2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中的定值问题综合压轴题训练（含解析）

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中的定值问题综合压轴题训练
1．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴正半轴交于C点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，N点在抛物线上，∠ACN＝2∠BAC，求N点的横坐标；
（3）如图3，P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于F点，过点的直线l分别交抛物线于D、E两点，直线PD、PE分别交x轴于G、H两点，求证：FG FH为定值，并求该定值．
2．如图1，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，连接AD，DC．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）求△ADC面积的最大值；
（3）如图2，将抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点H（1，2）的直线与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．试探究GM GN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，点T是x轴上一动点，将顶点M绕点T旋转90°刚好落在抛物线上的点N处，求点T的坐标；
（3）点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上一定点，过点P的直线交抛物线于点E、F（点E在F的左侧）．若恒为定值m，求m的值．
4．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+3（b＞0）与x轴交点为A，B（A在B左侧），与y轴交点为C，已知A（﹣1，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，D为抛物线顶点，E为射线OB上的动点，过点E作EF∥BD，交直线AD于点F，若△DEF面积为2，求点E坐标；
（3）如图3，点P是第一象限内抛物线上一动点，直线BP关于直线BC的对称直线交抛物线于点Q，过点A作平行于y轴的直线l，点P，Q到直线l的垂线段分别为PG，QH，当点P在抛物线上运动时，PG QH的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，说明理由．
5．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，﹣3）的直线（不与直线KD重合）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究EM EN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
6．已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图（1），点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；
（3）如图（2），过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
7．已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+4（m＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求△ABD的面积；
（2）若tan∠ABC＝1时，求m的值；
（3）如图，当m＝4时，过顶点D作直线DE⊥AB交x轴于点E，点G与点E关于点D对称，点M、N分别在线段AG、BG上，若线段MN与抛物线有且只有一个交点（MN与x轴不平行），求GM+GN的值．
8．如图1，抛物线与x轴交于点A，B（点B在点A左边），AB＝4，其顶点为C．将抛物线L1绕原点旋转180°得到抛物线L2，其顶点为D．
（1）直接写出c的值，点C坐标，点D坐标及抛物线L2的解析式；
（2）点E是y轴上一点，点F是平面内一点，若以C，D，E，F为顶点的四边形是以CD为边的矩形，求点F坐标；
（3）如图2，抛物线L2与x轴交于G，H，与y轴交于点I，点M、N在第一象限的抛物线图象上，GM，IN交对称轴于T，GN，IM分别交对称轴于P，Q，求值．
9．已知，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线顶点为D，点P在抛物线上，若∠PDC＝∠OCB，求点P的坐标；
（3）如图2，直线EF过点（3，﹣1），交抛物线于E，F两点（点E在点F左侧，且点E不与点A重合），直线AE，AF分别交y轴于点G，H．请判断：OG OH是否为定值，如果是定值，求其定值，若不是，请说明理由．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）．
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）如图（1），在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，求点E的坐标；
（3）如图（2），过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标．
11．抛物线ybx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），点A（﹣2，0），M（6，8）在抛物线上．
（1）填空：b＝　 　，c＝　 　，点B的坐标为 　 　；
（2）如图1，在抛物线上存在一点N，使S△AMN＝S△BMN，求点N的横坐标；
（3）如图2，点C是x轴下方的抛物线上任意一点，D是线段AB上的一个定点（点D不与点A、B重合），过点D作y轴的平行线与射线BC，AC分别交于E，F两点，若DE+5DF为定值，求的值．
12．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，1.5）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上一点，若∠PBC＝∠OBC，试求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线对称轴交x轴于点D．N点为x轴上方抛物线上一动点，直线AN交抛物线对称轴于点E，直线BN交抛物线对称轴于点F，在点N的运动过程中，试求DE+DF的值．
13．已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m+1的顶点为M，不论m为何值，顶点M均在某一直线l上．
（1）求此直线l的函数解析式；
（2）当m＝1时，点N（1，0），抛物线与y轴交于点C，点P是第一象限抛物线上一点，使得线段OP与直线CN的夹角为45°，求点P的坐标；
（3）是否存在直线y＝kx﹣3与抛物线交于A、B两点（A点在B点的下方），使AB为定长？若存在，求出k的值和AB的长；若不存在，请说明．
14．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C，且OB＝OC＝3OA，点D为抛物线上第四象限的动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，直线AD交BC于点P，连接AC，BD，若△ACP和△BDP的面积分别为S1和S2，当S1﹣S2的值最小时，求直线AD的解析式．
（3）如图2，直线BD交抛物线的对称轴于点N，过点B作AD的平行线交抛物线的对称轴于点M，当点D运动时，线段MN的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．
15．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），T是抛物线上一点，连接CT交x轴于点M，若S△AMC＝S△BMT，求点T的坐标；
（3）如图（2），直线y＝﹣2x+m与抛物线交于P，Q两点，直线BP，BQ分别交y轴于点D，E．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
参考答案
1．【解答】（1）解：当x＝0时，抛物线，
则C（0，6m），
则OC＝6m，
∴，
∴A（﹣4m，0），
将A（﹣4m，0）代入，
得：，
解得：m＝0（舍），或，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：如图2，过点C作∠ACN角平分线CM，交x轴于点M，在CN延长线上取点W，使CW＝CA，连接AW，交CM于点T，过点W作WK⊥x轴于点K，
∵∠ACN＝2∠BAC，∠ACM＝∠WCM，
∴∠ACM＝∠MAC，
∴AM＝CM，
由（1）知OC＝6m＝3，OA＝4m＝2，
∴CM＝AM＝2+OM，
在Rt△OCM中，OC2+OM2＝CM2，
即：32+OM2＝（2+OM）2，
解得：，
∴，
∵CW＝CA，∠ACM＝∠WCM，
∴AT＝WT，AW⊥CM，
∴∠ATM＝∠COM＝90°，
∵∠AMT＝∠CMO，AM＝CM，
∴△AMT≌△CMO，
∴AT＝CO＝3，，
∴AW＝2AT＝6，
∵∠MAT＝∠WAK，∠ATM＝∠WKA＝90°，
∴△AMT∽△AWK，
∴，
即：，
解得：，，
∴，
∴，
设直线CN解析式为y＝kx+t，
代入C（0，3），，
得：，
解得：，
则直线CN解析式为，
联立抛物线解析式，得：，
解得：x＝0（舍）或，
故点N的横坐标为；
（3）证明：由，
则抛物线顶点P坐标为，
∵直线DE过点，
∴设直线DE解析式为，
设D（x1，x1+3），E（x2，x2+3），其中，
联立：，
整理得：x2+（2n﹣1）x﹣n﹣2＝0，
∴x1x2＝﹣n﹣2，x1+x2＝﹣2n+1，
∵直线DP和直线EP都过点，
∴设直线DP解析式为：，设直线EP解析式为：，
将D（x1，x1+3）代入，
解得：，
则直线DP解析式为：，
当y＝0，得：，
解得：，
即，
同理：，
∴，，
∴，
将x1x2＝﹣n﹣2，x1+x2＝﹣2n+1代入，
得：．
2．【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3，
∴C（0，3），
过点D作DE⊥x轴，交直线AC于点E，如图1，
设直线AC的解析式为y＝kx+p，
将A（﹣3，0），C（0，3）代入直线AC的解析式得：
，
解得，
∴直线AC的解析式为：y＝x+3．
设D（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），则DE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴，
∴当，△ACD的面积最大，且最大值为．
故当，△ACD的面积取得最大值，且最大值为．
（3）GM GN为定值；理由如下：
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F，
∴y＝﹣（﹣x+1）2+4＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
故F（1，4），
设直线JI的解析式为y＝kx+b，
∴2＝k+b，
解得b＝2﹣k，
∴y＝k（x﹣1）+2，
设J（m，﹣m2+2m+3），I（n，﹣n2+2n+3），
根据题意，得，
整理，得x2+（k﹣2）x﹣k﹣1＝0，
∴m，n是x2+（k﹣2）x﹣k﹣1＝0的两个根，
∴，
同理可证，直线JF的解析式为y＝a（x﹣1）+4，
把J（m，﹣m2+2m+3）代入解析式y＝a（x﹣1）+4，
解得a＝﹣（m﹣1），
故直线JF的解析式为y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，
令y＝0，得﹣（m﹣1）（x﹣1）+4＝0，
解得，
∴，
∵F（1，4），
∴G（1，0），
∴，
同理可证，，
∴
．
3．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
设T（x，0），
当M点绕T点顺时针旋转90°时，
∴TM＝TN，∠NTM＝90°，
过T作y轴的平行线，分别过M、N点作此平行线的垂线，垂足分别为F、H，
∴∠NHT＝90°＝∠NTM＝∠MFT，
∴∠MTF+∠NTH＝90°＝∠MTF+∠TMF，
∴∠NTH＝∠TMF，
∴△NTH≌△TMF（AAS），
∵TF＝4，OT＝x，
∴HN＝TF＝4，HT＝MF＝x﹣1，
∴N（x﹣4，x﹣1），
∴（x﹣5）2﹣4＝x﹣1，
整理得x2﹣11x+22＝0，
解得x或x，
∴T（，0）或（，0）；
当M点绕T点逆时针旋转90°时，同理可得N（4+x，1﹣x），
∴（x+3）﹣4＝1﹣x，
整理得，x2+7x+4＝0，
解得x，
∴T（，0）或（，0）；
综上所述：T点坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）；
（3）过E作EK⊥x轴交于K点，过F点FQ⊥x轴交于Q点，对称轴与x轴的交点为G，
∵EK∥PG∥FQ，
∴，，
∵m，
∴，
设P（1，t），直线EF为y＝kx+n，E（x1，y1），F（x2，y2），
∴k+n＝t，
∴n＝t﹣k，
∴直线EF为y＝kx+t﹣k，
当kx+t﹣k＝x2﹣2x﹣3时，整理得x2﹣（2+k）+k﹣t﹣3＝0，
∴x1+x2＝2+k，x1 x2＝k﹣t﹣3，
∵KG＝1﹣x1，QG＝x2﹣1，KQ＝x2﹣x1，EF|x2﹣x1|，
∴|x2﹣x1|＝（x1+x2﹣x1 x2﹣1） （t+4），
∴m2，
∵m是定值，
∴[m2（t+4）2﹣1]k2+m2（t+4）2﹣4（t+4）＝0，
∴m2（t+4）2﹣1＝0，
∵m＞0，t+4＞0，
∴m（t+4）＝1，
∴t+4，
∴m，
整理得m2﹣4m＝0，
解得m＝4或m＝0（舍）．
4．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3中，
﹣1﹣b+3＝0，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵EF∥BD，
∴S△DEF＝S△BFE，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
∴直线AD的解析式为y＝2x+2，
设F（m，2m+2），
∵△ABD是等腰三角形，
∴AF＝EF，
∴E（2m+1，0），
∴BE×（2m+2）＝2，
∴|3﹣（2m+1）|×（2m+2）＝4，
∴m＝0或，
∴E（1，0）或（21，0）；
（3）PG QH的值为定值，理由如下：
解法一：过点Q作QN⊥x轴交于N点，过点B作BM⊥GP交延长线于M点，
∵BO＝OC＝45°，
∴∠OBM＝90°，
∵直线BP与直线BQ关于直线BC对称，
∴∠CBP＝∠ABQ，
∴∠QBN＝∠PBM，
设P（t，﹣t2+2t+3），Q（m，﹣m2+2m+3），
∴tan∠QBN＝tan∠CBM，即，
∴（m+1）（t+1）＝1，
∵HQ＝m+1，PG＝t+1，
∴PG QH＝1．
解法二：设直线BP：y＝m（x﹣3）（m≠0），BQ：y＝n（x﹣3）（n≠0），
∵直线BQ与BP关于直线BC成轴对称，
∴n，
∴BQ：y（x﹣3）
因为直线BP于抛物线交于点P，
联立，
∴x2+（m﹣2）x﹣3m﹣3＝0，
∴xB xP＝﹣3m﹣3，
∴xP＝﹣m﹣1，
因为直线BQ与抛物线相交于点P，
联立，
∴x2+（2）x3＝0，
∴xB xQ3，
∴xQ，
∴PG QH＝[xP﹣（﹣1）] [xQ﹣（﹣1）]
＝（﹣m﹣1+1） （1+1）
＝（﹣m） （）
＝1．
5．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1
∴点B的横坐标为1+1﹣（﹣1）＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的坐标为：（m，m2﹣2m﹣3），点Q（x，0），
当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式得﹣3＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝0（舍去）或2，
则点P（2，﹣3）；
当BQ为对角线时，同理可得：0＝﹣m2﹣2m﹣3﹣3，
解得：m＝1±，
则点P的坐标为：（1，3）或（1，3），
综上所述，点P的坐标为（2，﹣3）或（1，3）或（1，3）；
（3）是定值，理由：
直线GH过点（1，﹣3），故设直线GH的表达式为：y＝k（x﹣1）﹣3，
设点G、H的坐标分别为：（m，m2﹣2m﹣3），点N（n，n2﹣2n﹣3），
联立y＝k（x﹣1）﹣3和y＝x2﹣2x﹣3并整理得：x2﹣（k+2）x+k＝0，
则m+n＝2+k，mn＝k，
由点G、D的坐标得，直线GD的表达式为：y＝（m﹣1）（x﹣1）﹣4，
令y＝0，则x＝1，即点M（1，0），
则EM＝1﹣1，
同理可得，EN，
则EM EN 16．
6．【解答】解：（1）根据抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，
∵抛物线经过点B（﹣2，﹣3），
∴a（﹣2+1）2﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
则y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线OB的解析式为y＝kx，过点B（﹣2，﹣3），则﹣2k＝﹣3，
解得，
那么直线OB的解析式为，
设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，
则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为，
由MN∥x轴，得，
解得，
当时，MN有最大值，最大值为；
（3）EF+EG为定值．理由如下，
如图，过点P作PQ∥y轴交x轴于点Q，
在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0解得x＝﹣3或x＝1，
故C（﹣3，0），D（1，0），
设P（t，t2+2t﹣3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△CEF∽△CQP，
∴，
∴
同理，△EGD∽△QPD，
∴，
∴
∴，
故EF+EG是定值，且为8．
7．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，
解得x＝m+2或x＝m﹣2，
∴A（m﹣2，0），B（m+2，0），
∴AB＝4，
∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+4＝﹣（x﹣m）2+4，
∴D（m，4），
∴△ABD的面积4×4＝8；
（2）∵B（m+2，0），m＞0，
∴OB＝m+2，
当x＝0时，y＝﹣m2+4，
∴C（0，﹣m2+4），
∵tan∠ABC＝1，
∴OB＝OC，
∴m+2＝|﹣m2+4|，
解得m＝1或m＝3；
（3）过点M作MH⊥ED交于H点，过点N作NK⊥DE交于K点，
∵m＝4，
∴y＝﹣x2+8x﹣12，
当y＝0时，﹣x2+8x﹣12＝0，
解得x＝2或x＝6，
∴A（2，0），B（6，0），
∵y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，
∴D（4，4），
∵点G与点E关于点D对称，
∴G（4，8），
设直线AG的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AG的解析式为y＝4x﹣8，
同理可得直线BG的解析式为y＝﹣4x+24，
设直线MN的解析式为y＝mx+n，
当mx+n＝x2+8x﹣12时，Δ＝（m﹣8）2﹣4（n+12）＝0，
∴n，
∵AG＝BG＝2，AE＝BE＝2，
又∵MH∥AB，NK∥AB，
∴，
∴MGMH，GNNK，
∴MG+NG（MH+NK），
当4x﹣8＝mx+n时，解得x，
当﹣4x+24＝mx+n时，解得x，
∴MH＝4，NK4，
∴MH+NK2，
∴GM+GN＝2．
8．【解答】解：（1）当y＝0时，x2+2x+c＝0，
∴x1+x2＝﹣2，x1 x2＝c，
∵AB＝4，
∴4，
解得c＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∵将抛物线L1绕原点旋转180°得到抛物线L2，
∴D（1，4），
∴抛物线L2的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当E点在y轴正半轴上时，过点D作DK⊥y轴交于K点，则KD＝1，OK＝4，
∵四边形CDEF是矩形，
∴∠EDF＝∠DKO＝90°，
∵∠DOE＝∠DOK，
∴△ODE∽△DKE，
∴DK2＝OK EK，
∴EK，
∴E（0，），
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴由点的平移可知，F（﹣2，）；
当E点在y轴的负半轴上时，同理可得E（0，），F（2，）；
综上所述：F点坐标为（﹣2，）或（2，）；
（3）设M（m，﹣m2+2m+3），直线IM的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线IM的解析式为y＝（﹣m+2）x+3，
∴Q（1，﹣m+5），
同理，直线GM的解析式为y＝（﹣m+3）x+3﹣m，
∴T（1，﹣2m+6），
设N（n，﹣n2+2n+3），直线GN的解析式为y＝k2x+b2，
∴，
解得，
∴直线GN的解析式为y＝（﹣n+3）x+3﹣n，
∴P（1，﹣2n+6），
同理，直线TN的解析式为y＝（﹣n+2）x+3，
∴T（1，﹣n+5），
∴﹣2m+6＝﹣n+5，
∴n＝2m﹣1，
∵PT＝﹣n+5﹣（﹣2n+6）＝2m﹣2，QT＝﹣m+5﹣（﹣2m+6）＝m﹣1，
∴2．
9．【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx，
则3a，
解得：a，
则抛物线的表达式为：yx2+2x；
（2）连接CD交x轴于点H，设PD交x轴于点N，过点N作NT⊥CD于点T，
由抛物线的表达式知，点D（2，），点C（0，），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝x，
则点H（，0），直线CD和x轴的夹角为45°，
则DH，
在Rt△OBC中，tan∠OCB2＝tan∠PDC，
故设TN＝2x＝TH，则DT＝x，则NH＝2x，
则DHDT+TH＝3x，
则x，
则NH＝2x，
则点N的坐标为：（，0），
由点D、N的坐标得，直线DP的表达式为：y＝﹣3x，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x3x，
解得：x＝2（舍去）或8，
即点P（8，）；
（3）是定值为，理由：
设点E、F的坐标分别为：（m，m2+2m），则点N（n，n2+2n），
由点E、F的坐标得，直线EF的表达式为：y＝[（m+n）+2]（x﹣m），
将（3，﹣1）代入上式得：﹣1＝[（m+n）+2]（3﹣m），
整理得：mn＝3m+3n﹣11；
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y（m﹣3）（x﹣1），
则点G（0，），
同理可得：点H（0，），
∵mn＝3m+3n﹣11，
则OG OH＝﹣（）×（）（mn﹣3m﹣3n+9）（﹣2）．
10．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），
∴y＝a（x+1）2﹣4，
把A（﹣3，0）代入y＝a（x+1）2﹣4，
∴a（﹣3+1）2﹣4＝0，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，
∴该抛物线的解析式y＝x2+2x﹣3；
（2）过点D作DS⊥x轴于S，延长CE交x轴于G，
∵∠COG＝∠ASD＝90°，∠OCE＝∠OAD，
∴△CGO∽△ADS，
∴，即，
∴OG＝6，
∴G（﹣6，0），
设直线CG的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线CG的解析式为yx﹣3，
与抛物线解析式y＝x2+2x﹣3联立得，
解得：（舍去），，
∴点E的坐标为（，）；
（3）如图（2），分别过点F、G作x、y轴的垂线交于点H，
∵点P在对称轴上，设P（﹣1，m），
设直线FG的解析式为y＝px+q，则﹣p+q＝m，
∴q＝p+m，
∴直线FG的解析式为y＝px+p+m，
与抛物线y＝x2+2x﹣3联立得，
整理得：x2+（2﹣p）x﹣3﹣p﹣m＝0，
∴xF+xG＝p﹣2，xFxG＝﹣3﹣p﹣m，
设M（xM，yM），
∵M是线段FG的中点，
∴xG﹣xM＝xM﹣xF，
∴xM，
当xM时，yM＝pp+m，
∴M（，），
将x代入y＝x2+2x﹣3，得y，
∴N（，），
∴MN，
在Rt△FGH中，FG2＝FH2+GH2＝（yG﹣yF）2+（xG﹣xF）2＝（1+p2）（xG﹣xF）2，
∵（xG﹣xF）2＝（xG+xF）2﹣4xFxG＝（p﹣2）2﹣4（﹣3﹣p﹣m）＝p2+4m+16，
∴FG2＝（1+p2）（p2+4m+16），
令t，
∴FG2＝t2MN2，
∴（1+p2）（p2+4m+16）＝t2（）2，
整理得（t2﹣16）p2+（4m+16）t2﹣16＝0，
∵t是定值，
∴t的取值与p无关，
∴t2﹣16＝0，且（4m+16）t2﹣16＝0，
解得：t＝4，m，
∴P（﹣1，）．
11．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），M（6，8）代入ybx+c中，
∴，
解得，
∴函数的解析式为yx﹣4，
当x﹣4＝0时，解得x＝﹣2或x＝4，
∴B（4，0），
故答案为：﹣1，﹣4，（4，0）；
（2）函数yx﹣4的对称轴为直线x＝1，
当MN∥AB时，S△AMN＝S△BMN，此时N点横坐标为﹣4，
抛物线的对称轴与x轴的交点G（1，0），
当N点在MG上时，S△AMN＝S△BMN，
设直线MG的解析式为y＝kx+b'，
∴，
解得，
∴直线MG的解析式为yx，
当x﹣4x时，解得x＝6或x，
∴N点的横坐标为；
综上所述：N点横坐标为﹣4或；
（3）设D（t，0），C（m，m2﹣m﹣4），
设直线AC的解析式为y＝k'x+n，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y（m﹣4）x+m﹣4，
同理可得直线BC的解析式为y（m+2）x﹣2m﹣4，
∴E（t，（m+1）t﹣2m﹣4），F（t，（m﹣2）t+m﹣4），
∴DE+5DF＝﹣（m+1）t+2m+4﹣5[（m﹣2）t+m﹣4]＝﹣3m（t+1）+9t+24，
∵DE+5DF是定值，
∴t＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
∴AD＝1，BD＝5，
∴．
12．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、点B（3，0）、C（0，1.5）代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为yx2+x；
（2）方法一：如图，延长BP交y轴于点H，过C作CG⊥BH于点G，
由B、C坐标可知OB＝3，OC，
∵∠PBC＝∠OBC，∠BOC＝90°，
∴OC＝CG，BG＝BO＝3，
设CH＝a，则OH＝OC+CHa，
∵tan∠CHG，
∴，
解得GH，
∴BH＝BG+GH
在Rt△BOH中，OB2+OH2＝BH2，
即9+（a）2＝（）2，
解得a（负值舍去），
∴OHa＝4，即H（0，4），
设直线BH解析式为y＝kx+n，
将B、H两点坐标代入得，
，
解得，
∴直线BH解析式为yx+4，
令x2+xx+4，
解得x或x＝3（与B重合，故舍去），
当x时，y，
∴P（，）；
（3）由（1）可知抛物线解析式为yx2+x，
∴对称轴为直线x＝1，
设N（t，t2+t），
∵N在x轴上方，
∴﹣1＜t＜3，
设直线BN解析为y＝mx+z，
∴，
解得，
∴直线BN的解析式为y＝（）xt，
当x＝1时，y＝t+1，
∴F（1，t+1），
同理可求直线AN解析式为y＝（t）xt，
当x＝1时，y＝﹣t+3，
∴E（1，﹣t+3），
∴DE＝t+1，DF＝﹣t+3，
∴DE+DF＝（t+1）+（﹣t+3）＝4．
13．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m+1＝﹣（x﹣m）2+3m+1，
∴顶点M坐标（m，3m+1），
∴顶点M在直线y＝3x+1上．
（2）如图1中，
∵m＝1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C坐标（0，3），
∵N（1，0），
∴可得直线CN解析式为：y＝﹣3x+3．设OP交CN于Q，Q（n，﹣3n+3），
作OD⊥OP交CN于D，
∵∠OQD＝45°，
∴△OQD是等腰直角三角形，作QH⊥y轴于H，DG⊥y轴于G，
∵∠QOD＝∠QHO＝∠DGO＝90°，
∴∠QOH+∠DOG＝90°，∠QOH+∠OQH＝90°，
∴∠QOH＝∠DOG，
在△OQH和△DOG中，
，
∴△OHQ≌△DGO，
∴OG＝QH＝n，DG＝OH＝﹣3n+3，
∴D（﹣3n+3，﹣n）代入y＝﹣3x+3中，﹣n＝﹣3（﹣3n+3）+3，
∴n，
∴Q（，），
∴直线OP解析式为y＝2x，
由解得或（舍弃），
∴点P坐标（，2）．
（3）设A（x1，kx1﹣3），B（x2，kx2﹣3），
由，消去y得到x2﹣（2m﹣k）x+m2﹣3m﹣4＝0，
∴x1+x2＝2m﹣k，x1 x2＝m2﹣3m﹣4，
∵AB2＝（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2
＝（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]
＝（1+k2）[2m﹣k）2﹣4（m2﹣3m﹣4）]
＝（1+k2）[（12﹣4k）m+k2+16]，
∵AB的为定长，
∴AB的长与m无关，
∴12﹣4k＝0，
∴k＝3，
∴AB2＝（1+32）×（9+16）＝250，
∵AB＞0，
∴AB＝5．
14．【解答】解：（1）由二次函数y＝ax2+bx﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
又∵OB＝OC＝3OA，
∴A（﹣1，0），B（3，0），代入得：
y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2+2x﹣3）
即﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由题意得：S1﹣S2＝（S△ACP+S△ABP）﹣（S△BDP+S△ABP）＝S△ABC﹣S△ABD．
∵S△ABC＝6，为定值，
∴当S△ABD达到最大值时，S1﹣S2的值最小．
即点D为抛物线的顶点（1，﹣4）时，S△ABD达到最大值．
又∵A（﹣1，0），
设直线AD的表达式为：y＝k（x+1），
将点D的坐标代入上式并解得：k＝﹣2，
∴直线AD的表达式为：y＝﹣2x﹣2；
（3）不变，理由：
∵A（﹣1，0），B（3，0），且AD∥BM．
设lAD：y＝kx+k，lBM：y＝kx﹣3k，lBD：y＝mx﹣3m，
则M（1，﹣2k），N（1，﹣2m）．
将直线AD，BD与抛物线y＝x2﹣2x﹣3联立，得xA+xD＝k+2，
又∵xA＝﹣1，
∴xD＝k+3，
同理xD＝m﹣1，
即k+3＝m﹣1，
∴k﹣m＝﹣4，
则MN＝yM﹣yN＝﹣2k+2m＝﹣2（k﹣m）＝8．
15．【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0）、B（3，0）．
令x＝0，得y＝﹣3，得C（0，﹣3）；
（2）连接AT、BC，如图，
∵S△AMC＝S△BMT，
∴若S△AMC+S△BMC＝S△BMT+S△BMC，
即S△ABC＝S△TBC，
∴AT∥BC．
由B（3，0）、C（0，﹣3）得直线BC为y＝x﹣3．
∴设直线AT为y＝x+b，代入A（﹣1，0），得b＝1，
∴直线AT为y＝x+1．
由，
得（舍）或，
∴点T的坐标为（4，5）；
（3）∵B（3，0），
∴设直线BP的关系式为y＝k1（x﹣3），
∴D（0，﹣3k1）．
设直线BQ的关系式为y＝k2（x﹣3），
∴E（0，﹣3k2）．
由得，k1（x﹣3）＝（x+1）（x﹣3），
得x＝3或x＝k1﹣1，
∴xP＝k1﹣1，同理可得xQ＝k2﹣1，
由得，x2﹣3﹣m＝0，
∴xP+xQ＝0，
即k1﹣1+k2﹣1＝0，k1+k2＝2．
∵，C（0，﹣3），D（0﹣3k1），E（0，﹣3k2）），
∴CD＝﹣3k1+3，CE＝3k2﹣3＝3（2﹣k1）﹣3＝﹣3k1+3＝CD，
∴为定值．
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