2024-2025山西省吕梁市部分学校高二（下）开学数学试卷（2月份）（含答案）

2024-2025学年山西省吕梁市部分学校高二（下）开学
数学试卷（2月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 函数在上单调递增
B. 函数至少有个极值点
C. 函数在上单调递减
D. 函数在处取得极大值
5.现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种排塔松，第排栽种棵，第排比第排多栽种棵，第排比第排多栽种棵，，第排比第排多栽种棵且，则第排栽种塔松的棵数为( )
A. 棵 B. 棵 C. 棵 D. 棵
6.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和为，若，则使得成立的正整数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则当自变量从变为时，下列结论正确的是( )
A. 函数值减少了 B. 函数的平均变化率为
C. 函数在处的瞬时变化率为 D. 函数值先变大后变小
10.已知圆：与圆：交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 线段的中垂线方程为
B. 直线的方程为
C.
D. 若点是圆上的一点，则的最大值是
11.已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和，则 ______．
13.已知函数在定义域上单调递增，则实数的最大值是______．
14.已知数列的前项和为，且满足，则数列的前项和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，直线的方程为．
若直线不经过第二象限，求的取值范围；
若点，到直线的距离相等，求的值
16.本小题分
如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面已知，．
证明：平面；
若，，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知抛物线：的焦点为，是上一点，线段的中点为．
求的方程；
若，为原点，点，在上，且直线，的斜率之积为，求证：直线过定点．
18.本小题分
已知函数的两个极值点分别为，．
求，的值，并求出函数的极值；
已知，求证：不等式在上恒成立．
19.本小题分
对于给定正项有穷数列，，，，，满足条件；，请回答下列问题：
若，试判断数列是否满足条件？如果是，请写出判断理由；如果不是，请说明理由；
已知递增数列，，，满足条件，求和；
设，且数列满足条件，探究：数列是否为等比数列？若是，请给出理由；若不是，请写出一个满足条件的数列的通项公式．
参考答案
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15.解：直线的方程化为斜截式，得，
当时，直线为，不经过第二象限，符合题意；
当时，若直线不经过第二象限，则，解得．
综上所述，，即实数的取值范围为．
由点到直线的距离公式，可得，即，
所以，解得或．
16.解：证明：如图，取的靠近的四等分点，连接，又，
，且，又，，
，且，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
取中点，连接，，
，侧面为正三角形，
，，又平面平面，
平面，
故建系如图，又，，
又，，
根据题意可得，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
直线与平面所成角的正弦值为：
，．
17.解：由题意得，设，
因为线段的中点为，
所以，，所以，，
代入的方程得，
解得，或，
所以的方程为，或．
证明：因为，所以的方程为，
设，，直线的方程为，
与联立，消去得，
则，，
因为直线，的斜率之积为，
所以，
所以．
直线的方程为，故直线过定点．
18.解：因为，所以，
因为函数的两个极值点分别为，，所以，
解得，
此时，．
所以当时，，函数单调递增；
当时，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
满足的两个极值点分别为，．
所以函数的极大值为，极小值为．
证明：等价于，
即，
令，则，
若，则恒成立，在上单调递增，
所以；
若，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的极小值为，也是最小值．
令，，则，
所以在上单调递减，．
综上所述，在上恒成立，
即不等式在上恒成立．
19.解：对于给定正项有穷数列，，，，，
满足条件；，
，
由题意知，数列为，，，，，，．
由，不是数列中的项，
数列不满足条件．
递增数列，，，满足条件，
由题意得，则，且，
又数列满足条件，
则都是数列中的项，
，即；且，即，
，．
设，且数列满足条件，
则数列是等比数列．
证明：当时，设数列为，，，，，
又，则，
，，对，，
，，，，都是数列中的项，
，
则．
同理由，得，
则，即．
，是等比数列．
当时，由，
得，
由数列满足得这个数都是数列中的项，
．
，即，
同理由，可得，
．
则，即，
，
则，，
，数列是等比数列．
综上，数列是等比数列．
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