2024-2025天津市新华中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市新华中学高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四式不能化简为的是( )
A. B.
C. D.
2.已知非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的( )
A. 外心，重心，内心 B. 重心，外心，垂心 C. 重心，外心，内心 D. 外心，重心，垂心
4.在中，若且，则为( )
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，则下列说法不正确的是( )
A. 与共线的单位向量的坐标为或
B. 在方向上的投影向量为
C. 若向量与向量垂直，则
D. 与垂直的单位向量的坐标为或
9.若单位向量，，满足，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
10.设向量的夹角为，定义：若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为( )
A. B. C. D.
11.若函数，函数的最小正周期为，则；当时，在区间上单调递增；当时，为函数的一个对称中心；若在上有且只有两个零点，则其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
12.在梯形中，，动点和分别在线段和上，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知与是两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则 ．
14.已知向量，满足，，则 ．
15.已知，则 ．
16.已知，与的夹角为，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 ．
17.已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
18.在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 若，则余弦值的最小值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知向量与，，．
求；
设，的夹角为，求的值；
若向量与互相平行，求的值．
20.本小题分
已知，，．
求的最小正周期及单调递减区间；
求函数在区间上的最大值和最小值．
21.本小题分
在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．
求的值；
若为线段上任意一点，求的取值范围．
22.本小题分
如图，在中，是中点，在边上，且，与交于点．
用，表示；
过点作直线交线段于点，交线段于点，且，，求的值；
若，求的值．
参考答案
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19.解：因为，，
所以；
，
，，
由题意可得，，
整理可得，，
解可得，．

20.解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的单调递减区间为，；
由可得：
当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为，最小值为．

21.解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、、，
因为，，，
所以，所以，所以点，
设，则，，
因为，所以，解得，
所以，，则．
解：由知，，设，其中，
则，
所以，
因为，故当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
故的取值范围为．

22.解：因为，，三点共线，所以，，且，，三点共线，
所以存在实数，使，其中是中点，且，
所以
即
解得，，
所以．
因为，，三点共线，所以存在实数，使，
其中，，所以，
根据平面向量基本定理可得：即
所以．
，
整理可得：，所以．

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