恰好经过点D，若，则k的值是 ．
16．如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交于点G，F，且．
（1）若，则 ．
（2）若，则的值为 ．
三、解答题：（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．计算：
（1）
（2）
（3）先化简：再求值．，其中
18．如图所示为有16个边长为1的小正方形拼成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点，请按照要求画图．
(1)在图1中画出1个面积为3的，顶点C在格点上；
(2)在图2中画出2个以为腰的等腰、，且这两个三角形不全等，点C、D都在格点上；
(3)在图3中画出2个以为斜边的直角三角形，，点C、D均在各点上．
19．观察下列各式：
；；；
请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想： ．
(2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式；
(3)应用计算：．
20．每年的4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社甲乙两名同学为了更好的了解全校学生课外阅读情况，分别随机调查了20名学生每周用于课外阅读的时间，将收集到的数据进行了整理，部分信息如下：
数据收集：甲同学从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：分钟：40；15；20；85；71；90；43；60；120；70；71；80；10；42；65；107；85；71；125；130
乙同学从八年级随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：分钟）10；42；86；25；70；55；76；30；18；120；102；82；60；140；82；40；114；100；90；98
数据描述：
将阅读时间分为四个等级：
甲同学按下表整理样本数据：
等级 A B C D
人数 a 9 b 3
乙同学绘制扇形统计图如图：
分析数据：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数 中位数 众数
甲 70 c 71
乙 72 79 d
根据以上信息，回答下列问题：
（1）_______，_______，________，________；________度；
（2）甲乙两名同学中，哪名同学随机调查的数据能较好地反映出该校学生每周用于课外阅读时间情况，并简要说明另一名同学调查的不足之处；
（3）根据正确统计的这组每周课外阅读时间的样本数据，若该校学生有1500人，请估计每周课外阅读时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
21．阅读与思考
阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：
(1)如图1，在中，，，，则______；
(2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）
(3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号）
22．如图1，为直径，点E是弦中点，连接并延长交于点D，
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点F，求证：；
(3)如图3，在（2）条件下，延长至点G，连接，若，，求的周长.
23．已知抛物线（b，c是常数）的顶点为P，经过点，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若将该抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为，求的最大值；
(3)若抛物线的对称轴为直线，M，N为抛物线对称轴上的两个动点（M在N上方），，，连接，，当取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N，求新抛物线的函数解析式．
24．如图1，在正方形中，，的边分别与对角线相交于点P，Q，请说明．
尝试解决：
（1）小明给出了以下思路：将绕点A逆时针旋转得到，使与重合，连结，请帮小明完成解题过程．
类比探究：
（2）如图2，在正方形内作，使与相交于点与相交于点Q，连结．已知，，求的面积．
拓展应用：
（3）如图3，在长方形中，，，，P是上一点，Q是上一点，连结，求的面积的最小值．
浙江省2025年初中学业水平考试数学模拟押题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．下列比较有理数的大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数大小比较法则逐项判断即可．
【详解】．，不符合题意；
．，不符合题意；
．，符合题意
．，不符合题意；
故选：
【点睛】本题考查了有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小，是解题关键．
2．下列运算正确的是 （ ）
A． B．
C．(-a2)3=-a5 D．(-ab)4÷(-ab)2=a2b2
【答案】D
【详解】【分析】A.合并同类项；其他是幂的运算，根据：
同底数幂的乘法：底数不变,指数相加,即am·an=am+n；
同底数幂的除法：底数不变,指数相减,即am÷an=am-n；
幂的乘方：底数不变,指数相乘，即(am) n=amn；
积的乘方：等于各因数分别乘方的积，即 am·bm=(ab) m;
【详解】A.2a5-3a5=-a5,故不能选 ;
B.a2a3=a5 ，故不能选
C. (-a2)3=-a6，故不能选；
D. (-ab)4÷(-ab)2=(-ab)2=a2b2，故正确.
故正确选项为：D.
【点睛】本题考核知识点：幂的运算法则. 解题关键点：熟练掌握运算法则，避免混淆公式.
3．已知光在真空中的速度大约为，太阳光照射到地球上大约需要，则地球与太阳的距离大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用有理数的乘法法则，结合科学记数法表示方法得出答案．
【详解】解：由题意可得，
地球与太阳的距离大约是：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数乘法，正确掌握运算法则是解题关键．
4．由个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，现拿走一个小立方体，得到几何体的主视图与左视图均没有变化，则拿走的小立方体是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据主视图和左视图的特点，即可得出结果．
【详解】解：根据主视图的特点，拿走③不会变化，
根据左视图的特点，拿走①③④都不会变化，
综合来看，拿走③得到几何体的主视图与左视图均没有变化，
故选：C．
5．若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由点在平面直角坐标系的第三象限内得到，解不等式组，并把解集表示在数轴上即可得到答案．
【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解不等式①得，
解不等式①得，
把解集表示在数轴上如下：

∴不等式组的解集为．
即x的取值范围是．
故选：D
【点睛】此题考查了平面直角坐标系各象限的符号特征，一元一次不等式组的解法、在数轴上表示不等式的解集等知识，熟练掌握平面直角坐标系各象限的符号特征是解题的关键．
6．在运动会中，有15名选手参加了400米预赛，取前8名进入决赛．已知参赛选手成绩各不同，某选手要想知道自己是否进入决赛，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．平均数和众数
【答案】B
【分析】中位数是一组数据最中间一个数或两个数据的平均数；15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8的成绩是中位数，
所以要判断是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
7．如图，若反比例函数的图象与正方形总有交点，且，，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把A、C两点的坐标分别代入反比例函数解析式，求出的k值即为其取值范围的临界点.
【详解】解：把A（-2，2）代入得
解得
把C（-1，1）代入得
解得
∴反比例函数图像与正方形ABCD有交点的k的取值范围为
故选D.
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的特点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得：5只雀、6只燕重量为1斤，雀重燕轻，互换其中一只，重量相等，列方程组即可．
【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
因为今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，
所以，
因为5只雀、6只燕重量为1斤，
所以，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
9．已知抛物线交x轴于两点，且点A在点B的左边，直线经过点A．若函数的图象与x轴只有一个公共点时，则线段AB的长为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．无法确定
【答案】B
【分析】由直线经过点A可知函数的图象与x轴就是点A，由只有一个公共点可知函数的顶点是A（﹣，0），用顶点式求出的解析式，再表示出的解析式，然后利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵直线经过点A（，0），
∴2+t=0，
∴=﹣，A（﹣，0）．
∵若函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴这个公共点就是点A，
∴可以假设，
∴，
当=0时，，
整理得：，
∴，，
∴AB=====8．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的有关知识，还考查了一元二次方程的根与系数的关系，灵活运用顶点式是解决问题的关键．
10．如图，点E，F分别为正方形的边上的点，交于点G，连接，已知与的面积之差，若要求正方形面积，只需要知道下列哪条线段的长（ ）

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质，根据的面积等于，的面积等于，得到与的面积之差等于，即：，得到只需知道线段的长，即可求出的长，进而求出正方形的面积即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∴，
∵的面积等于，的面积等于，
∴与的面积之差等于，
即：，
∵与的面积之差已知，
∴只需知道线段的长，即可求出的长，进而求出正方形的面积；
故选A．
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）
11．若A＝（x+y）2，B＝（x﹣y）2，则A﹣B＝ ．
【答案】4xy．
【分析】根据平方差公式进行因式分解，再进行计算即可．
【详解】解：A﹣B=（x+y）2﹣（x﹣y）2
=[（x+y）+（x﹣y）][（x+y）﹣（x﹣y）]
=2x 2y
=4xy．
故答案为：4xy
【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用平方差公式因式分解是解决此题的关键．
12．当x取 时，分式有意义．
【答案】x≠0且x≠±1
【分析】要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围．
【详解】由题意可知，只有当：时，原分式才有意义，解得：，即当x≠0且x≠±1时，原分式有意义．
故答案为x≠0且x≠±1．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x是的分母，所以x≠0； x﹣是的分母，所以x﹣≠0；1﹣又是整个分式的分母，因此1﹣≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现．
13．二十四节气是上古农耕文明的产物，它在我国传统农耕社会中占有极其重要的位置，它科学地揭示了天文气象变化的规律，将天文、农事、物候和民俗实现了巧妙的结合如图，随机转动指针一次，则指针落在夏至区域的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．根据概率公式直接求出即可．
【详解】解：随机转动指针一次，指针指向有24种可能，指针落在夏至区域有1种可能，
指针落在夏至区域的概率是．
故答案为：．
14．如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．

【答案】
【分析】设AB＝x，AD＝y，则DE＝y﹣x，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【详解】解：设AB＝x，AD＝y，则DE＝y﹣x，
根据题意，得： ，
整理得：x＝2(y﹣x)
解得：，
即：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15．如图，点A在第一象限，作轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过AB的中点C，过点A作轴，交该函数图象于点是AC的中点，连结OE，将沿直线OE对折到，使恰好经过点D，若，则k的值是 ．
【答案】12
【分析】过D作于F，判定≌△EAG，即可得到AD==BE，依据E是AC的中点，C是AB的中点，即可得到，，设，则，根据反比例函数的图象经过点C点D，可得，求得a的值，进而得到．
【详解】解：如图，过D作于F，
轴，轴，
四边形ABFD是矩形，
由折叠可得，，
又，，
≌，
，，
，
又是AC的中点，C是AB的中点，
，，
，，
设，则，
反比例函数的图象经过点C点D，
，
解得，
，
，
故答案为12．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质的运用，正确掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
16．如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交于点G，F，且．
（1）若，则 ．
（2）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】（1）根据折叠的性质可得，进而求出，则，根据等边对等角可得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（2）过点作于点，得到四边形、均为矩形，根据得到，由平行线的性质得，由对顶角相等得，则，进而得到，根据勾股定理求出，设，则，，，再根据勾股定理求得，根据折叠的性质可得，，，，于是，，在中，根据勾股定理列出方程求解即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
【详解】解：（1）四边形为矩形，
，
，
根据折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图，过点作于点，
四边形为矩形，设，，
，，，，
，
四边形、均为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
在中，，
，
解得：，
∴
故答案为：
三、解答题：（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．计算：
（1）
（2）
（3）先化简：再求值．，其中
【答案】（1）；（2）9；（3）.
【分析】（1）根据二次根式的加减法和除法可以解答本题；
（2）根据完全平方公式和多项式乘多项式可以解答本题；
（3）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1）
=
=3-+2
=4；
（2）（ 1）2+（+2）2-2（ 1）（+2）
=3-2+1+3+4+4-2（3+-2）
=3-2+1+3+4+4-2-2
=9；
（3）
=
=
=
=
，
当时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
18．如图所示为有16个边长为1的小正方形拼成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点，请按照要求画图．
(1)在图1中画出1个面积为3的，顶点C在格点上；
(2)在图2中画出2个以为腰的等腰、，且这两个三角形不全等，点C、D都在格点上；
(3)在图3中画出2个以为斜边的直角三角形，，点C、D均在各点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格的特点，作底为2，高为3的等腰三角形即可；
（2）根据网格的特点画出2个以为腰的等腰、，且这两个三角形不全等
（3）画出2个以为斜边的等腰直角三角形，，
【详解】（1）如图所示，的底边，高为3，则面积为，则即为所求；
（2）解：如图所示，
∴、是等腰三角形，
（3）解：如图所示，
∵，
，则是直角三角形，且是斜边
∵，
∴，则是直角三角形，且是斜边
【点睛】本题考查了在网格中画等腰三角形，勾股定理与网格问题，掌握等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键．
19．观察下列各式：
；；；
请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想： ．
(2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式；
(3)应用计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据提供的解法可得答案；
（2）根据规律推广至一般情况即可；
（3）利用上述规律方法解答即可．
【详解】（1），
故答案为：，；
（2）由上述规律可得，
；
（3）．
【点睛】本题考查了数字类规律题，二次根式的性质化简，找到规律是解题的关键．
20．每年的4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社甲乙两名同学为了更好的了解全校学生课外阅读情况，分别随机调查了20名学生每周用于课外阅读的时间，将收集到的数据进行了整理，部分信息如下：
数据收集：甲同学从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：分钟：40；15；20；85；71；90；43；60；120；70；71；80；10；42；65；107；85；71；125；130
乙同学从八年级随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：分钟）10；42；86；25；70；55；76；30；18；120；102；82；60；140；82；40；114；100；90；98
数据描述：
将阅读时间分为四个等级：
甲同学按下表整理样本数据：
等级 A B C D
人数 a 9 b 3
乙同学绘制扇形统计图如图：
分析数据：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数 中位数 众数
甲 70 c 71
乙 72 79 d
根据以上信息，回答下列问题：
（1）_______，_______，________，________；________度；
（2）甲乙两名同学中，哪名同学随机调查的数据能较好地反映出该校学生每周用于课外阅读时间情况，并简要说明另一名同学调查的不足之处；
（3）根据正确统计的这组每周课外阅读时间的样本数据，若该校学生有1500人，请估计每周课外阅读时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
【答案】（1）3；5；71；82；108；（2）甲同学，见解析；（3）600人
【分析】（1）根据给出的数据即可直接得出3，5；根据中位数和众数的概念即可得出71、82；先求出乙同学的数据，知道总人数，根据公式即可得出答案；
（2）根据抽样调查的原则即可得出答案；
（3）利用样本和总体之间的比例关系即可得出答案．
【详解】解：（1）甲同学收集的数据中，的数据有：15；20；10；共3个
3，
的数据有： 85；90；80；107；85； 共5个
5，
甲同学收集的数据从小到大排列：10，15，20，40，42，43，60，65，70，71，71，71，80，85，85，90，107，120，125，130，排在第10和第11的两个数都是71，
中位数为
71；
乙同学收集的数据中，出现次数最多的是82（82出现2次，其余的数只出现1次）
82；
乙同学的数据有：42，70，55，76，60，40共6人
108
（2）甲同学的较好：甲同学随机调查的数据是从全校随机抽取的数据，能较好的反映出该校学生每周的阅读时间的情况；乙同学的不足之处是总体是全校学生，而乙同学的样本是八年级选取的，样本数据选取不具代表性．
（3）甲同学收集的数据中，每周劳动时间在80分钟（含80分钟）以上的学生为的和，即5+3=8
占所收集样本百分比为：
（人）
答：该校学生有1500人，估计每周课外阅读时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有600人．
【点睛】此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本和总体的关系是关键．
21．阅读与思考
阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：
(1)如图1，在中，，，，则______；
(2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）
(3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号）
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正弦定理，正确的理解正弦定理是解题的关键．
（1）由题意根据正弦定理即可得到结论；
（2）由题意得到，根据正弦定理即可得到结论；
（3）先求出以及的长，根据正弦定理即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意可知：，
∵，，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
（2）解：如图：
由题意可知，，，海里，，
∴，
∴，即，
∴，
∴B处与灯塔的距离为海里，
故答案为：．
（3）解：如图：
由题可知，海里，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，海里，
海里，
在中， 海里，
∴海里，
由前面定理可知：，
则，
∴，
∴的正弦值．
22．如图1，为直径，点E是弦中点，连接并延长交于点D，
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点F，求证：；
(3)如图3，在（2）条件下，延长至点G，连接，若，，求的周长.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据圆心角与弧之间的关系得出即可；
（2）连接，证明，得出，即可证明；
（3）连接，交于点H，证明，得出，求出，得出，根据为的中点，得出，求出，根据解析（2）求出，设的半径为r，根据勾股定理得出，求出，最后求出圆的周长即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：

∴，
∵E是弦中点，
∴，
∴．
（2）证明：连接，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：连接，交于点H，如图所示：

∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴，
设的半径为r，
在中，，，，
∴，
解得：，
∴，
即的周长为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，垂径定理，圆心角、弧之间的关系，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
23．已知抛物线（b，c是常数）的顶点为P，经过点，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若将该抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为，求的最大值；
(3)若抛物线的对称轴为直线，M，N为抛物线对称轴上的两个动点（M在N上方），，，连接，，当取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N，求新抛物线的函数解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当时，，即可得抛物线解析式为：，问题得解；
（2）由（1）可知，即有抛物线解析式为：，配成顶点式为：，可得新抛物线的顶点坐标为：，即，，则有，问题随之得解；
（3）在上取一点E，使得，连接，，与抛物线对称轴交于点F，四边形是平行四边形，即有，，结合图形可知：，当且仅当E、N、D三点共线时取等号，即当E、N、D三点共线时，有最小值，最小值为，即点N与点F重合，利用待定系数法求出直线的解析式为：，即，则有，问题随之得解．
【详解】（1）根据题意：当时，，
∵，
∴抛物线解析式为：，
配成顶点式为：，
∴抛物线的顶点坐标为：；
（2）由（1）可知，
∴抛物线解析式为：，
配成顶点式为：，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线向右平移2个单位，
∴抛物线的顶点也向右平移2个单位，
∴新抛物线的顶点坐标为：，
即，，
∴，
∴，
∴的最大值为；
（3）如图，在上取一点E，使得，连接，，与抛物线对称轴交于点F，
∵M，N为抛物线对称轴上的两个动点，
∴轴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵结合图形可知：，当且仅当E、N、D三点共线时取等号，
∴当E、N、D三点共线时，有最小值，最小值为，
即点N与点F重合，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴F点横坐标为2，
∴当时，，即，
∵点N与点F重合，
∴，
∵抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N，
∴点为新抛物线的顶点，
∴新抛物线解析式为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，平行四边形的判定与性质等知识，构造辅助线，得出当E、N、D三点共线时，有最小值，最小值为，进而求出，是解答本题的关键．
24．如图1，在正方形中，，的边分别与对角线相交于点P，Q，请说明．
尝试解决：
（1）小明给出了以下思路：将绕点A逆时针旋转得到，使与重合，连结，请帮小明完成解题过程．
类比探究：
（2）如图2，在正方形内作，使与相交于点与相交于点Q，连结．已知，，求的面积．
拓展应用：
（3）如图3，在长方形中，，，，P是上一点，Q是上一点，连结，求的面积的最小值．
【答案】（1）见详解；（2）15；（3）
【分析】（1）可证明，，则，由于在中，，故；
（2）延长至点G，使得，连接，则可得，
同（1）可证明，故，设正方形边长为a，则，在中，由勾股定理得，，解得，，故；
（3）延长至点，使得，连接，先证明，则，，同上可得，，过点P作，故，可得，作的外接圆，记为，连接，作，则，设的半径为r，则，，由，得到，故，因此，故，则．
【详解】（1）证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴；
（2）解：延长至点G，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
同（1）可证明，
∴，
设正方形边长为a，则，
∴在中，由勾股定理得，，
解得，，
∴；
（3）解：延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
同上可得，，
过点P作，
∴，
∴，
作的外接圆，记为，连接，作，
∵，
∴，
设的半径为r，
∴在中，由勾股定理可得，，
∵，，
∴点H为的中点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点 ，熟练掌握知识点，正确添加辅助线，识别“定角定高”模型求面积最值是解决本题的关键．