河北省承德市双滦区实验中学2025届高三下学期质检数学试卷（含答案）

河北省承德市双滦区实验中学2025届高三下学期质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.若不等式成立的充分条件为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.设等比数列的各项均为正数，前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则下列函数为奇函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知圆，直线与圆( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切
6.为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数、的定义域均为，函数的图象关于点对称，函数的图象关于轴对称，，，则( )
A. B. C. D.
8.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现点的率为，他掷了次骰子，最终有次出现点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子设随机变量表示每掷次骰子出现点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算若有多个使最大，则取其中的最小值下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 与的大小无法确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为
10.已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，则( )
A. 若的两条渐近线相互垂直，则
B. 若的离心率为，则的实轴长为
C. 若，则
D. 当变化时，周长的最小值为
11.定义在上的连续函数满足，，，，则( )
A.
B. 当，时，
C. 若，则为偶函数
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则 ．
13.锐角，满足，，则和中的较小角等于 ．
14.对于数列，令，给出下列四个结论：
若，则；
若，则；
存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；
若对任意的，都有，则有．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，已知边上的两条中线，相交于点．
求中线的长；
求的余弦值；
求面积．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，，点分别在棱上，，且三棱锥的体积为．
求的值；
若点满足，求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为，
求甲连胜四场的概率；
求需要进行第五场比赛的概率；
求丙最终获胜的概率．
18.本小题分
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为
求椭圆的标准方程
直线与椭圆交于、两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为
求四边形的面积的最大值
设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由．
19.本小题分
已知函数，其中．
证明：当时，；
若时，有极小值，求实数的取值范围；
对任意的恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.因为为的中点，，
，
．
因为
，
，
．
为中线的交点，为重心，
，
，，
．

16.如图所示，取中点，连接，
是边长为的正三角形，为中点，
，且，
又，
，
又，平面，
平面，
过点作，点为垂足，
平面，
，
又，，
平面，
为三棱锥的高，
，
在中，，
，
，
，
又，
，
，
又在中，，
由余弦定理得，
，
由得；
过作，以为坐标原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
且，取的方向向量．
由知，
，
，
又平面平面，
平面，
又，
，同理可证平面，
又，
平面平面，
所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，且记为，
设平面的法向量，则
解得，令，则，
故，
，
，
所以直线与平面所成角的余弦值．
17.记事件甲连胜四场，则；
记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲赢的概率为．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为．
18.设椭圆的方程为．
由题意可得，解得
所以椭圆的标准方程为；
由可求得点、的坐标为，，则，
设直线的方程为，设点、，
联立，整理得：，
由，可得．
由韦达定理知：，，
四边形的面积，
故当时，；
由题意知，直线的斜率，直线的斜率，
则
．
所以的值为常数．
19.因为，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以当时，．
因为，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为．
令，
则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为．

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