2026全国版高考数学一轮基础知识练--7.3　直线、平面平行的判定与性质（含解析）

2026全国版高考数学一轮
7.3　直线、平面平行的判定与性质
五年高考
考点　直线、平面平行的判定与性质
1.(2022全国乙,文9,理7,5分,中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则 (　　)
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
2.(2021浙江,6,4分,中)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则 (　　)
A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
3.(2024全国甲理,10,5分,中)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m.下述四个命题:
①若m∥n,则n∥α或n∥β
②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β
③若n∥α且n∥β,则m∥n
④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n
其中所有真命题的编号是 (　　)
A.①③　　　　B.②④　　　　C.①②③　　　　D.①③④
4.(2024新课标Ⅰ,17,15分,中)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=.
(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;
(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为,求AD.
5.(2022新高考Ⅱ,20,12分,中)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.
(1)证明:OE∥平面PAC;
(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届湖南长沙长郡中学调研,2)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则m∥α的一个充分条件是 (　　)
A.m∥n,n∥α
B.m∥β,α∥β
C.m⊥n,n⊥α,m α
D.m∩n=A,n∥α,m α
2.(2025届江苏常州学情调研,3)在空间中,设m,n为两条不同直线,α,β为两个不同平面,则下列命题正确的是 (　　)
A.若m∥α且α∥β,则m∥β
B.若m、n是异面直线,m α,m∥β,n β,n∥α,则α∥β
C.若α⊥β,m α,n β,则m⊥n
D.若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β
3.(2024河南安阳、焦作二模,5)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为梯形,AB=BB1=C1D1=6,CD∥AB,(0<λ<1),若DD1∩平面AC1M=N,则DN= (　　)
A.　　　　
C.
4.(2023河南新乡二模,7)在如图所示的正方体或正三棱柱中,M,N,Q分别是所在棱的中点,则满足直线BM与平面CNQ平行的是 (　　)
　　
　　
5.(多选)(2024河北邯郸重点中学月考,9)已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,则 (　　)
A.A1B∥平面HGF
B.FG∥HE
C.直线D1F与直线HE相交
D.HE与平面ABCD所成角的大小是45°
6.(2025届福建泉州四校期中联考,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=3,D是棱BB1的中点,P是C1D的延长线与CB的延长线的交点.
(1)求证:AP∥平面A1CD;
(2)若点E在线段AP上,且点E为靠近点A的三等分点,求直线A1E与平面A1CD所成的角的正弦值.
能力拔高练
1.(多选)(2025届山东青岛五十八中期中,11)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1C1,C1D1的中点,P是正方形A1B1C1D1内(包含边界)的动点,则下列结论正确的是 (　　)
A.若DP∥平面CEF,则点P的轨迹长度为2
B.若AP=,则点P的轨迹长度为2π
C.若P是正方形A1B1C1D1的中心,Q在线段EF上,则PQ+CQ的最小值为4
D.若P是棱A1B1的中点,则三棱锥P-CEF的外接球的表面积是41π
2.(2025届北京日坛中学调研,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,CD⊥AP,△PCD为等腰直角三角形,PD=CD=2,平面PBC交平面PAD于直线l,E,F分别为棱PD,PB的中点.
(1)求证:BC∥l.
(2)设PA=AD=2BC=2.
①求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值;
②在棱PC上是否存在点G,使得DG∥平面AEF 若存在,求的值;若不存在,说明理由.
创新风向练
(创新考法)(2024江苏南通第二次调研,17)如图,边长为4的两个正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直,E,F分别为BC,CD的中点,点G在棱AD上,AG=2GD,直线AB与平面EFG相交于点H.
(1)从下面两个结论中选一个证明:
①BD∥GH;②直线HE,GF,AC相交于一点.
注:若两个问题均作答,则按第一个计分.
(2)求直线BD与平面EFG的距离.
7.3　直线、平面平行的判定与性质
五年高考
考点　直线、平面平行的判定与性质
1.(2022全国乙,文9,理7,5分,中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则 (　　)
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
答案　A　
2.(2021浙江,6,4分,中)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则 (　　)
A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
答案　A　
3.(2024全国甲理,10,5分,中)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m.下述四个命题:
①若m∥n,则n∥α或n∥β
②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β
③若n∥α且n∥β,则m∥n
④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n
其中所有真命题的编号是 (　　)
A.①③　　　　B.②④　　　　C.①②③　　　　D.①③④
答案　A　
4.(2024新课标Ⅰ,17,15分,中)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=.
(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;
(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为,求AD.
解析　(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,∴PA⊥AD.又AD⊥PB,PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,∴AD⊥平面PAB.又AB 平面PAB,∴AD⊥AB.
在△ABC中,因为AC=2,BC=1,AB=,∴AC2=BC2+AB2,∴AB⊥BC.又AD⊥AB,且AD,AB,BC都在平面ABCD内,∴AD∥BC.又AD 平面PBC,BC 平面PBC,∴AD∥平面PBC.
(2)以DA,DC所在直线分别为x轴,y轴,过D作平面ABCD的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0).
设AD=t,t>0,则DC=,A(t,0,0),P(t,0,2),C(0,,0),则=(-t,,0),=(0,0,2),=(t,0,2),=(0,,0),
设平面ACP的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
令x1=,则y1=t,则n1=(,t,0),
设平面CPD的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
令z2=t,则x2=-2,则n2=(-2,0,t),
∵二面角A-CP-D的正弦值为,且由图可知二面角A-CP-D为锐二面角,∴二面角A-CP-D的余弦值为,
∴=|cos|=,
∴t=(舍负),∴AD=.
5.(2022新高考Ⅱ,20,12分,中)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.
(1)证明:OE∥平面PAC;
(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.
解析　(1)证法一:连接OA,
∵PO是三棱锥P-ABC的高,∴PO⊥平面ABC,
∴PO⊥OA,PO⊥OB,∴∠POA=∠POB=90°,
又PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,
∴OA=OB,
取AB的中点D,连接OD、DE,则OD⊥AB,
又∵AB⊥AC,∴OD∥AC,
又∵OD 平面PAC,AC 平面PAC,∴OD∥平面PAC,
又D、E分别为AB、PB的中点,∴DE∥PA,
又∵DE 平面PAC,PA 平面PAC,∴DE∥平面PAC,
又OD、DE 平面ODE,OD∩DE=D,∴平面ODE∥平面PAC,
又OE 平面ODE,∴OE∥平面PAC.
证法二:连接OA,∵PO是三棱锥P-ABC的高,
∴PO⊥平面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,
∴∠POA=∠POB=90°,又PA=PB,PO=PO,
∴△POA≌△POB,∴OA=OB,
延长BO交AC于点F,连接PF,
易知在Rt△ABF中,O为BF的中点,
∵E为PB的中点,∴OE∥PF,
又OE 平面PAC,PF 平面PAC,∴OE∥平面PAC.
(2)取AB的中点M,连接OM,OA,以M为坐标原点,MB,MO所在直线分别为x,y轴,过点M且与平面ABC垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∵PO=3,PA=5,∴结合(1)可知OA=OB=4,又∠ABO=∠CBO=30°,∴OM=2,MB=2,
∴P(0,2,3),B(2,0,0),A(-2,0,0),E,
∵AB⊥AC,∠CBA=60°,AB=4,
∴AC=12,C(-2,12,0).
设平面AEB的法向量为n1=(x1,y1,z1),
=(4,0,0),,
∴
令y1=3,则z1=-2,∴n1=(0,3,-2).
设平面AEC的法向量为n2=(x2,y2,z2),
=(0,12,0),
∴
令x2=,则z2=-6,∴n2=(,0,-6),
∴cos=,
设二面角C-AE-B的平面角为θ,则sin θ=,
∴二面角C-AE-B的正弦值为.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届湖南长沙长郡中学调研,2)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则m∥α的一个充分条件是 (　　)
A.m∥n,n∥α
B.m∥β,α∥β
C.m⊥n,n⊥α,m α
D.m∩n=A,n∥α,m α
答案　C　
2.(2025届江苏常州学情调研,3)在空间中,设m,n为两条不同直线,α,β为两个不同平面,则下列命题正确的是 (　　)
A.若m∥α且α∥β,则m∥β
B.若m、n是异面直线,m α,m∥β,n β,n∥α,则α∥β
C.若α⊥β,m α,n β,则m⊥n
D.若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β
答案　B　
3.(2024河南安阳、焦作二模,5)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为梯形,AB=BB1=C1D1=6,CD∥AB,(0<λ<1),若DD1∩平面AC1M=N,则DN= (　　)
A.　　　　
C.
答案　C　
4.(2023河南新乡二模,7)在如图所示的正方体或正三棱柱中,M,N,Q分别是所在棱的中点,则满足直线BM与平面CNQ平行的是 (　　)
　　
　　
答案　B　
5.(多选)(2024河北邯郸重点中学月考,9)已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,则 (　　)
A.A1B∥平面HGF
B.FG∥HE
C.直线D1F与直线HE相交
D.HE与平面ABCD所成角的大小是45°
答案　ABD　
6.(2025届福建泉州四校期中联考,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=3,D是棱BB1的中点,P是C1D的延长线与CB的延长线的交点.
(1)求证:AP∥平面A1CD;
(2)若点E在线段AP上,且点E为靠近点A的三等分点,求直线A1E与平面A1CD所成的角的正弦值.
解析　(1)证明:连接AC1,交A1C于点M,连接MD,如图1,
　　
由ABC-A1B1C1是直三棱柱,可得四边形A1C1CA是矩形,故M为AC1的中点,又D是B1B的中点,所以B1D=BD,又∵∠B1DC1=∠BDP,∠C1B1D=∠PBD=90°,∴△B1DC1≌△BDP,∴C1D=PD,即D是C1P的中点.
在△C1AP中,∵M,D分别为C1A,C1P的中点,∴MD∥AP,
又MD 平面A1CD,AP 平面A1CD,故AP∥平面A1CD.
(2)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,可得C1C⊥平面ABC,又CA,CB 平面ABC,故CC1⊥CA,CC1⊥CB,又∠ACB=90°,故CA⊥CB,故CC1,CA,CB两两垂直,
故以C为坐标原点,建立如图2所示的空间直角坐标系,
则C(0,0,0),C1(0,0,3),A(3,0,0),A1(3,0,3),B(0,3,0),B1(0,3,3),D,则=(3,0,3),,=(-3,0,0),,
由(1)知BP=C1B1,故CP=6,则P(0,6,0),则=(-3,6,0).
设平面A1CD的法向量为m=(x,y,z),
则
取z=-2,则x=2,y=1,故m=(2,1,-2).
又=(-1,2,0),则点E的坐标为(2,2,0),则=(-1,2,-3),
设直线A1E与平面A1CD所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,m>|=,
所以直线A1E与平面A1CD所成的角的正弦值为.
能力拔高练
1.(多选)(2025届山东青岛五十八中期中,11)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1C1,C1D1的中点,P是正方形A1B1C1D1内(包含边界)的动点,则下列结论正确的是 (　　)
A.若DP∥平面CEF,则点P的轨迹长度为2
B.若AP=,则点P的轨迹长度为2π
C.若P是正方形A1B1C1D1的中心,Q在线段EF上,则PQ+CQ的最小值为4
D.若P是棱A1B1的中点,则三棱锥P-CEF的外接球的表面积是41π
答案　ACD　
2.(2025届北京日坛中学调研,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,CD⊥AP,△PCD为等腰直角三角形,PD=CD=2,平面PBC交平面PAD于直线l,E,F分别为棱PD,PB的中点.
(1)求证:BC∥l.
(2)设PA=AD=2BC=2.
①求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值;
②在棱PC上是否存在点G,使得DG∥平面AEF 若存在,求的值;若不存在,说明理由.
解析　(1)证明:因为AD∥BC,AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD,
又BC 平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l.
(2)①取AD的中点O,连接OP,OB,
由题意可得BC∥OD,且BC=OD,
则四边形OBCD为平行四边形,可得OB∥CD,
由△PCD为等腰直角三角形,PD=CD可知CD⊥PD,
又CD⊥AP,AP∩PD=P,AP,PD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,所以OB⊥平面PAD,
因为OP,AD 平面PAD,所以OP⊥OB,AD⊥OB,
又因为△PAD为等边三角形,O为AD的中点,所以OP⊥AD,
又OB∩AD=O,OB,AD 平面ABCD,所以OP⊥平面ABCD,
故OP,OA,OB两两垂直.
如图,以O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),P(0,0,),E,F,,,
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=2,则y=-1,z=2,即n=(2,-1,2),
易知平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0),
可得cos=,
所以平面AEF与平面PAD夹角的余弦值为.
②由①可得=(-1,2,-),
设,λ∈[0,1],
则G(-λ,2λ,(1-λ)),则=(1-λ,2λ,(1-λ)),
若DG∥平面AEF,则n⊥,
可得n·=2(1-λ)-2λ+6(1-λ)=0,解得λ=,
所以存在点G,使得DG∥平面AEF,此时.
创新风向练
(创新考法)(2024江苏南通第二次调研,17)如图,边长为4的两个正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直,E,F分别为BC,CD的中点,点G在棱AD上,AG=2GD,直线AB与平面EFG相交于点H.
(1)从下面两个结论中选一个证明:
①BD∥GH;②直线HE,GF,AC相交于一点.
注:若两个问题均作答,则按第一个计分.
(2)求直线BD与平面EFG的距离.
解析　(1)证明:选①.因为E,F分别为BC,CD的中点,所以EF∥BD.
又BD 平面EFG,EF 平面EFG,所以BD∥平面EFG.
又BD 平面ABD,平面ABD∩平面EFG=GH,所以BD∥GH.
选②.在△ACD中,AG=2GD,F为CD的中点,所以GF与AC不平行.
设GF∩AC=K,则K∈AC,K∈GF,
又AC 平面ABC,FG 平面EFG,
所以K∈平面ABC,K∈平面EFG.
又平面ABC∩平面EFG=HE,
所以K∈HE,所以HE,GF,AC相交于一点.
(2)若第(1)问中选①.
由(1)知,BD∥平面EFG.
所以点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离.
若第(1)问中选②.因为E,F分别为BC,CD的中点,所以EF∥BD.又BD 平面EFG,EF 平面EFG,
所以BD∥平面EFG.
所以点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离.
连接EA,ED,
因为△ABC,△BCD均为正三角形,E为BC的中点,
所以EA⊥BC,ED⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE 平面ABC,所以AE⊥平面BCD,
又ED 平面BCD,所以EA⊥ED.
以{,,}为正交基底建立如图所示空间直角坐标系,
则E(0,0,0),B(2,0,0),F(-1,,0),G,
则=(2,0,0),=(-1,,0),.
设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),
则
不妨取n=(,1,-2).
设点B到平面EFG的距离为d,则d=,
所以直线BD与平面EFG的距离为.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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