2024-2025上海向明中学高三上学期数学月考试卷（2024.10）（含答案）

向明中学2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.09
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知全集，集合，则_________.
2．直线的倾斜角为_________.
3．等差数列的前7项的和为28，则_________.
4．的展开式中，常数项为_________.
5．已知关于方程的解_________.
6．若，则_________.
7．已知，，则_________.
8．已知向量，，则在上的数量投影为3，则_________.
9．已知函数，则_________.
10．已知，若上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是_________.
11．设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论：
①若是奇函数或偶函数，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0；
②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的奇函数与偶函数不存在；
③若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对；
④若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对．其中正确的是_________.（填写序号）.
12．已知平面向量，，，，，两两都不共线．若，（，2，3，4，5），则的最大值是_________.二、选择题（共4题，13~14题每题4分，15~16题每题5分，满分18分）
13．“两个非零向量与共线”是“，，成等比数列”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．在一次试验中，随机事件，满足，，则（ ）
A．事件，一定互斥 B．事件，一定不互斥
C．事件，一定互相独立 D．事件，一定不互相独立
15．已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中、，），或（其中正整数、且）．现有如下命题：①；②集合，则下列选项中正确的是（ ）
A．①是假命题，②是假命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是真命题
三、解答题（本大题共5是，共分）
17．（分）在正三棱柱中，，，求：
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）四棱锥的体积．
18．（分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，且是锐角三角形，求的最大值．
19．（分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
（1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；
（3）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
20．（分）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．
（1）求的周长；
（2）求面积的取值范围；
（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
21．（分）已知定义域为的函数，其导函数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”．
（1）请说明是否为“导可控函数”；
（2）若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；
（3）若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.-3; 9.; 10.； 11. ①③④ 12.
11．设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论：
①若是奇函数或偶函数，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0；
②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的奇函数与偶函数不存在；
③若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对；
④若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对．其中正确的是 （填写序号）.
【答案】①③④
【解析】对于①,则,
当为奇函数时, 则即;
当为偶函数时，则即
即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数, 其函数值为 0 , 故①正确;
对于②，当时，不具有奇偶性，
满足的奇函数与偶函数存在, 故②错误；
对于③为奇函数时,令奇函数，
偶函数则,因为,
故存在无数对奇函数与偶函数, 满足, 故③正确;
对于④为偶函数,令奇函数, 偶函数
则,因为,故存在无数对奇函数与偶函数, 满足.故④正确.故选：①③④.
12．已知平面向量，，，，，两两都不共线．若，（，2，3，4，5），则的最大值是 ．
【答案】
【解析】由于, 于是的最大值就是在上的投影之和最大值,由,知,
相邻两向量夹角为, 以相邻两向量的模为边长的第三边长度为 1 ,
取, 作出图象如下图所示,
则,
由图可知, 当时,
所有向量在上的投影之和最大,
故答案为:.
二、选择题
13.C 14.B 15.D 16.C
15．已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得的根为,,
且, 解得. 故选C.
16．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中、，），或（其中正整数、且）．现有如下命题：①；②集合，则下列选项中正确的是（ ）
A．①是假命题，②是假命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是真命题
【答案】C
【解析】因为若, 则当且仅当（其中,且, 或(其中,且),且集合是由某些正整数组成的集合,所以,
因为, 满足（其中,且), 所以,
因为, 且, 所以, 故①是假命题;
记,当时,, 因为,, 所以;
下面讨论元素与集合的关系,
当时,, 当时,,, 所以,
当时,, 所以,
当时,, 所以，依次类推，
当时,,, 所以,
下面讨论时,集合中元素与集合的关系,
因为, 有且, 所以,
综上所述,, 有,即, 故②是真命题.
故选:.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）
（2）当生产80万箱时，可获得最大利润1300万元.
20．（分）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．
（1）求的周长；
（2）求面积的取值范围；
（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】(1)为椭圆的两焦点, 且为椭圆上的点,, 从而得到的周长为.由题意, 得, 即的周长为.
(2) 由题意可设过的直线方程为,
联立, 消去得
则
所以
令则（当时等号成立, 即时），
所以
故面积的取值范围为.
(3) 设, 直线的方程为
将其代入椭圆的方程可得
整理可得,则,
得,故
当时, 直线的方程为
将其代入椭圆方程并整理可得
同理, 可得,因为
所以
当且仅当时, 等号成立.
轴时, 易知,此时,
综上,的最大值为.
21．（1）不是导可控函数（2）1个 （3）略