云南省昆明市华山中学2025年中考数学模拟试卷（3月份）（含答案）

2025 年云南省昆明市华山中学中考数学模拟试卷（3 月份）
一、选择题：本题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.2024 年 6 月 25 日 14 时 7 分，嫦娥六号携带月球背面样品成功返回地球，历时 53 天，38 万公里的太
空往返之旅，创造中国航天新的世界纪录.其中克服温差之大也是一大创举，月球表面的最高温度零上 130℃，
记作+130℃，最低温度零下 180℃，应记作( )
A. +1800℃ B. 180℃ C. +310℃ D. 310℃
2.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已
融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. 如意纹 B. 冰裂纹
C. 盘长纹 D. 风车纹
3.春季来临，友谊公园的鲜花盛开，郁金香的花香更浓.某品种郁金香花粉直径约为 0.000000032 米，数据
0.000000032 用科学记数法表示为( )
A. 32 × 10 7 B. 3.2 × 10 7 C. 3.2 × 10 8 D. 0.32 × 10 9
4.已知直线 // ，将一块含 30°角的直角三角板(∠ = 30°, ∠ = 90° )按如图所
示的方式放置，并且顶点 ， 分别落在直线 ， 上，若∠1 = 20°，则∠2 的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°
5.下列计算正确的是( )
A. 2 + 3 = 5 B. ( 2)3 = 6
C. 6 ÷ 3 = 3 D. ( + 2)2 = 2 + 4
6.如图，点 、 分别在△ 的边 、 上，且 // + + 2

，若 △ + + = 3，则 的值为( )△
A. 4 19 B. 9
C. 2 13 D. 3
7.方程 2 4 + 4 = 0 的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根
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C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根
8.如果一个正多边形的内角和是外角和的 4 倍，那么这个正多边形的边数为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
9.根据云南省统计局的数据可知，云南省 2024 年 7 月进出口总额约 198 亿元，9 月份进出口总额约为 214
亿元，且从 7 月到 9 月，若每月盈利的平均增长率都相同，求每月盈利的平均增长率.设月平均增长率为 ，
根据题意可列方程为( )
A. 198(1 + 2) = 214 B. 198(1 + )2 = 214
C. 198(1 + 2 ) = 214 D. 198(1 )2 = 214
10.如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位： )，则这个几何体的侧面
积为( )
A. 48 2
B. 60 2
C. 12 2
D. 9 2
11.若点 ( 3, 1)， (1,
3
2)， (3, 3)都在反比例函数 = 的图象上，则 1， 2， 3的大小关系是( )
A. 1 < 3 < 2 B. 1 < 2 < 3 C. 3 < 2 < 1 D. 2 < 3 < 1
12.按一定规律排列的单项式：4 ， 9 3，16 5， 25 7，36 9，…，据此规律第 14 个单项式为( )
A. 196 29 B. 196 27 C. 225 27 D. 225 29
13.如图， 是半圆 的直径，点 ， 在半圆 上.若∠ = 55°，则∠ 的度数为( )
A. 155°
B. 145°
C. 135°
D. 125°
14.在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量 可以用公式 =
2 + 表示.当 = 6， = 7 时，该微观粒子的能量 的值在( )
A. 4 和 5 之间 B. 5 和 6 之间
C. 6 和 7 之间 D. 8 和 9 之间
15.在一场篮球赛中，某队 5 名场上队员的身高(单位： )分别是：187，188，192，193，194.因身高为
194 的队员受伤，教练让身高为 190 的队员替补上场.与换人前相比，换人后场上队员的身高( )
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A.平均数变小，方差变大 B.平均数变小，方差变小
C.平均数变大，方差变小 D.平均数变大，方差变大
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 2 分，共 8 分。
16.要使二次根式 5 2 有意义，则实数 的取值范围为______．
17.因式分解 2 2 4 + 2 = ．
18.如图∠ = 60°，以 为圆心，8 为半径作弧，分别交 ， 于点 ，
，再分别以 ， 为圆心 长为半径作弧，两弧交于点 ，连接 ，则
的长为______．
19.昆明享有“春城”之美誉，是中国面向东南亚、南亚开放的门户城市，是国家历史文化名城，是中国重
要的旅游、商贸城市，是西南地区重要的中心城市之一，“元旦”期间相关部门对到昆明观光的游客的出
行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了如图所示的两幅统计图，下列四个说法中，错误的是______．
①本次抽样调查的样本容量是 5000；
②扇形统计图中的 值为 20；
③“自驾”所占扇形的圆心角度数为 54°；
④若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有 50 万人，估计选择飞机出行的有 12000 人．
三、解答题：本题共 8 小题，共 62 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题 7 分)
|1 3| + 2 60° ( 1 2 03 ) + ( 2020) 12．
21.(本小题 6 分)
如图，已知∠ = ∠ ，∠1 = ∠2， = .求证： = ．
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22.(本小题 7 分)
2024 年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计
划引进无人机田间喷洒农药技术，经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农
药亩数的 7.5 倍，120 亩的农田利用一架无人机喷洒农药比一个人喷洒节约 13 小时，求一架无人机平均每
小时喷洒农药的亩数．
23.(本小题 6 分)
2025 年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探 1900》《封神第二部：战火西岐》《熊
出没 重启未来》.小明和小红各自独立选择一部电影观看．
(1)小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》的概率是______．
(2)用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率．
24.(本小题 8 分)
云南依托得天独厚的自然资源和生物资源优势，大力发展农业庄园经济，助推高原特色农业转型升级，越
来越多的云南高原特色食用农产品正走向世界.某店购进一种水果，每盒进价为 50 元，规定销售单价不低于
成本.该水果月销售量 (盒)与售价 (元/盒)的变化情况部分数据如下表：
售价 (元/盒) … 55 60 65 70 …
销售量 (盒) … 1500 1400 1300 1200 …
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识直接判断 是关于 的哪种函
数，并求出函数关系式；
(2)若该种水果的每盒利润不超过进价的 30%，设这种水果每月的总利润为 (元)，那么售价定为多少元可
获得最大利润？最大利润是多少元？
25.(本小题 8 分)
如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ， ⊥ ，点 是 的中点，过点 作 // ，
交 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 = 8， = 12，求四边形 的面积．
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26.(本小题 8 分)
在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 2 2 3( ≠ 0)．
(1)求该抛物线的对称轴(用含 的式子表示)；
(2)若 = 1，当 2 < < 3 时，求 的取值范围；
(3)已知 (2 1, 1)， ( , 2)， ( + 2, 3)为该抛物线上的点，若( 1 3)( 3 2) > 0，求 的取值范
围．
27.(本小题 12 分)
如图，△ 内接于⊙ ， 平分∠ 交⊙ 于 ，过点 作 // 分别交 、 延长线于 、 ，连接 ．
(1)求证： 是⊙ 的切线；
(2)求证： 2 = ；
(3) 4 1若 、 的长是关于 的方程 + = 的两实根，且 tan∠ = 3，求⊙ 的半径．
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参考答案
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13.
14.
15.
16. ≤ 52
17.2( 1)2
18.8 3
19.④
20.
21.证明：∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 与△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
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∴△ ≌△ ( )，
∴ = ．
22.
23.
24.解：(1)用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识直接判断 是关于 的一次函数；
设售价 (元/盒)与销售量 (盒)的解析式为： = + ( ≠ 0)，且(55,1500)，(60,1400)，代入得：
55 + = 1500
60 + = 1400，
= 20
解得， = 2600，
∴函数解析式为： = 20 + 2600，
当 = 65 时， = 1300；
当 = 70 时， = 1200；符合题意，
∴ 与 是一次函数，解析式为 = 20 + 2600；
(2)售价为 (元/盒)，进价为 50(元/盒)，
∴单件利润为：( 50)元/盒，
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∴ = ( 50) = ( 50)( 20 + 2600) = 20 2 + 3600 130000，
∵每盒利润不超过进价的 30%，
∴ 50 ≤ 50 × 30%，
解得， ≤ 65，
∵ 20 < 0 = 3600，开口向下，且对称轴为 2×( 20) = 90，
∴当 < 90 时， 随 的增大而增大；当 > 90 时， 随 的增大而减小；
∴当 = 65 时，利润取得最大值，且 = 20 × 652 + 3600 × 65 130000 = 19500(元)，
∴售价为 65 元时可获得最大利润，最大利润为 19500 元．
25.(1)证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ = ， // ．
∵点 是 的中点，
∴ 是△ 的中位线．
∴ // ．
又∵ // ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ⊥ ， // ，
∴ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°．
∴四边形 是矩形；
(2)解：∵ = 8，
∴ = 12 =
1
2 = 4，
∵ ⊥ ， = = 12，
∴ = 2 2 = 122 82 = 4 5，
∴ = 12 = 2 5，
∴矩形 的面积= = 4 × 2 5 = 8 5．
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26.解：(1) ∵ = 2 2 2 3，
2
∴ 2 抛物线对称轴为直线 = 2 = ；
(2)当 = 1 时， = 2 2 3，
抛物线开口向上，对称轴为直线 = 1，
= 2 比 = 3 距离对称轴远，
∴ = 1 时， 1 = 1 2 3 = 4 为函数最小值，
当 = 2 时， 1 = 4 + 4 3 = 5 为函数最大值，
∴当 2 < < 3 时， 4 ≤ < 5；
(3) ∵对称轴为直线 = ，
∴当 > 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值 2，
∴ 3 2 > 0，
∵ ( 1 3)( 3 2) > 0，
∴ 1 3 > 0，即 1 > 3，
∴ |2 1 | > | + 2 |，
解得 > 3，
当 < 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值 2，
∴ 3 2 < 0，
∵ ( 1 3)( 3 2) > 0，
∴ 1 3 < 0，即 1 < 3，
∴ |2 1 | > | + 2 |，
解得 1 < < 0，
∴ 的取值范围是 > 3 或 1 < < 0．
27.(1)证明：∵ // ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
如图 1，连接 ， ，交 于 ，
则∠ = ∠ ，∠ = 2∠ = 2∠ ，
在△ 中，∠ + ∠ + ∠ = 180°，
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∴ 2∠ + 2∠ = 180°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ 是⊙ 的切线；
(2)证明：如图 2，连接 ，由(1)知 是⊙ 的切线，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ ，
∴ = ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∴ 2 = ；
(3) + 4解：方程 = 可化为
2 + 4 = 0，
∵ 、 的长是关于 的方程 + 4 = 的两实根，
∴ = 4，由(2)得 2 = ，
∴ 2 = 4，
∴ = 2，
由(1)知 是⊙ 的切线，
∴ ⊥ ，
∵ / / ，
∴ ⊥ ，由(1)得∠ = ∠ ，
∵ tan∠ = 13，
∴ tan∠ = 13，
∴ = 3 ，
∴ 2 + (3 )2 = 2 = 4，
∴ = 2 10，5
∴ = 6 10，5
设 = = ，
∴ = 2 10，5
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∵ 2 = 2 + 2，
∴ 2 = ( 2 10 2 6 10 2，5 ) + ( 5 )
解得： = 2 10，
∴⊙ 的半径为 2 10．
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