17.1一元二次方程同步练习（含解析）

17.1一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　）
A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，
2．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有一根等于0
C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0
3．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
5．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．12 D．5
8．若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≠0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
9．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x2+＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．2x2﹣5xy﹣y2＝0 D．（x﹣3）（x+2）＝1
10．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020 B． C．-2020 D．
11．若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．3
12．已知关于x的方程（a2-1）x2+（1-a）x+a-2=0，下列结论正确的是（ ）
A．当a≠±1时，原方程是一元二次方程．
B．当a≠1时，原方程是一元二次方程．
C．当a≠-1时，原方程是一元二次方程．
D．原方程是一元二次方程．
二、填空题
13．一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ．
14．已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
15．当时，一元二次方程的一个根为 ；当时，一元二次方程的一个根为 ．
16．关于x的方程（m+1）x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值范围是 ．
17．一元二次方程的解为 ．
三、解答题
18．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝+3，求c的值．
19．已知实数a是一元二次方程的根，求代数式的值．
20．已知关于的方程．
(1)当为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
21．关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？
22．已知是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
23．试证：不论k取何实数，关于x的方程 (k2 -6k +12)x2 = 3 - (k2 -9)x必是一元二次方程.
24．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)
《17.1一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C D C D C D C
题号 11 12
答案 A A
1．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键．
【详解】解：∵可化为，
∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7，
故选：C．
2．C
【详解】试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．
解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，
把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，
∴1+（﹣1）=0，
即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；
故选：C．
3．A
【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∴方程的一般形式为：
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解本题的关键．
4．C
【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可．
【详解】解：把，代入，得：，
解得：；
故选C．
5．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】、，是二元一次方程，原选项不符合题意；
、，是二元二次方程，原选项不符合题意；
、，是分式方程，原选项不符合题意；
、，是一元二次方程，原选项符合题意；
故选：．
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案：
【详解】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、，是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
7．D
【分析】由题意将代入原方程求解即可．
【详解】关于的一元二次方程的一个根是2
解得
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．C
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得．
【详解】解：根据题意得：
解得：m≥0且m≠1．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
9．D
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．
【详解】解：A、2x2+＝0，不是整式，
故方程不是一元二次方程，不符合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a=0时，方程不是一元二次方程，不符合题意；
C、2x2﹣5xy﹣y2＝0，有两个未知数，
故方程不是一元二次方程，不符合题意；
D、（x﹣3）（x+2）＝1，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．
10．C
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】∵，，a+c=0
∴，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
即是方程的一个根
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．
11．A
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到n2+mn+3n=0，然后两边同时除以n即可得到m+n的值．
【详解】解：把x=n代入x2+mx+3n=0得n2+mn+3n=0，
∵n≠0，
∴n+m+3=0，
即m+n=-3．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．A
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析求出即可．
【详解】当a≠±1时,a2 1=0，则原方程是一元二次方程．
故选A.
【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义
13． 1
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可．
【详解】解：∵
∴
∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为，
故答案为：；1；．
14．﹣3
【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可．
【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．
【分析】将x=1代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到a+b+c，由a+b+c=0得到方程左右两边相等，即x=1是方程的解；将x=-1代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到a-b+c，由a-b+c=0得到方程左右两边相等，即x=-1是方程的解．
【详解】解：将x=1代入ax2+bx+c=0的左边得：a×12+b×1+c=a+b+c，
∵a+b+c=0，
∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根．
将x=-1代入ax2+bx+c=0的左边得：a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c，
∵a-b+c=0，
∴x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根．
故答案为1，-1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
16．m≠-1
【分析】根据一元二次方程的定义m+10即可解出.
【详解】依题意得m+10，
∴m-1
【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义.
17．x=或x=2
【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．
【详解】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=,
故答案为:x=或x=2．
【点睛】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．
18．-5
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到a-2≥0，a-2≤0，解得a=2，则可计算出b=3，再根据一元二次方程解的定义得到a+b+c=0，然后把a和b的值代入即可求出c的值．
【详解】解：∵a、b满足b＝+3，
∴a-2≥0，a-2≤0，
∴a=2，
∴b=3，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，
∴a+b+c=0，
∴2+3+c=0，
∴c=-5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意义的条件．
19．-1
【分析】利用方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：∵a是方程的根，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
20．(1)
(2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是
【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．
（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【详解】（1）解：由是一元一次方程，得
根据题意，得且．
解得．
所以当时，此方程是一元一次方程；
（2）根据题意，得．
解得．
此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是．
21．
【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数不为零可得答案．
【详解】解：，
结合题意得：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
22．3．
【详解】试题分析：利用方程根的定义，把M代入一元二次方程，可得：，把要求值的分式化简得：，代入即可得到答案．
试题解析：由已知，可得．∴．∴原式=．
考点：1．分式的化简求值；2．一元二次方程的解．
23．见解析
【详解】试题分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
试题解析：∵k2-6k+12=（k-3）2+3＞0，
且未知数的最高次数是2；是整式方程；含有一个未知数，
∴不论k取何实数，关于x的方程(k2－6k＋12)x2＝3－(k2－9)x必是一元二次方程．
24．(1)，这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是
(2) ，这个方程的二次项系数是 ，一次项系数是2，常数项是5
【分析】根据一元二次方程的定义，形如（a、b、c为常数，）的整式方程叫做一元二次方程，其中a为二次型系数，b为一次项系数，c为常数项．
【详解】（1），
移项得：，
二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是；
（2），
展开得：，
移项得：，
二次项系数是 ，一次项系数是2，常数项是5．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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