2026全国版高考数学一轮基础知识练--8.2　椭圆（含解析）

2026全国版高考数学一轮
8.2　椭圆
五年高考
考点1　椭圆的定义和标准方程
1.(2024新课标Ⅱ,5,5分,易)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　　)
A.=1(y>0)　　　　
B.=1(y>0)
C.=1(y>0)　　　　
D.=1(y>0)
2.(2021新高考Ⅰ,5,5分,易)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 (　　)
A.13　　　　B.12　　　　C.9　　　　D.6
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为 (　　)
A.=1　　　　
C.+y2=1
4.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.5
5.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= (　　)
A.
6.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
考点2　椭圆的几何性质
1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a= (　　)
A.
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= (　　)
A.
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 (　　)
A.
4.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 (　　)
A.
5.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是　　　,椭圆的离心率是　　　.
6.(2022新高考Ⅱ,16,5分,难)已知直线l与椭圆=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为　　　　.
7.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C:=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　.
8.(2022天津,19,15分,难)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,且满足.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|OM|=|ON|,且△OMN的面积为,求椭圆的标准方程.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届湖南常德开学考,2)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为 (　　)
A.=1　　　　
B.=1
C.=1　　　　
D.=1
2.(2025届安徽省重点高中联盟联考,4)已知椭圆C:=1(λ>0且λ≠4),则“C的离心率e=”是“λ=8”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025届江苏南京中华中学开学考,7)已知P是椭圆C:=1(a>b>0)上一点,F1,F2是C的两个焦点,=0,点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=2b.则C的离心率为 (　　)
A.
4.(2025届浙江L16联盟适应考,4)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点到直线l:x-y-4=0的距离之差为2,则E的焦距是 (　　)
A.　　　　B.2　　　　
C.2　　　　D.4
5.(多选)(2025届江苏南通如皋部分学校开学诊断,11)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,上、下焦点分别为F1(0,1),F2(0,-1),M为椭圆上一点(不与椭圆的顶点重合),下列说法正确的是 (　　)
A.a=2
B.b=2
C.若△F1F2M为直角三角形,则sin∠F1MF2=
D.若|MF1||MF2|=4,则△MF1F2的面积为2
6.(2025届甘肃高考模拟,12)已知椭圆C:x2+my2=1(m>1)的离心率为,则m=　　　　.
7.(2025届江苏镇江丹阳一模,14)已知椭圆=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为.若A,B分别是椭圆的上、下顶点,F1,F2分别为椭圆的上、下焦点,P为椭圆上任意一点,且,则△PF1F2的面积为　　　　.
能力拔高练
1.(2025届江苏南通如皋中学开学考,8)F1、F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2作直线交椭圆于A、B两点,已知AF1⊥BF1,∠ABF1=30°,则椭圆的离心率为 (　　)
A.
2.(2024广东广州培正中学一模,7)设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|,∠F1PF2=,则椭圆离心率的取值范围为 (　　)
A.
C.
3.(2025届河北十县联考期中,8)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于A、B两点,△AF1F2,△BF1F2,△F1AB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3,则△O1O2O3的周长是(　　)
A.
C.
4.(2024山东临沂二模,8)椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上第一象限内的一点,且PF1⊥PF2,PF1与y轴相交于点Q,离心率e=,若,则λ= (　　)
A.
5.(2024河北武邑中学期末,8)已知O为坐标原点,椭圆E:=1(a>b>0),平行四边形OACB的三个顶点A,B,C在椭圆E上,若直线AB和OC的斜率乘积为-,四边形OACB的面积为,则椭圆E的方程为 (　　)
A.=1
C.+y2=1
6.(多选)(2025届河北唐山一中开学考,11)已知椭圆C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P(,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,椭圆C的离心率为e,则以下说法正确的是(　　)
A.离心率e的取值范围为
B.当e=时,|QF1|+|QP|的最大值为4+
C.存在点Q,使得=0
D.的最小值为1
7.(多选)(2024安徽合肥一模,11)已知椭圆C:=1的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,M为C上异于A,B的一点,过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,交x轴于点T,则 (　　)
A.存在点M,使∠AMB=120°
B.
C.
D.△FMN周长的最大值为8
8.(多选)(2025届湖北荆门月考,11)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B,P是E上异于A,B的一个动点.若3|AF1|=|BF1|,则下列说法正确的有 (　　)
A.椭圆E的离心率为
B.若PF1⊥F1F2,则cos∠PF2F1=
C.直线PA的斜率与直线PB的斜率之积等于-
D.符合条件=0的点P有且仅有2个
9.(2025届江苏南京第一次调研,14)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B,直线BF2与C相交于另一点A.当cos∠F1AB最小时,C的离心率为　　　　　.
10.(2024山东菏泽三中一模,14)已知F1、F2分别为椭圆C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2的一条直线与C交于A,B两点,|BF2|=1,∠F1AF2=60°,则椭圆的长轴长的最小值为　　　　.
11.(2025届河北邯郸第一次调研,17)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,两曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A,若,求l的方程.
创新风向练
(新定义理解)(2025届广东顺德联考)椭圆=1(a>b>0)的离心率e满足e=,则称该椭圆为“黄金椭圆”.若=1(0b>0)两个焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0)(c>0),P为椭圆C上的异于顶点的任意一点,点M是△PF1F2的内心,连接PM并延长交F1F2于N,则=　　　　.
8.2　椭圆
五年高考
考点1　椭圆的定义和标准方程
1.(2024新课标Ⅱ,5,5分,易)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　　)
A.=1(y>0)　　　　
B.=1(y>0)
C.=1(y>0)　　　　
D.=1(y>0)
答案　A　
2.(2021新高考Ⅰ,5,5分,易)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 (　　)
A.13　　　　B.12　　　　C.9　　　　D.6
答案　C　
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为 (　　)
A.=1　　　　
C.+y2=1
答案　B　
4.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.5
答案　B　
5.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= (　　)
A.
答案　B　
6.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
解析　(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=.
不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,-;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=,|CD|=4c.
由|CD|=,即3×,
解得=-2(舍去)或.
(2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:=1.
设M(x0,y0),则=1,=4cx0,故=1.①
由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.
所以C1的标准方程为=1,C2的标准方程为y2=12x.
考点2　椭圆的几何性质
1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a= (　　)
A.
答案　A　
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= (　　)
A.
答案　C　
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 (　　)
A.
答案　A　
4.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 (　　)
A.
答案　C　
5.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是　　　,椭圆的离心率是　　　.
答案　;
6.(2022新高考Ⅱ,16,5分,难)已知直线l与椭圆=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为　　　　.
答案　x+=0
7.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C:=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　.
答案　13
8.(2022天津,19,15分,难)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,且满足.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|OM|=|ON|,且△OMN的面积为,求椭圆的标准方程.
解析　(1)∵|BF|==a,|AB|=,
∴,解得a=b,
∴c=b,∴离心率e=.
(2)由(1)知椭圆方程为=1.
由题可知直线l的斜率存在且不为0,设l:y=kx+m(k≠0),由椭圆的对称性,不妨设k<0,m>0,如图.则有|OM|=|ON|=m.
联立得
则有(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3b2=0,
Δ=0 3b2k2+b2-m2=0,
由根与系数的关系得xM=-,代入直线l的方程,有yM==m,解得k=-,
设直线OM的倾斜角为θ,
∴kOM=tan θ=,∴θ=30°,故∠NOM=60°,
∴S△OMN=,解得m=2,
∴3b2×+b2-4=0,可得b2=2,
∴椭圆的标准方程为=1.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届湖南常德开学考,2)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为 (　　)
A.=1　　　　
B.=1
C.=1　　　　
D.=1
答案　C　
2.(2025届安徽省重点高中联盟联考,4)已知椭圆C:=1(λ>0且λ≠4),则“C的离心率e=”是“λ=8”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B　
3.(2025届江苏南京中华中学开学考,7)已知P是椭圆C:=1(a>b>0)上一点,F1,F2是C的两个焦点,=0,点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=2b.则C的离心率为 (　　)
A.
答案　A　
4.(2025届浙江L16联盟适应考,4)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点到直线l:x-y-4=0的距离之差为2,则E的焦距是 (　　)
A.　　　　B.2　　　　
C.2　　　　D.4
答案　C　
5.(多选)(2025届江苏南通如皋部分学校开学诊断,11)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,上、下焦点分别为F1(0,1),F2(0,-1),M为椭圆上一点(不与椭圆的顶点重合),下列说法正确的是 (　　)
A.a=2
B.b=2
C.若△F1F2M为直角三角形,则sin∠F1MF2=
D.若|MF1||MF2|=4,则△MF1F2的面积为2
答案　AC　
6.(2025届甘肃高考模拟,12)已知椭圆C:x2+my2=1(m>1)的离心率为,则m=　　　　.
答案　4
7.(2025届江苏镇江丹阳一模,14)已知椭圆=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为.若A,B分别是椭圆的上、下顶点,F1,F2分别为椭圆的上、下焦点,P为椭圆上任意一点,且,则△PF1F2的面积为　　　　.
答案　
能力拔高练
1.(2025届江苏南通如皋中学开学考,8)F1、F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2作直线交椭圆于A、B两点,已知AF1⊥BF1,∠ABF1=30°,则椭圆的离心率为 (　　)
A.
答案　A　
2.(2024广东广州培正中学一模,7)设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|,∠F1PF2=,则椭圆离心率的取值范围为 (　　)
A.
C.
答案　C　
3.(2025届河北十县联考期中,8)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于A、B两点,△AF1F2,△BF1F2,△F1AB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3,则△O1O2O3的周长是(　　)
A.
C.
答案　A　
4.(2024山东临沂二模,8)椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上第一象限内的一点,且PF1⊥PF2,PF1与y轴相交于点Q,离心率e=,若,则λ= (　　)
A.
答案　B　
5.(2024河北武邑中学期末,8)已知O为坐标原点,椭圆E:=1(a>b>0),平行四边形OACB的三个顶点A,B,C在椭圆E上,若直线AB和OC的斜率乘积为-,四边形OACB的面积为,则椭圆E的方程为 (　　)
A.=1
C.+y2=1
答案　B　
6.(多选)(2025届河北唐山一中开学考,11)已知椭圆C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P(,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,椭圆C的离心率为e,则以下说法正确的是(　　)
A.离心率e的取值范围为
B.当e=时,|QF1|+|QP|的最大值为4+
C.存在点Q,使得=0
D.的最小值为1
答案　ABD　
7.(多选)(2024安徽合肥一模,11)已知椭圆C:=1的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,M为C上异于A,B的一点,过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,交x轴于点T,则 (　　)
A.存在点M,使∠AMB=120°
B.
C.
D.△FMN周长的最大值为8
答案　BCD　
8.(多选)(2025届湖北荆门月考,11)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B,P是E上异于A,B的一个动点.若3|AF1|=|BF1|,则下列说法正确的有 (　　)
A.椭圆E的离心率为
B.若PF1⊥F1F2,则cos∠PF2F1=
C.直线PA的斜率与直线PB的斜率之积等于-
D.符合条件=0的点P有且仅有2个
答案　AC　
9.(2025届江苏南京第一次调研,14)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B,直线BF2与C相交于另一点A.当cos∠F1AB最小时,C的离心率为　　　　　.
答案　
10.(2024山东菏泽三中一模,14)已知F1、F2分别为椭圆C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2的一条直线与C交于A,B两点,|BF2|=1,∠F1AF2=60°,则椭圆的长轴长的最小值为　　　　.
答案　3
11.(2025届河北邯郸第一次调研,17)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,两曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A,若,求l的方程.
解析　(1)由抛物线方程y2=4x知F2(1,0),所以F1(-1,0). (1分)
设P(x0,y0),则,
又点P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,所以=4x0.
解得x0=,即P, (3分)
根据椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|==4.(5分)
解得a=2,所以b=,所以椭圆C的方程为=1.(7分)
(2)因为,所以AF1∥PF2,又, (9分)
所以直线AF1:y=-2(x+1),联立
消去y得,33x2+64x+28=0,解得x=-, (12分)
所以A.
可求得直线l的方程为=0. (15分)
创新风向练
(新定义理解)(2025届广东顺德联考)椭圆=1(a>b>0)的离心率e满足e=,则称该椭圆为“黄金椭圆”.若=1(0b>0)两个焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0)(c>0),P为椭圆C上的异于顶点的任意一点,点M是△PF1F2的内心,连接PM并延长交F1F2于N,则=　　　　.
答案　5-5;
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()