安徽省阜阳市临泉县临化中学2024-2025高二（上）期末数学试卷（BC班）（含答案）

安徽省阜阳市临泉县临化中学 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
（BC 班）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列{ }中，若 1 = 1， 2 + 4 = 10，则 20 =( )
A. 38 B. 39 C. 40 D. 41
2.若直线 1： + 2 8 = 0与直线 2： + ( + 1) + 4 = 0平行，则 的值为( )
A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 1或 2
3.直线 的一个方向向量为( 2,1, 1)，平面 的一个法向量为 = (3,3, 3)，则( )
A. // B. ⊥
C. // 或 D. 与 的位置关系不能判断
2 2 2
4.已知双曲线 ： 2 2 = 1的一条渐近线的斜率为√ 3，且与椭圆 +
2 = 1有相等的焦距，则 的方程为
5
( )
2 2 2 2 2 2
A. 2 = 1 B. 2 = 1 C. = 1 D. = 1
3 3 9 3 3 9
5.已知 = 1是函数 ( ) = 3 3 的一个极值点，其中 为实数，则 ( )在区间[ 2,2]上的最大值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 2 3
6.设椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2， 为直线 = 上一点，△ 2 1是底角为 2
30°的等腰三角形，则椭圆 的离心率为( )
√ 3 1 √ 3 3
A. B. C. D.
3 2 2 4
7.已知 = (1,3, 2)， = (3,1, 2)， = ( 1,0,2)，则平面 的法向量与 的夹角的余弦值为( )
√ 30 √ 30 √ 30 3√ 10 3√ 10 3√ 10
A. B. 或 C. D. 或
10 10 10 10 10 10
8.数列{ }的前 项和为 ，若 1 + 2 = 2， +1 = + 1，则( )
A. 数列{ }是公比为2的等比数列 B. 6 = 48
1 1 1 10
C. 既无最大值也无最小值 D. + + + <
1 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列{ }的前 项和为 ， 9 = 27， 2 + 10 = 10，则( )
A. 1 = 5 B. 6 = 2 C. ≥ 3 D. 7 = 7
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10.已知点 (0, 2)， (0,2)，动点 ( , )与 ， 两点连线的斜率分别为 1， 2且 1 2 = ( 为常数)，下列
结论正确的有( )
A. 若 < 0，则动点 ( , )一定在椭圆上
B. 若 > 0，则动点 ( , )一定在双曲线上，且双曲线的焦点在 轴
C. 若 = 4，则 + 的取值范围是[ √ 5,√ 5]
D. 若 = 1， 为坐标原点，且直线 + + = 0上存在点 使得∠ = 30°，则 4√ 2 ≤ ≤ 4√ 2
11.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为棱 ，
1 1， 1 1的中点， 点在线段 1 1上运动，则下列说法正确的是( )
A. //平面 1 1
B. 三棱锥 的体积不是定值
41
C. 三棱锥 的外接球的表面积是
4
3√ 2
D. 当直线 和 所成角最小时，线段 长为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆 ( 3)2 + ( 4)2 = 1，点 ( 1,0)， (1,0)，点 为圆上的动点，则 = | |2 + | |2的最大
值为______．
13.已知抛物线 2 = 8 的焦点为 ，点 在抛物线上.若| | = 6，则点 的横坐标为______，△ 的面积
为______．
14.若曲线 ( ) = ln( + 2)在 = 1处的切线同时与圆( )2 + 2 = 2相切，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥 中， // ， = 4， = = 2， = = √ 10，∠ = 60°， ⊥ ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
√ 130
(2)若线段 上存在点 ，满足 = ，且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求实数 的值．
130
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16.(本小题15分)
已知点 是抛物线 2 = 16 上的动点，过点 向 轴作垂线段，垂足为 ，垂线段 中点为 ，设 的轨迹为
曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设过点 (1,0)且斜率为1的直线 交曲线 于 ， 两点， 为坐标原点，求△ 的面积．
17.(本小题15分)
2 2
如图，椭圆 2 + 2 = 1 ( > > 0)的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点．当直线 经过椭圆的
一个顶点时，其倾斜角恰为60°．
(Ⅰ)求该椭圆的离心率；
(Ⅱ)设线段 的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于 ， 两点．记△ 的面积为 1，△ ( 为

原点)的面积为 2，求
1的取值范围．
2
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = + 2 + 2 ( ∈ )
(1)若曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为3 + = 0，求 的值；
1
(2)当 ≤ < 0时，讨论函数 ( )的零点个数．
2
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19.(本小题17分)
设{ }和{ }是两个等差数列，记 = { 1 + 1 , 2 + 2 , , + }( = 1，2，3， )，
其中 { 1, 2, , }表示 1， 2， ， 这 个数中最小的数．
(Ⅰ)若 = ， = ，求 1， 2， 3的值；
(Ⅱ)若 = 2， = ，证明{ }是等差数列；

(Ⅲ)证明：或者对任意实数 ，存在正整数 ，当 ≥ 时， < ；或者存在正整数 ，使得 ， ，
+1
+2， 是等差数列．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】74
13.【答案】4 4√ 2
14.【答案】1或 3
15.【答案】解：(1)证明：因为 = = 2，∠ = 60°，所以△ 为正三角形，
所以 = 2，∠ = 60°，
因为 // ，∠ = 60°，
所以∠ = 120°，则∠ = 60°，
因为 = 4， = 2，
1
在三角形 中，由余弦定理有： 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 16 + 4 2 × 4 × 2 × = 12，
2
即 = 2√ 3，
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ；
(2)取 的中点 ，连接 ，
因为 = = √ 10， = 2，所以 ⊥ ，且 = √ 10 1 = 3，
由(1)知平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
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过 作 的平行线 ，则 ， ， 两两互相垂直，
以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2√ 3, 0,0)， (0,2,0)， (0,1,3)，
( √ 3, 1,0)，
所以 = (0,2,0)， = (2√ 3, 0,0)， = (0,1,3)，
设 ( , , )，因为 = ，所以( + √ 3, 1, ) = ( , 1 , 3 )，
3
解得 √ 3， = 1， ，即 √ 3 3 = = ( , 1, )，
1+ 1+ 1+ 1+
√ 3 3 所以 = ( , 1, )，
1+ 1+
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
= 2 1 = 0
则{ ，令 = 1，则 = √ 3 ， = 0，

√ 3 3 1 1 1
= + + = 0
1+ 1 1 1+ 1
得 = (√ 3 , 0,1)，
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= 2√ 3 = 0
则{ 2 ，令 2 = 1，得 2 = 3， 2 = 0，得 = (0, 3,1)，
= 2 + 3 2 = 0
因为平面 与平面 的夹角的余弦值为√ 130，
130
| | 1 √ 130
所以|cos < , > | = = =| || | 130 ，
√ 2 3 +1×√ 10
解得 = ±2，因为 ≥ 0，所以 = 2．
16.【答案】解：(1)设 ( , )，则 ( , 2 )，
由于 ( , 2 )在抛物线 2 = 16 上，所以4 2 = 16 ，即 2 = 4 ；
(2)根据题意可设直线 的方程为 = 1，
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2 = 4
联立{ 2 6 + 1 = 0，
= 1
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 6， 1 2 = 1，
因此 1 + 2 = 1 + 2 2 = 4， 1 2 = ( 1 1)( 2 1) = 1 2 ( 1 + 2) + 1 = 4，
1 1 1 1
所以△ 面积为 = × | | × | 1 2| = × 1 × | 1 2| = √ ( 1 +
2
2) 4 1 2 = × 4√ 2 =2 2 2 2
2√ 2．
17.【答案】解：(Ⅰ)依题意，当直线 经过椭圆的顶点(0, )时，其
倾斜角为60°．

设 ( , 0)，则 = 60° = √ 3．

将 = √ 3 代入 2 = 2 + 2，得 = 2 ．
1
所以椭圆的离心率为 = = ．
2
2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)，椭圆的方程可设为 + = 1，设 ( 1, 1)， ( 2, 2). 4 2 3 2
依题意，直线 不能与 ， 轴垂直，故设直线 的方程为 = ( + )，将其代入3 2 + 4 2 = 12 2，
整理得 (4 2 + 3) 2 + 8 2 + 4 2 2 12 2 = 0．
2
8 6
2
则 1 + 2 = ， 1 + = (
4 3
2 2 1
+ 2 + 2 ) = 2 ，所以 ( 2 , 2 )．
4 +3 4 +3 4 +3 4 +3
3
2 2
4 +3
因为 ⊥

，所以 2 × = 1， = ．
4 2
4 +3
4 2+3
因为△ ∽△ ，
4 2 2 2 3 2
2 ( 2 2 ) +( 2 ) 2 2 2 2 4 2
2
所以 1
| |
= = 4 +3 4 +3 4 +3
(3 ) +(3 ) 9 +9 9
2 2 = = 4 = 9 + > 9． 2 | | 2 2 22( ) ( )
2
4 2+3

所以 1的取值范围是(9,+∞)．
2
18.【答案】解：(1) ′( ) = ( + 1)( + 2 )，
因为曲线 = ( )在点(0, (0))的切线方程为3 + = 0，
所以， (0) = 0， ′(0) = 3，由 0 + 2 = 3，得 = 2；
1
(2)当 ≤ < 0时，令 ′( ) = ( + 1)( + 2 ) = 0．
2
1
①当ln( 2 ) < 1时，即 ∈ ( , 0)时，
2
当 < ln( 2 )时， ′( ) > 0；当ln( 2 ) < < 1时， ′( ) < 0；
当 > 1时， ′( ) > 0，
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所以，函数 ( )在(ln( 2 ), 1)上单调递减，
在( ∞, ln( 2 ))和( 1,+∞)上单调递增，
又因为 (ln( 2 )) = 2( 2 ) < 0， (0) = 0，所以，函数 ( )有一个零点；
1
②当ln( 2 ) = 1时，即当 = 时，则对任意的 ∈ ， ′( ) ≥ 0，
2
此时，函数 ( )在 上单调递增，又因为 (0) = 0，所以，函数 ( )只有一个零点；
1 1
③当 1 < ln( 2 ) < 0时，即当 < < 时，
2 2
当 < 1时， ′( ) > 0；当 1 < < ln( 2 )时， ′( ) < 0；
当 > ln( 2 )时， ′( ) > 0．
所以函数 ( )在( 1, ln( 2 ))上单调递减，
在( ∞, 1)和(ln( 2 ),+∞)上单调递增，
1
又因为 ( 2) = 2 2 + 4 4 = 2 2 < 0， ( 1) = ， (ln( 2 )) = 2( 2 ) < 0， (0) = 0，

1 1 1
所以当 < < 时，此时 ( 1) = < 0，函数 ( )有一个零点；
2 2
1
当 = 时，此时 ( 1) = 0，函数 ( )有两个零点；

1 1 1
当 < < 时，此时， ( 1) = > 0，函数 ( )有三个零点；
2
1
④当ln( 2 ) = 0时，即当 = 时，显然函数 ( )有两个零点．
2
1
综上所述，当 < < 0时，函数 ( )有一个零点；

1 1
当 ∈ { , }时，函数 ( )有两个零点；
2
1 1
当 < < 时，函数 ( )有三个零点．
2
19.【答案】解：(Ⅰ) ∵ = ， = 1，
∴ 1 = 1， 2 = 2， 3 = 3， 1 = 1， 2 = 2， 3 = 3，
∴ 1 = {1 1 × 1} = 0，
2 = {1 1 × 2,2 2 × 2；= 2，
3 = {1 1 × 3,2 2 × 3,3 3 × 3} = 6；
证明：(Ⅱ) ∵ = 2， = ，∴ +

= + 2 ( ≤ , ∈ )，
当 = 1时， 1 = {1 + 2 × 1；= 3，
当 ≥ 2时，( +1 + +1) ( + ) = ( + 1 + 2 ) ( + 2 ) = 1 > 0，
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所以 + 关于 ∈
单调递增，
所以 = { 1 + 1 , 2 + 2 , , + } = 1 + 1 = 1 + 2 ，
所以对任意 ≥ 1， = 1 + 2 ，
因此 +1 = 2，
所以{ }是等差数列；
(Ⅲ)设数列{ }和{ }的公差分别为 1， 2，
则 + = 1 + ( 1) 2 + [ 1 + ( 1) 1] = 1 + 1 + ( 2 + 1)( 1)，
1 + 1 + ( 1)( 2 + 1), 2 + 所以 1
< 0
= { ， 1 + 1 , 2 + 1 ≥ 0

①当 1 > 0时，取正整数 >
2，则当 ≥ 时， 2 + 1 > 0，因此 = 1 + 1 . 1
此时， ， +1， +2， 是等差数列．
②当 1 = 0时，对任意 ≥ 1， = 1 + 1 + ( 1) { 2, 0} = 1 + 1 + ( 1)( { 2, 0} + 1)，
此时， 1， 2， 3， ， ， 是等差数列．
③当 1 < 0时，

当 > 2时，有 2 + 1 < 0， 1
1+ 1 +( 1)( 2+ 1) 所以 = = 1 1 + 1 + 2 +
1 2 ≤ 1 1 + 1 + 2 + | 1 2|，
+ | |
对任意正数 ，取正整数 > { 1 1 2 1 2 , 2}，
1 1

故当 ≥ 时， < ．

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