江苏省无锡市无锡市第一中学2024-2025高一下学期3月检测数学试题（含答案）

无锡市第一中学2024-2025学年度第二学期阶段性质量检测试卷高一数学
2025.3
一．单选题（共8小题，每题5分，共40分）
1. 已知向量，，若，则值为（）
A3 B. C. 3或 D. 5
2. 已知平面上四点，，，，则以下说法正确的是（）
A. B.
C. D.
3. 在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为
A正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4. 如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的面积为（）
A. 1 B. C. D. 8
5. 已知正方体的棱长为2，、是线段上的动点且，则三棱锥的体积为（）
A. B. C. D. 无法确定
6. 在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（）
A. B. C. D.
7. 已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（）
A. B. 1 C. D.
二．多选题（共3小题，每题6分，错选得0分，少选得部分分）
9. 下列说法正确的是（）
A. 向量不能比较大小，但向量的模能比较大小
B. 与是否相等与与的方向无关
C若，，则
D. 若向量与向量是共线向量，则，，，四点在一条直线上
10. 在中，记角的对边分别为，，，，下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 的面积为
11. 在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（）
A. B.
C. 的余弦值为 D.
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12. 如图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则_______.
13. 在中，，，，点P是线段上一动点，则的最小值是______.
14. 在中，角，角A的平分线AD与BC边相交于点D，则的最小值为_________.
四．解答题（共5题，共77分）
15. 设向量
（1）若向量与向量平行，求的值；
（2）若向量与向量互相垂直，求的值.
16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若，求面积的最大值.
17. 如图，在中，点在线段上，且，.
（1）若是正三角形，求的长；
（2）若，，求的值.
18. 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．
（1）求A；
（2）若，为AB的中点，求CD的取值范围．
19. 法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F.
（1）求角A；
（2）若，且的周长为9，求；
（3）若面积为，求的角平分线的取值范围.无锡市第一中学2024-2025学年度第二学期阶段性质量检测试卷高一数学
2025.3
一．单选题（共8小题，每题5分，共40分）
1.
【答案】C
2.
【答案】D
3.
【答案】C
4.
【答案】C
5.
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】B
8.
【答案】B
二．多选题（共3小题，每题6分，错选得0分，少选得部分分）
9.
【答案】AB
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BD
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12.
【答案】
13.
【答案】
14.【答案】16
四．解答题（共5题，共77分）
15.
【解析】
【分析】(1)根据平面向量的坐标运算，结合平行向量的判定定理求解即可；
(2)根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的判定定理求解即可.
详解】（1），
向量与向量平行，
（2）因为，，
因为与互相垂直，所以，
即，
，解得或 .
16.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数两角和的正弦公式，可求得答案;
（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.
【小问1详解】
根据正弦定理及，
得.
∵，
∴.
∵，
∴.
【小问2详解】
由（1）知，又，
由余弦定理得，
即，
∵，
∴，即，
当且仅当时取等号.
∴.
∴的最大值为.
17.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可求得的长；
（2）利用两角差正弦公式可求得的值，利用正弦定理可求得的长，可得出的长，再利用三角形的面积公式及可求得结果.
【小问1详解】
解：因为，，
由余弦定理可得.
【小问2详解】
解：因为，则为锐角，则，
则，
由正弦定理得，则，
因此，.
18.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及三角函数恒等变换化简即可；
（2）利用向量的几何意义与数量积，通过条件先计算得，再得，由二次函数的单调性计算即可得出结果.
【小问1详解】
若选①，
，
∵；
若选②，，
∵；
若选③
∵，
而.
【小问2详解】
如图所示，设，则，，，
∵是锐角三角形，∴，
，当时取得最小值，故.
19.
【解析】
【分析】（1）由已知，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式计算得解.
（2）则（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用数量积的定义计算即得.
（3）由（2）中信息，利用三角形面积公式求出，再求出的范围，借助函数单调性求出范围.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理得，
又，则，
又，于是即，又，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，由正的周长为，得，
依题意，，
在中，由余弦定理得，
则，即，
在中，由余弦定理得，即，联立解得，
所以.
【小问3详解】
由正的面积为，得，
由（2）知，即，
由，得，
于是，又，则，
又，即，解得，因此，
令函数，而函数与在上均单调递增，
则函数在上单调递增，从而，则，
所以的取值范围是.