2025年安徽省中考数学考点模拟测试----2.3一元二次方程及其应用（学生用卷+教师用卷）
第二章 方程(组)与不等式(组)
第三节 一元二次方程及其应用
1.用配方法解一元二次方程x2-6x-1=0,配方后得到的方程是 ( A )
A.(x-3)2=10 B.(x+3)2=10
C.(x-6)2=10 D.(x+6)2=10
2.[2024北京中考]若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为 ( C )
A.-16 B.-4 C.4 D.16
3.[2024内江中考]某市2021年底森林覆盖率为64%,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力发展植树造林活动,2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,则符合题意的方程是 ( B )
A.0.64(1+x)=0.69
B.0.64(1+x)2=0.69
C.0.64(1+2x)=0.69
D.0.64(1+2x)2=0.69
4.下列一元二次方程没有实数根的是 ( D )
A.x2-x-2=0 B.x2-2x=0
C.x2-2x+1=0 D.x2+x+5=0
5. [2024呼和浩特中考]我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步 ”其大意是:矩形面积是864平方步,其中宽与长的和为60步,问宽和长各几步 若设长为x步,则下列符合题意的方程是 ( C )
A.x·=864 B.x(60+x)=864
C.x(60-x)=864 D.x(30-x)=864
6.[2024河北中考]淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a= ( C )
A.1 B.-1
C.+1 D.1或+1
7.[2023内江中考]对于实数a,b定义运算“ ”为a b=b2-ab,如3 2=22-3×2=-2,则关于x的方程(k-3) x=k-1的根的情况,下列说法正确的是 ( A )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
8.[2024新疆中考]若关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为 k< .
9.若关于x的方程3x2-2x+m=0有两个实数根,则m的取值范围是 m≤ .
10.[2024泸州中考]已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根,则(x1-x2)2+3x1x2的值是 14 .
11.[2024广州中考]定义新运算:a b=例如:-2 4=(-2)2-4=0,2 3=-2+3=1.若x 1=-,则x的值为 -或 .
12.解方程:x2-4x-2=0.
解:移项,得x2-4x=2,
配方,得x2-4x+4=2+4,
即(x-2)2=6,
开平方,得x-2=或x-2=-,
∴x1=2+,x2=2-.
13.解方程:4x2-8x+4=1.
解:方法一(公式法):4x2-8x+4=1,
整理,得4x2-8x+3=0,
Δ=(-8)2-4×4×3=16,
∴x=,
∴x1=,x2=.
方法二(配方法):4x2-8x+4=1,
4(x2-2x+1)=1,
4(x-1)2=1,
∴(x-1)2=,
∴x-1=±,
∴x1=,x2=.
14.[2024青海中考](1)解一元二次方程:x2-4x+ 3=0;
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
解:(1)Δ=(-4)2-4×3=4,
∴x=,
∴x1=3,x2=1.
(2)当3是直角三角形的斜边长时,第三边的长为=2.
当3是直角三角形的直角边长时,第三边的长为=.
综上可知,第三边的长为2或.
15.[2024南充中考]已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若k<5,且k,x1,x2都是整数,求k的值.
解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,
∴Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)
=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0,
解得k>1.
(2)∵1
当k=3或4时,此时方程的解不为整数.
综上所述,k的值为2.
16.[2023东营中考]如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
解:设AB=x m,则BC=70-2x+2=(72-2x)m.
(1)根据题意,得x(72-2x)=640,
化简,得x2-36x+320=0,
解得x1=16,x2=20.
当x=16时,72-2x=72-32=40;
当x=20时,72-2x=72-40=32.
答:当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时,能围成一个面积为640 m2的羊圈.
(2)不能.理由如下:
令x(72-2x)=650.
化简,得x2-36x+325=0.
∵Δ=(-36)2-4×325=-4<0,
∴该一元二次方程没有实数根,
∴羊圈的面积不能达到650 m2.
17.[2024黄山一模]某品牌画册每本成本为40元,当每本售价为60元时,平均每天的销售量为100本.为了吸引消费者,商家决定采取降价措施.经试销统计发现,如果画册每本售价每降低1元时,那么平均每天就能多售出10本.设这种画册每本降价x元.
(1)平均每天的销售量为 (100+10x) 本(用含x的代数式表示);
(2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2 240元,且要求每本售价不低于55元,求每本画册应降价多少元.
解:(1)(100+10x)
(2)由题意,得(60-40-x)(100+10x)=2 240,
整理,得x2-10x+24=0,
解得x1=4,x2=6,
∵要求每本售价不低于55元,
∴60-x≥55,解得x≤5,
∴x=4符合题意.
答:每本画册应降价4元.第二章 方程(组)与不等式(组)
第三节 一元二次方程及其应用
1.用配方法解一元二次方程x2-6x-1=0,配方后得到的方程是 ( )
A.(x-3)2=10 B.(x+3)2=10
C.(x-6)2=10 D.(x+6)2=10
2.[2024北京中考]若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为 ( )
A.-16 B.-4 C.4 D.16
3.[2024内江中考]某市2021年底森林覆盖率为64%,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力发展植树造林活动,2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,则符合题意的方程是 ( )
A.0.64(1+x)=0.69
B.0.64(1+x)2=0.69
C.0.64(1+2x)=0.69
D.0.64(1+2x)2=0.69
4.下列一元二次方程没有实数根的是 ( )
A.x2-x-2=0 B.x2-2x=0
C.x2-2x+1=0 D.x2+x+5=0
5. [2024呼和浩特中考]我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步 ”其大意是:矩形面积是864平方步,其中宽与长的和为60步,问宽和长各几步 若设长为x步,则下列符合题意的方程是 ( )
A.x·=864 B.x(60+x)=864
C.x(60-x)=864 D.x(30-x)=864
6.[2024河北中考]淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a= ( )
A.1 B.-1
C.+1 D.1或+1
7.[2023内江中考]对于实数a,b定义运算“ ”为a b=b2-ab,如3 2=22-3×2=-2,则关于x的方程(k-3) x=k-1的根的情况,下列说法正确的是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
8.[2024新疆中考]若关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为 .
9.若关于x的方程3x2-2x+m=0有两个实数根,则m的取值范围是 .
10.[2024泸州中考]已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根,则(x1-x2)2+3x1x2的值是 .
11.[2024广州中考]定义新运算:a b=例如:-2 4=(-2)2-4=0,2 3=-2+3=1.若x 1=-,则x的值为 .
12.解方程:x2-4x-2=0.
13.解方程:4x2-8x+4=1.
14.[2024青海中考](1)解一元二次方程:x2-4x+ 3=0;
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
15.[2024南充中考]已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若k<5,且k,x1,x2都是整数,求k的值.
16.[2023东营中考]如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
17.[2024黄山一模]某品牌画册每本成本为40元,当每本售价为60元时,平均每天的销售量为100本.为了吸引消费者,商家决定采取降价措施.经试销统计发现,如果画册每本售价每降低1元时,那么平均每天就能多售出10本.设这种画册每本降价x元.
(1)平均每天的销售量为 本(用含x的代数式表示);
(2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2 240元,且要求每本售价不低于55元,求每本画册应降价多少元.
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