第五章图形的轴对称单元测试（A卷）（含解析）

第五章图形的轴对称单元测试（A卷）北师大版2024—2025学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．《国语 楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，BC＝36，AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F，连接AE，AF，则△AEF的周长为（　　）
A．36 B．18
C．32 D．不能确定
3．等腰三角形的两边分别为5cm和12cm，则它的周长是（　　）
A．32cm B．22cm或29cm
C．22cm D．29cm
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝4，则BC长是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD
6．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝4，则CP的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是 　 　 °．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝4，AB＝17，则△ABD的面积为 　 　 ．
11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD 的周长为14cm，则AB的长度是 　 　 cm．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，点D在BC上，连接AD，若BA＝BD，DA＝DC，则∠B的度数为 　 　 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）在网格中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标；
（3）若网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．
14．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF．
（1）试说明AD垂直平分EF；
（2）若AB＝7，AC＝5，S△ABC＝24，∠BAC＝60°，求AD的长．
15．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G．
（1）若BD＝DE，求证：CD＝DF；
（2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数．
16．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．
17．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝.100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求证：AE平分∠FAD．
（2）求证：DE平分∠ADC．
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面积．
18．如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为18cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连接OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．【解答】解：∵AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∵BC＝36，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝BE+EF+FC
＝BC
＝36，
故选：A．
3．【解答】解：当等腰三角形的腰为5cm时，三边为5cm，5cm，12cm，5+5＝10＜12，三边关系不成立；
当等腰三角形的腰为12cm时，三边为5cm，12cm，12cm，三边关系成立，周长为5+12+12＝29（cm）．
故选：D．
4．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD＝8，
故选：A．
5．【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称，
∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，
∴AC∥BD，
故B、C、D选项正确，
AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确，
故选：A．
6．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠OPD＝∠BOP，
∴∠AOP＝∠OPD，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB＝30°，
∴PEPD＝2，
∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴CP＝PE＝2，
故选：B．
7．【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
8．【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴5×4AC×4＝24，
∴AC＝7．
故选：D．
二、填空题
9．【解答】解：此题要分情况考虑：
①40°是它的顶角；
②40°是它的底角，则顶角是180°﹣40°×2＝100°．
所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°．
故答案为：40°或100°．
10．【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝4，
又∵AB＝17，
∴△ABD的面积为，
故答案为：34．
11．【解答】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长为14cm，
∴AB+AD+BD＝14cm，
∴AB+AD+DC＝AB+AC＝14cm，
∵AC＝8cm，
∴AB＝14﹣8＝6（cm），
故答案为：6．
12．【解答】解：设∠B＝x，∠C＝y，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝y，
∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2y，
∵BA＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝2y，
∴∠BAD+∠DAC＝2y+y＝3y＝114°，
∴y＝38°＝∠C，
∴∠B＝180°﹣114°﹣38°＝28°，
故答案为：28°．
三、解答题
13．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）A1（3，4），B1（5，2），C1（2，0）；
（3）△A1B1C1的面积＝3×41×42×22×3＝5，
14．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴点A和点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵AB＝7，AC＝5，
∴，
又∵DE＝DF，
∴DE＝4，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC60°＝30°，
∴AD＝2DE＝2×4＝8．
15．【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠E＝∠CBD，
在△BCD和△EFD中，
，
∴△BCD≌△EFD（ASA），
∴CD＝DF；
（2）解：∵BG＝GE，
∴∠GBE＝∠E＝25°，
由（1）知∠E＝∠CBD＝25°，
∴∠ABC＝∠GBE+∠CBD＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
16．【解答】（1）解：设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝AD，
∴∠A＝x°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴BD＝BC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
∴∠BAC的度数为36°；
（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FBA＝∠FAB＝72°，
∴∠AFB＝∠FAC＝36°，
∴CA＝CF，
∴AB＝AC＝CF，
∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．
17．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∵∠AEF＝50°，
∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣100°﹣40°＝40°＝∠EAF，
∴AE平分∠FAD；
（2）证明：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝EN，
∵AE平分∠DAF，EF⊥AB，
∴FE＝EM，
∴EM＝EN，
∵EM⊥AD，EN⊥CD，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，
∴AD EMCD EN＝15，
∴（AD+CD） EM＝15，
∴（4+8）×EM＝15，
∴EM，
∴EF，
∴△ABE的面积AB EF7．
18．【解答】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8（cm）；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝18cm，
∴OA＝OB＝OC＝5（cm）；
（3）∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．
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