第5章 二次函数 单元练习卷（含解析）

第5章二次函数同步练习卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若二次函数的图象经过三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线，点，在抛物线上，且，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，有一个格点三角形（顶点与小正方形的顶点重合），如图，下列函数的图象不经过阴影部分（包括边界）的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线（是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为（　　）
A．4 B．3 C．8 D．6
5．某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在之间，根据图象判断以下结论：①；②；③；④，（的实数）． 其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表：
… 0 1 3 …
… 7 0 …
则下列关于这个二次函数的结论不正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大
C．图象的顶点在第四象限 D．当时，
8．如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知二次函数与一次函数的图象有交点，则的取值范围是 ．
10．如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式 的解集是
11．将抛物线沿着其对称轴上下平移，当平移后的抛物线的顶点在直线上时，平移后的抛物线与轴交点的纵坐标为 ．
12．如图，抛物线过点，，与轴相交于点．若点为线段上的动点，连接，过点作垂直于直线，垂足为，当点从点运动到点时，点运动路径的长为 ，（结果保留的形式）
13．若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是 ．
14．如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是 ．
三、解答题
15．已知二次函数．
(1)若函数图象经过点，求抛物线的对称轴．
(2)当时，随的增大而减小，求的取值范围．
(3)若两点都在二次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由．
16．图1所示是温州南塘河面上的一座石拱桥，已知其桥洞均可近似看作形状相同的抛物线．经测量，在正常水位时，主桥洞顶端离水面，水面宽度；右侧第一个小桥洞顶端离主桥洞顶端的水平长度为，铅直高度为．图2所示为主桥洞和右侧第一个小桥洞的截面图．
(1)在图2中建立适当的平面直角坐标系，求出主桥洞的函数关系式
(2)在（1）坐标系前提下，直接写出第一个小桥洞的函数关系式
(3)水位正常时，一艘长，宽，高的渔船能否顺利通过右侧第一个小桥洞？请通过计算说明．
17．禧爱花店以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，调查了附近五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下：
售价（元/盒） 18 20 22 26 30
日销售量（盒） 54 50 46 38 30
(1)分析表格中数据的变化规律，可知日销售量是售价的一次函数，求日销售量与售价之间的关系式；
(2)根据以上信息，禧爱花店将售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少？
18．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为．
(1)直接写出与之间的函数表达式及的取值范围．
(2)矩形实验田的面积能达到吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
(3)当为何值时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？
19．已知抛物线（b，c为常数，）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作，垂足为N．
(1)若，，求点P和点A的坐标；
(2)在（1）的条件下，当时，求m的值；
(3)若点A的坐标为，且，当时，求m的值．
20．如图，已知抛物线，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线相交于A，B两点．
(1)求m的值；
(2)求直线对应的一次函数表达式；
(3)抛物线位于A，B两点之间的部分图形记作W，过点M的直线l与W相交于E，F两点，连接，求面积的最大值及此时对应的E点坐标．
21．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且过点．
(1)求抛物线表达式；
(2)如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作轴，交直线于点E，交x轴于点F，连接，若时，求点P的坐标；
(3)如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值．
《第5章二次函数同步练习卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D A D B B A
1．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，则点、、和对称轴的距离分别为：3.5，0，2.5，即可求解．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为直线，
则点和对称轴的距离分别为：3.5，0，2.5，
∵
∴，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，
∵点，在抛物线上，且，
∴，
解得：，
故选：B．
3．D
【分析】本题综合考查一次函数和反比例函数，二次函数的图象上点坐标的特征．熟练掌握以上知识点是关键．根据阴影部分顶点坐标，取特殊点作出判断即可．
【详解】解：A、的图象经过、，图象经过阴影部分，不符合题意；
B、的图象经过、，图象经过阴影部分，不符合题意；
C、的图象经过、，图象经过阴影部分，不符合题意；
D、二次函数的图象开口向上，经过、，图象不经过阴影部分，符合题意；
故选：
4．A
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线与轴正半轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且当时，，可得当时，，当时，，从而当时，，即，求出即可判断得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【详解】解：抛物线与轴正半轴交于点，
当时，．
．
抛物线的对称轴为直线，且当时，，
当时，．
当时，，
当时，．
．
．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答．
【详解】解：设，
把代入中得：，
；
设，
把代入中得：
，
解得：，
；
设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，
由题意得：
，
，
当时，，
，
当时，，
能获取的最大总利润是万元，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交于负半轴，得出，，，即可判断①；求出抛物线的对称轴为直线，得出，求出，结合，即可判断②；由函数图象即可判断③；根据当时，函数有最小值，为即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交于负半轴，
∴，，，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴交于A、B两点，，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
当时，，即，
当时，，
∴，
∵抛物线与y轴交点C的纵坐标在之间，
∴，
∴，即，故②正确；
由图象可得，当时，，故③正确；
当时，函数有最小值，为，
故，即，（的实数），故④错误；
综上所述，正确的有①②③，共个，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴图象的开口向上，故选项A正确，不符合题意；
图象的对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
∴当时，y的值随x的值增大先减小再增大，故选项B错误，符合题意；
顶点坐标为，在第四象限，故选项C正确，不符合题意；
∵图象的对称轴是直线，且过点，则与x轴的另外一个交点为，
∴当时，，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
8．A
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是数形结合思想的应用．把关于x的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，利用数形结合的思想解答即可．
【详解】解：若关于x的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图：
由函数图象可知，k的取值范围是，
故选：A．
9．且
【分析】本题考查二次函数与一次函数交点问题，二次函数定义．根据题意由二次函数定义可知，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用即可得到本题答案．
【详解】解：∵二次函数，
∴，
∵二次函数与一次函数的图象有交点，
∴，
整理得：，
∴，解得：，
∴的取值范围是：且，
故答案为：且．
10．
【分析】本题考查了二次函数的轴对称变换，反比例函数的性质，以及利用函数图象解不等式． 由得，作出关于x轴对称的图象，结合图象即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
设
∵比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，
∴比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，
∵当时，，
∴关于x的不等式 的解集是．
故答案为：．
11．1
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，根据平移规律表示出平移后的函数解析式是解题的关键．根据题意设平移后的抛物线的解析式为，顶点为，代入从而求得，令即可求得y的值．
【详解】解：∵，
∴设平移后的抛物线的解析式为，顶点为，
∵平移后的抛物线的顶点在直线上，
∴，
∴，
∴当时，，
∴平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为1，
故答案为：1．
12．
【分析】先求出抛物线的解析式，连接，可得点的路径是以的中点为圆心，长的一半为半径的，求出的长度即可．
【详解】解：把点，，代入抛物线，则
，解得：，
∴；
连接，可得点的路径是以的中点为圆心，长的一半为半径的，连接，如图：
，
，
，
，
，
点运动路径的长为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
13．
【分析】此题考查解三元一次方程，解一元一次不等式组，二次函数的性质，解题关键在于掌握运算法则，先利用加减消元法求出的值，建立关于z的不等式组，求出z的取值范围，再把代入代数式，将其转化为关于z的二次函数，利用二次函数的性质分别求出最大值与最小值，即可解答．
【详解】解：，
得，，
把代入得，，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值是，
当时，的最小值是，
则代数式的最大值与最小值的差是：
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，连接，设的延长线交于E，先求出点，点，点，由此得是的中位线，则，因此当为最小时，为最小，根据点与圆的位置关系可知为最小，然后再求出的长即可得出的最小值．
【详解】解：连接，设交于E，如图所示：
对于抛物线，当时，，当时，，或，
∴点，点，点，
∴，
∵点Q是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当为最小时，为最小，
根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最小，
∴当点P与点E重合时，为最小，最小值为，
在中，由勾股定理得：，
∵的半径为2，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
15．(1)
(2)
(3)当时，；当时，，见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）先把点代入二次函数求出二次函数解析式，然后求出抛物线的对称轴即可；
（2）根据当时，随的增大而减小，得出抛物线在对称轴左侧随的增大而减小，从而得出抛物线开口向上，即，列出关于a的不等式，解不等式即可；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，求出点A关于对称轴的对称点的横坐标为，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：将点代入二次函数，
得，
解得，
抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线．
（2）解：当时，随的增大而减小，
抛物线在对称轴左侧随的增大而减小，
抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
解得：．
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
，
∵，
∴点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，
∴点A关于对称轴的对称点的横坐标为，
①当时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
，
．
②当时，在对称轴右侧，随的增大而减小，
，
．
综上，当时，；当时，．
16．(1)平面直角坐标系见解析，；
(2)；
(3)渔船能顺利通过右侧第一个小桥洞，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形，求出点，即可求解；
（3）船宽为，船从正中间通过时最左侧的横坐标为，求出当时，，，即可得答案．
【详解】（1）解：如图，以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
由题意知：B点坐标为，D点坐标为，
设主桥洞的关系式为，
将代入中，得，
解得：，
∴主桥洞的关系式为；
（2）解：如图：过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形，
由题意可得：，，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，船可以从桥洞正中间通过，
由（2）知，船中心的横坐标为，
∵船宽为，
∴船从正中间通过时最左侧的横坐标为，
当时，，
∵，
∴渔船能顺利通过右侧第一个小桥洞．
17．(1)
(2)售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式及二次函数求最值的方法是解题的关键．
（1）根据变量变化规律判断函数类型，并利用待定系数法求其函数关系式即可；
（2）根据“每天的利润=（售价进价）日销售量”将每天的利润表示出来，并确定当x为何值时每天的利润取最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可设，
把，代入得：，
解得：，
；
（2）设每天获得的利润为元，
由题意得，
，当时，取最大值450，
售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元．
18．(1)
(2)当时，矩形实验田的面积能达到
(3)当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键．
（1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式；
（2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值；
（3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值．
【详解】（1）解：，
，
，
；
，
，
，
，
∴；
（2）解：矩形实验田的面积能达到．
当时，，
整理得，
解得或（舍去），
当时，矩形实验田的面积能达到；
（3）解：，
当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是．
19．(1)点的坐标为；点的坐标为；
(2)
(3)．
【分析】（1）待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标；
（2）过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解；
（3）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)；过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由，得抛物线的解析式为．
∵，
∴点的坐标为；
当时，．解得．
又点在点的左侧，
∴点的坐标为；
（2）解：过点作轴于点，与直线相交于点．
∵点，点，
∴．可得中，．
∴中，．
∵抛物线上的点的横坐标为，其中，
∴设点，点．
得．即点．
∴．
中，可得．
∴，
又，
∴，
即．
解得(舍)．
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，其中，
∴．得．
∴抛物线的解析式为．
得点，其中．
∵，
∴顶点的坐标为，对称轴为直线．
过点作于点，则，点．
由，得．于是．
∴．
即．解得(舍)．
过点作轴于点，与直线相交于点，
则点，点，点．
∵，
即，
∴．解得(舍)．
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，解一元二次方程，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)或，的最大值为
【分析】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）求出抛物线的顶点坐标，根据旋转的性质，得到抛物线的顶点坐标，进而求出抛物线的解析式即可；
（2）联立解析式求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）对称得到，进而得到，利用平移思想，将直线分别向上，向下平移直至两条直线分别与抛物线各有一个交点时，最大，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∵将抛物线绕点旋转，得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口方向向上，且开口大小与抛物线相同，
∴抛物线的解析式为：，
∴；
（2）联立，解得：或，
∴，，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴；
（3）∵将抛物线绕点旋转，得到抛物线，
∴图形W关于点成中心对称，
∴点关于点对称，
∴点在直线上，且为点的中点，
∵过点M的直线l与W相交于E，F两点，
∴也关于点对称，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴当最大时，的值最大，
当点在直线上方时：
将直线向上平移至平移后的直线与图形只有一个交点时，最大，
设平移后的解析式为：，
令，
整理，得：，
∵直线与图形只有一个交点，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
同理，当点在直线的下方时，则：，，
；
综上：或，的最大值为．
21．(1)
(2)P点坐标为或
(3)30
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，设点的坐标为，则：，分点在直线上方和点在直线下方，两种情况进行讨论求解即可；
（3）构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，把转化为，求出的最小值即可．
【详解】（1）解：二次函数图象与轴交于点，
．
二次函数图象经过点，即：过点，
∴，
．
故二次函数的表达式为．
（2）当，解得：，
，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
直线表达式为．
设点的坐标为，
．
①如图1，当点在直线上方时，
，
，
，
，
，解得，
．
②如图2，当点在直线下方时，
，
，
，
，解得，
点P在y轴的左侧，
，
，
综上所述，P点坐标为或．
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
，
构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，则：，，
∴点在直线上运动，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
又∵点在直线上运动，
∴当时，取得最小值，
此时为等腰直角三角形，
∴，
的最小值为．
的最小值为30．
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