人教版八年级数学下册试题 第18章《平行四边形》 章节测试卷(含详解)

第18章《平行四边形》章节测试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．用长分别为的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不记），则的值是（　　）
A．5 B．7 C．2 D．12
2．依据图所标数据，则四边形一定是（ ）

A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．四个角均不为的平行四边形
3．如图，竖直的墙体上斜靠着一根木条，木条的中点与墙角由一条有弹力的绳子（图中虚线）连接，木条沿墙体滑落过程中出现两种情形，绳子长度分别为和，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．如图，在正方形中，为线段上一点且，连结，交于点，分别作，的中点M，N，连结，若，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．有以下性质：①对角线相等；②每一条对角线平分一组对角；③对角线互相平分；④对角线互相垂直．其中正方形和菱形都具有，而矩形不具有的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
6．如图，点P是线段AB上任意一点，在AB同侧作正方形ACDP、正方形PEFB，连接DF、PF，已知AB＝10，当△PDF的面积为8时，AP的长为（　　）
A．2 B．8 C．2或8 D．4
7．如图，正方形和长方形周长相等，边相交于点，连结、，若，则（ ）

A． B． C． D．
8．如图，，动点A和C分别在射线OP、OQ上运动，且，作，且．在运动过程中，OB的最大距离是（ ）
A．5cm B． C． D．3cm
9．如图，点在平行四边形ABCD的边上，连接，作交于点，点是的中点，且，若，则的长为（ ）

A．10 B．9 C． D．8
10．如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，A（﹣4，0），G（0，4），BC的中点E恰好落在x轴上，CD交y轴于点F，连接DG，DO．给出判断：①BF＝AE；②CD平分∠ODG；③∠AEB+∠CDG＝90°； ④△ADO是等腰三角形．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF＝90°，从而∠ACB＝90°．设小方格的边长为1，取AB的中点M，连接CM．则CM＝ ，理由是： ．
12．如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为 ．

13．在课本上的“数学活动 折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为 ．
14．如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为 ．
15．将正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点D与点M重合，折痕交于点E，交折痕于点H，已知正方形的边长为4，则的长度为 ．

16．已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为 .
17．如图，C为平行四边形ABDG外一点，连接BC，DC，分别交边AG于点F，E，使BC＝DC，AC＝GD，∠BDC＝60°，若DB＝7，AE＝5，则AB的长为 ．
18．如图，已知第1个菱形中，，，以对角线为边作第2个菱形，使点在菱形的内部，且，再以对角线为边作第3个菱形，使点在菱形的内部，且，顺次这样作下去……，则第2023个菱形的面积为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，．
（1）求证： ADE≌ CBF；
（2）连接、，求证：四边形为平行四边形．
20．（8分）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
21．（10分）如图，已知菱形，E、F是对角线所在直线上的两点，且，连接．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求菱形的周长．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点E，，．
（1）当平分时，求证：平行四边形ABCD为矩形．
（2）在以下命题中：①当时，平行四边形ABCD为正方形．②当时，平行四边形ABCD为正方形．③当时，四边形为菱形．④当时，四边形为菱形．正确的有：________，请选择一个正确的命题进行证明．
23．（10分）【课本再现】
已知：如图1，在中，D，E分别是的中点，求证：，且
（1）如图2，过点C作的平行线交DE的延长线于点F，请完成证明．
【知识应用】
（2）如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，判断线段之间的数量关系，并说明理由，（温馨提示：连接并延长交的延长线于点G．）
24．（12分）综合与实践
在学习完特殊的平行四边形之后，老师在数学活动课上展示了下面一道与平行四边形有关的折叠题：
【问题情境】
如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点．
【独立思考】
（1）①与的关系为______；②是______三角形（按边分类）．
【实践探究】
（2）请判断四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
如图2，在矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你求出线段的长．
答案：
一、单选题
1．B
【分析】根据平行四边形对边相等即可得到答案．
解：∵平行四边形的对边相等，用长分别为的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框，
∴，
故选：B．
2．B
【分析】根据已知得线段、相等且平分，即可判断出为矩形．
解： ∵线段、相等且平分，
∴四边形为矩形．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了直角三角形的中线等于斜边的一半，根据题意点为木条的中点即可得出结论．
解：点为木条的中点，，
，
，
故选：B．
4．B
【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握正方形的性质，理解三角形的中位线定理是解决问题的关键．连接，根据正方形的性质得过点，，进而可求出 ，，再证为的中位线，然后根据三角形的中位线定理可得出的长．
解：连接，如图所示：
∵四边形为正方形，为对角线，点为的中点，
∴过点， ，
，
，
∵过点，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴ 为的中位线，
，
故选：B．
5．D
【分析】根据正方形、菱形以及矩形的各种性质对比作答即可．
解：正方形的性质：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
矩形的性质：
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
由此可知正方形和菱形都具有，而矩形不具有的是：②每一条对角线平分一组对角；④对角线互相垂直，
故选：D．
6．C
【分析】设，则，根据正方形的性质可知，将的面积用表示为一个等式，求出值，即可求解．
解：设，则，
四边形和四边形都是正方形，
，
，
即，解得或，
故选：C．
7．C
【分析】根据周长相等可以得到，再根据面积得到，即，计算可得结论．
解：∵正方形和长方形周长相等，
∴，
即：，
又∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵是正方形，是矩形，
∴，，
∴，
故选：C．
8．B
【分析】取AC中点D，连接BD，OD，根据数形结合分析可知，根据B，O，D的位置关系求OB的最大距离．
解：取AC中点D，连接BD，OD，
∵，D为AC中点，
∴，，
在中，，
∴，
由图像可知，
当B，O，D三点共线时，等号成立，
∴OB的最大距离是．
故选：B．
9．B
【分析】延长交于点，可推出四边形是平行四边形，得；根据“点是的中点”可得、，设，根据即可求解．
解：延长交于点，如图：

∵，，
，
∵CE∥GH，
∴四边形是平行四边形，
，
∵点是的中点且，
，
∵点是的中点且，
，
，
设，
，
解得：，
∴，
故选：B．
10．D
【分析】根据正方形的性质，可得，从而得到①③正确，延长GD，过A作GD延长线的垂线并与GD的延长线交于点H，再由A，G的坐标，可推出，得出D是HG的中点，最后得出△ADO是等腰三角形进而判断④，先假设CD平分∠ODG，根据已知条件得到，根据点的坐标求得进而可以判断②．
解：是正方形，
又
,
在和中，
故①正确；
又
故③正确；
延长，过作延长线的垂线并与的长线交于点，则
是的中点
，
由①可知
四边形 是正方形
是等腰三角形，
故④正确：
若CD平分∠ODG
则
故②不正确
综上所述，①③④正确．
故选D．
二、填空题
11． 5 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【分析】先根据网格求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；
解：由图可知，AB＝10，
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴CM＝AB＝×10＝5（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
故答案为：5，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质证明．
解：∵在和中，
∴，
∴，
∵为水平线，
∴，
∵，，
∴，
∴为平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，先由折叠的性质得出的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后根据求解即可,熟练掌握知识点是解题的关键．
解：由折叠的性质得，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，设，，证明，求得，由折叠的性质求得，在中，利用勾股定理列式计算，即可求解．
解：连接，设，，
由矩形的性质和折叠的性质知，，，
∵，，
∴，
∴，
由矩形的性质知：
∴，
折叠的性质知：，
∴，
∴，
由折叠的性质知，
∴，
∴，即，
在中，，即，
解得，
∴，
故答案为：
15．
【分析】根据题意得，垂直平分，，，，则，即，根据得，即，根据勾股定理得，，则，进行计算即可得．
解：∵正方形纸片的边长为4，
∴，
∵正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点D与点M重合，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了“将军饮马”求最值的模型，涉及了平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短等知识点，将点向右平移1个单位长度得到点构造平行四边形是解题关键．
解：将点向右平移1个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，如图所示：
∵，且
∴四边形为平行四边形
∴
∵点关于轴的对称点为，
∴
∴
∵
∴的最小值为：
故答案为：
17．
【分析】根据平行四边形的性质证明△DGE≌△ACE，可得EG=CE=2，过点C作CM⊥EF于点M，利用含30°角的直角三角形可得EM=1，，再利用勾股定理即可求得AC的长，进而得到AB的长．
解：∵四边形ABDG是平行四边形，
∴AB=DG，BD=AG=7，
∴AC=GD=AB，EG=AG-AE=7-5=2，
∵BC＝DC，∠BDC＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC=DC=BD=7，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AGD=∠ABD=60°+∠ABC，
∵∠ACE=60°+∠ACB，
∴∠AGD=∠ACE，
在△DGE和△ACE中，
，
∴△DGE≌△ACE（AAS），
∴EG=CE=2，
如图，过点C作CM⊥EF于点M，
∵AG∥BD，
∴∠CEF=∠CDB=60°，
∴∠ECM=30°，
∵CE=2，
∴EM=1，，
∴AM=AE-EM=5-1=4，
∴，
∴AB=AC=，
故答案为：．
18．
【分析】先分别求出菱形的对角线长，再依次求出面积，然后得出规律，进而得出答案．
解：如图，连接，根据题意可知，，，且，
∴是等边三角形，
∴.
在中，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴.
可知，得；

同理：
，，则；
，，则；
···
．
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在 ADE和 CBF中，
，
∴；
（2）解：如图，连接、，
∵，
，
∴DE∥BF
∴四边形是平行四边形．
20．
解：（1）证明：四边形是矩形，
，，
．
，
四边形是平行四边形，
，
．
（2）解：四边形是矩形，
，，
．
∴
，
，
．
21．
解：（1）证明：连接，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与垂直且互相平分，
∴四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴菱形是正方形；
（2）解：∵菱形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长．
22．
解：（1）证明：∵，
∴四边形为平行四边形
∴
∵平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴平行四边形ABCD为矩形
（2）解：①当时，则，平行四边形ABCD为菱形．故①错误；
②当时，
∵，
∴四边形为平行四边形
∴
∵
∴，
∴且
∴平行四边形ABCD为正方形
故②正确；
③当时，不能推出四边形为菱形．故③错误；
④当时，
∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形为矩形
故④错误
故正确的有：②；证明见上
23．
解：（1）证明：过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F，即，
∴，
∵E是的中点，
∴．
在 ADE和中，，
∴．
∴，，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
（2），理由如下：
连接并延长交的延长线于点G，

∵，
∴，，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵E是的中点，F是的中点，
∴，
∴．
24．
解：（1）①全等；②等腰，理由如下，
①∵四边形是矩形，
∴∠D=90 ，
∵折叠，点与点重合，
∴，，且，
∴，
故答案为：全等；
②∵四边形是矩形，
∴，，
∵是折痕，点与点重合，
∴，即，，
∴，且，
在中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：等腰．
（2）四边形AFCE是菱形，理由如下：
四边形是矩形，
，
，
矩形沿折叠，点与点重合，
垂直平分，
，，
在和中，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
，
∴平行四边形是菱形．
（3）四边形是矩形，
，∠B=90 ，且，
∴，
由翻折的性质可知，，，
，
，
，
，即是等腰三角形，
设，
在中，，，，
∴，即，解得，
，
．