天津市南开区2025届高三下学期质量监测（一）数学试卷（含答案）

天津市南开区2025届高三下学期质量监测（一）数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设，则( )
A. B. C. D.
4.如图是由一组实验数据得到的散点图，以下四个回归方程类型中适合作为与的回归方程类型的是( )
A. B. C. D.
5.已知是奇函数，则( )
A. B. C. D.
6.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为( )
A. B. C. D.
9.设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ．
11.若的展开式的二项式系数和为，且的系数为 ．
12.已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为 ．
13.有编号分别为的个盒子，第个盒子中有个白球个黑球，其余盒子中均为个白球个黑球．现从第个盒子中任取一球放入第个盒子，再从第个盒子中任取一球放入第个盒子，则从第个盒子中取到白球的概率是 ；从第个盒子中取到白球的概率是 ．
14.在中，，若点为的中点，点满足，点为与的交点，用和表示 ；则的余弦值为 ．
15.已知，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，内角的对边分别为，且．
求边的长；
求的值；
求的值．
17.如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．
求的方程；
过点，斜率不为的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于若，求直线的斜率．
19.已知公差大于的等差数列的前项和为，且是的等比中项．
求的通项公式及；
记为在区间内项的个数，为数列的前项和．
若，求的最大值；
设，证明：．
20.已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若在区间上恒成立，求实数的取值范围；
若方程有两个不同的实数解，证明：．
参考答案
1.
2.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.；
15.
16.因为，由正弦定理可知，
由余弦定理可得，即，
解得，故．
由及，得，
由正弦定理，得，
解得．
由得，所以．
所以．
所以

17.取中点，连接，因为，所以．
又面面，面，面面，
所以平面．
以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以．
设为平面的一个法向量，则，得
令，则，从而．
因为，所以．
因为，所以，又平面，则平面．
设与平面的夹角为，则．
显然，平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则．

18.设的方程为且，
将两点代入得，解得，
故的方程为．
依题意，设直线，
联立，消去整理得，
则，即，且．
直线，直线，
令，则，
令，则，
由，得，即，
整理得，
因为，所以，解得，
所以直线的斜率为．

19.设等差数列的公差为，
依题意，，即，
，即，
将代入得，因为，解得，
所以．
令，即，解得，
所以，即的通项公式为
所以．
又，所以．
由，得，
因为，
所以的最大值为．
由知，则，所以．
设，
则，
得，
所以．
因为，
所以．
综上，．

20.，则切线的斜率为，又，
所以处的切线方程为，即．
，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，则．
若在区间上恒成立，则的取值范围为．
由，得，
若有两个不同的实数解，则，
两式相减得，所以．
不妨设，则，
所以在上单调递增，此时，所以．
所以，即，所以
由，得有两个不同的实数解，
令，
当时单调递增，当时单调递减，
由，，所以．
令，则方程有两个不同的实数解．
由知，则有．
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
此时，即，故，当且仅当时等号成立．
不妨设直线与直线交点的横坐标分别为，

则，
所以
综上，．

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