2026全国版高考数学一轮基础知识练--8.5　圆锥曲线的综合问题（含解析）

2026全国版高考数学一轮
8.5　圆锥曲线的综合问题
五年高考
考点1　直线与圆锥曲线的位置关系
1.(2024北京,19,15分,中)已知椭圆E:=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形,过点(0,t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率;
(2)若直线BD的斜率为0,求t的值.
2.(2021新高考Ⅱ,20,12分,中)已知椭圆C的方程为=1(a>b>0),若右焦点为F(,0),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M,N是C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切,证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
3.(2022新高考Ⅱ,21,12分,难)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
考点2　弦长与面积问题
1.(2024新课标Ⅰ,16,15分,中)已知A(0,3)和P为椭圆C:=1(a>b>0)上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
2.(2020课标Ⅲ理,20,12分,中)已知椭圆C:=1(0(1)求C的方程;
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
3.(2022新高考Ⅰ,21,12分,难)已知点A(2,1)在双曲线C:=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;
(2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面积.
考点3　定值与定点问题
1.(2023新课标Ⅱ,21,12分,中)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
2.(2023全国乙理,20,12分,难)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
三年模拟
基础强化练
1.(2024北京清华附中开学考,8)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线准线上一动点,作线段PF的垂直平分线l,则直线l与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为 (　　)
A.{0}　　　　B.{1}　　　　C.{0,1}　　　　D.{1,2}
2.(2025届湖南郴州一模,14)已知抛物线y2=4x,从抛物线内一点A(2,)发出平行于x轴的光线经过抛物线上点B反射后交抛物线于点C,则△ABC的面积为　　　　.
能力拔高练1
1.(2025届重庆市第十一中学校第一次质检,18)椭圆C:=1(a>b>0)过点且b=c(c>0).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设C的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作直线l,与椭圆C交于A,B两点,,求△ABF1的面积.
2.(2024河北“五个一”名校联盟联考,17)已知M(-,0),N(,0),平面内动点P满足直线PM,PN的斜率之积为-.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)过点F(1,0)的直线交P的轨迹E于A,B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB(O为坐标原点),若C恰为轨迹E上一点,求四边形OACB的面积.
能力拔高练2
1.(2024安徽合肥二模,16)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,左顶点为A,短轴长为2,且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F的直线l(不与x轴重合)与C交于P,Q两点,直线AP,AQ与直线x=4的交点分别为M,N,记直线MF,NF的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值.
2.(2025届重庆巴蜀中学月考,18)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为其左、右焦点,P为双曲线上任一点,Q(3,m)是双曲线在第一象限内的点,的最小值是-2.
(1)过点Q(3,m)分别作双曲线C的两条渐近线的平行线,与渐近线分别交于A,B两点,O为坐标原点,求四边形OAQB的面积;
(2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M,N,且满足QM⊥QN.证明:直线MN过定点,并求出该定点坐标.
3.(2024河北保定二模,18)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作互相垂直的直线l1,l2,分别与C交于A,B和D,E两点(A,D在第一象限),当直线l1的倾斜角等于45°时,四边形ADBE的面积为32.
(1)求C的方程;
(2)设直线AD与BE交于点Q,证明:点Q在定直线上.
4.(2024安徽合肥一中期末,18)已知双曲线C1:=1(a>0,b>0)的一条渐近线与双曲线C2:-y2=1的一条渐近线垂直,且C1的一个焦点到C2的一条渐近线的距离为2.
(1)求C1的方程;
(2)若C1上任意一点A关于直线y=x的对称点为A',过A'分别作C2的两条渐近线的平行线,与C2分别交于P,Q.求证:|A'P|·|A'Q|为定值.
8.5　圆锥曲线的综合问题
五年高考
考点1　直线与圆锥曲线的位置关系
1.(2024北京,19,15分,中)已知椭圆E:=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形,过点(0,t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率;
(2)若直线BD的斜率为0,求t的值.
解析　(1)由已知条件可知b=c=,∴a=2,
∴椭圆E的方程为=1,离心率e=.
(2)设直线AB的方程为y=kx+t(t>),A(x1,y1),B(x2,y2).
联立消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-4=0,
Δ=(4kt)2-4(2k2+1)(2t2-4)>0,即4k2-t2+2>0,
x1+x2=,x1x2=.
∵直线BD的斜率为0,∴点B与点D关于y轴对称,
得D(-x2,y2),∵A、C、D三点共线,∴kAC=kCD,
即,∴(kx1+t-1)x2=-x1(kx2+t-1),
∴2kx1x2+(t-1)(x1+x2)=0,
∴=0,
∴t2-t=t2-2,解得t=2.
2.(2021新高考Ⅱ,20,12分,中)已知椭圆C的方程为=1(a>b>0),若右焦点为F(,0),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M,N是C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切,证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
解析　(1)由题意得
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:由(1)得,曲线x2+y2=1(x>0),
当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不符合题意;
当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2).
①先证必要性.
因为M,N,F三点共线,F(,0),
所以设直线MN:x=my+,即x-my-=0.
由题意知O(0,0)到直线MN的距离d==1,解得m2=1,故m=±1,所以直线MN:x±y-=0,
根据对称性,不妨令直线MN:y=x-.
联立x+3=0.
故x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=,即必要性成立.
②再证充分性.
易知直线MN的斜率存在,设其方程为y=kx+t.
由题意得=b=1,即t2=1+k2.
由消y整理得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,
则x1+x2=-,x1x2=,
所以|MN|=
=
=.
因为|MN|=,所以=1,解得k2=1,则t2=2.
因为x1+x2=->0,即kt<0,
所以k=1,t=-或k=-1,t=,
所以直线MN的方程为y=x-.
无论哪一种情况,直线MN恒过焦点F,
所以M,N,F三点共线,即充分性成立.
故M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
3.(2022新高考Ⅱ,21,12分,难)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
解析　(1)由题意知
∴C的方程为x2-=1.
(2)易知直线PQ的斜率存在且不为零,
设其方程为y=kx+b,
由得(3-k2)x2-2kbx-b2-3=0,
由Δ>0,得b2+3-k2>0,
∴x1+x2=,x1x2=,∵x1>x2>0,∴3-k2<0,
∴x1-x2=,
设点M的坐标为(x0,y0),则直线PM、QM的方程分别为y-y0=-(x-x0),y-y0=(x-x0),
故
(*)-(**)得y1-y2=-(x1+x2-2x0),
即k(x1-x2)=-(x1+x2-2x0),
解得x0=,
又(*)+(**)得y1+y2-2y0=(x2-x1),而y1+y2=k(x1+x2)+2b,∴k(x1+x2)+2b-2y0=(x2-x1),
解得y0=x0.
故点M的轨迹方程为y=x,其中k为直线PQ的斜率.
若选择①②作为条件,③作为结论,
设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点A在渐近线y=x上,
则由
∴A,同理B,
又由,
∴xM=,yM=,即M为AB的中点,
∴|MA|=|MB|.
若选择①③作为条件,②作为结论,
当直线AB的斜率不存在时,点M即为F(2,0),
此时M不在直线y=x上,不符合题意,舍去;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=m(x-2),m≠0,±x上,且A(xA,yA),B(xB,yB).
由
∴A,
同理B,
此时xM=,yM=,
∵点M在直线y=x上,∴,
解得k=m,故PQ∥AB.
若选择②③作为条件,①作为结论,
设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点A在渐近线y=x上,
则,yA=,
同理,得xB=,yB=-,
设线段AB的中点为C(xC,yC),
则xC=,yC=,
由于|MA|=|MB|,故点M在线段AB的中垂线上,
即点M在直线y-yC=-(x-xC)上,
将该直线方程与y=x联立,得xM==xC,yM==yC,
即点M恰为线段AB的中点,
故点M在直线AB上.
考点2　弦长与面积问题
1.(2024新课标Ⅰ,16,15分,中)已知A(0,3)和P为椭圆C:=1(a>b>0)上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
解析　(1)将A(0,3),P
所以椭圆的离心率e=.
(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=3,
此时S△ABP=,不符合题意.
当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-3)+,
联立消去y整理得(3+4k2)x2+(12k-24k2)x+36k2-36k-27=0,
设P(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
∴|BP|=,
又点A到直线l的距离d=,
∴S△ABP==9,
解得k=,
∴直线l的方程为y=x-3.
2.(2020课标Ⅲ理,20,12分,中)已知椭圆C:=1(0(1)求C的方程;
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
解析　(1)由题设可得,得m2=,
所以C的方程为=1.
(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.
由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5),
所以yP=-(xP-5),得xP-5=-yPyQ,
所以|BP|=,|BQ|=.
因为|BP|=|BQ|,
所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.
由直线BP的方程得yQ=2或8.
所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).
|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,故△AP1Q1的面积为.
|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=,点A到直线P2Q2的距离为,故△AP2Q2的面积为.
综上,△APQ的面积为.
3.(2022新高考Ⅰ,21,12分,难)已知点A(2,1)在双曲线C:=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;
(2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面积.
解析　(1)∵点A(2,1)在双曲线上,∴=1,
解得a2=2.∴C的方程为-y2=1.①
设直线l:y=kx+m.②
联立①②,消去y得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=-,
kPA=,kQA=,
由kPA+kQA=0,得=0,
化简得2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0,
即2k·+(m-2k-1)·-4(m-1)=0,
化简得(2k+m-1)(k+1)=0,
∴2k+m-1=0或k+1=0.
若2k+m-1=0,则l:y=k(x-2)+1,
这时直线l过点A,不合题意,∴k+1=0,∴k=-1.
(2)不妨设直线PA,AQ的倾斜角为α,β,∵kAP+kAQ=0,∴α+β=π.
由(1)知x1x2=2m2+2>0,当P,Q均在双曲线左支时,∠PAQ=2α,∴tan 2α=2,
即=0,解得tan α=(负值舍去).
此时PA与双曲线的渐近线平行,与双曲线左支无交点,舍去;
当P,Q均在双曲线右支时,∵tan∠PAQ=2,
∴tan(β-α)=2,即tan 2α=-2,
即=0,解得tan α=(负值舍去).
于是,直线PA:y=(x-2)+1,
QA:y=-(x-2)+1,
联立消去y可得3x2+(4-16)x+20-8=0,
∴x1+xA=,x1xA=.
∴|AP|=,
同理|AQ|=,又∵sin∠PAQ=,
∴S△PAQ=.
考点3　定值与定点问题
1.(2023新课标Ⅱ,21,12分,中)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
解析　(1)设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),
由题意可知c=2,
又离心率e=(写出公式给1分),
∴a=2,
∴b2=c2-a2=20-4=16,∴双曲线C的方程为=1.
(2)证明:由题意知直线MN的斜率不为0(失分点:考虑斜率不存在,否则会失分),所以可设直线MN的方程为x=my-4,M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)知,A1(-2,0),A2(2,0).
联立消去x,得(4m2-1)y2-32my+48=0,
∴y1+y2=,y1y2=,∴my1y2=(y1+y2).
易知直线MA1的方程为y=(x+2)=(x+2),①
直线NA2的方程为y=(x-2)=(x-2),②
联立①②可得,(x+2)=(x-2),
∴,∴x=-1,
∴点P在定直线x=-1上(最后一定要作答,否则会失分).
2.(2023全国乙理,20,12分,难)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
解析　(1)由已知条件得b=2,又e=,∴a2=9,∴C的方程为=1.
(2)证明:由题意知,过P、Q两点的直线的斜率存在且不为零,记直线为l,设l:y=k(x+2)+3=kx+2k+3,令t=2k+3,则l:y=kx+t①,
联立消去y得(4k2+9)x2+8ktx+4t2-36=0,
由Δ=(8kt)2-4(4k2+9)(4t2-36)=144×(4k2+9-t2)>0得4k2+9>t2.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
易知直线AP的方程为y=(x+2).
令x=0,得yM=,同理可得yN=,
则
=
=
==3.
∴线段MN的中点为定点(0,3).
三年模拟
基础强化练
1.(2024北京清华附中开学考,8)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线准线上一动点,作线段PF的垂直平分线l,则直线l与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为 (　　)
A.{0}　　　　B.{1}　　　　C.{0,1}　　　　D.{1,2}
答案　B　
2.(2025届湖南郴州一模,14)已知抛物线y2=4x,从抛物线内一点A(2,)发出平行于x轴的光线经过抛物线上点B反射后交抛物线于点C,则△ABC的面积为　　　　.
答案　
能力拔高练1
1.(2025届重庆市第十一中学校第一次质检,18)椭圆C:=1(a>b>0)过点且b=c(c>0).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设C的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作直线l,与椭圆C交于A,B两点,,求△ABF1的面积.
解析　(1)将=1,
即=1,
又因为b=c,所以a2=2b2,代入上式可得a2=2,b2=1,
故椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)可得F1(-1,0),F2(1,0),|F1F2|=2,
由题意设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),则=(-x1-1,-y1),=(-x2-1,-y2),
联立得(m2+2)y2+2my-1=0,
所以y1+y2=-,y1y2=-,
所以=(-x1-1,-y1)·(-x2-1,-y2)=x1+x2+x1x2+1+y1y2=m(y1+y2)+2+(my1+1)(my2+1)+1+y1y2=2m(y1+y2)+(m2+1)y1y2+4=,
解得m2=4,即m=±2,
所以y1+y2=±,y1y2=-,
则△ABF1的面积S=.
2.(2024河北“五个一”名校联盟联考,17)已知M(-,0),N(,0),平面内动点P满足直线PM,PN的斜率之积为-.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)过点F(1,0)的直线交P的轨迹E于A,B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB(O为坐标原点),若C恰为轨迹E上一点,求四边形OACB的面积.
解析　(1)设P(x,y),则kPMkPN=,
化简可得=1(-).
(2)由题意知直线AB与x轴不重合,设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
联立消去x得(2m2+3)y2+4my-4=0,
所以y1+y2=,y1y2=,
则|AB|=
=.
易得O到直线AB的距离d=,
因为平行四边形OACB的对角线互相平分,
所以y1+y2==y3+0,x1+x2=m(y1+y2)+2==x3+0,所以C,
由C在椭圆=1上,可得4m4+4m2-3=0,解得m2=(舍负).求出C并解出m2的值是本题的关键
所以平行四边形OACB的面积S=2S△AOB=2×.
所以四边形OACB的面积是.
能力拔高练2
1.(2024安徽合肥二模,16)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,左顶点为A,短轴长为2,且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F的直线l(不与x轴重合)与C交于P,Q两点,直线AP,AQ与直线x=4的交点分别为M,N,记直线MF,NF的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值.
解析　(1)因为2b=2,所以b=,则椭圆C的方程为=1,将=1,
解得a2=4,故椭圆C的方程为=1.
(2)证明:由(1)知F(1,0),由题意可设l:x=ty+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由可得(3t2+4)y2+6ty-9=0,
易知Δ>0恒成立,y1+y2=-,y1y2=-.
因为A(-2,0),所以直线PA的方程为y=(x+2),
令x=4,则y=,故M,同理N,
从而k1=,k2=,
故k1k2=
==-1,为定值.
2.(2025届重庆巴蜀中学月考,18)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为其左、右焦点,P为双曲线上任一点,Q(3,m)是双曲线在第一象限内的点,的最小值是-2.
(1)过点Q(3,m)分别作双曲线C的两条渐近线的平行线,与渐近线分别交于A,B两点,O为坐标原点,求四边形OAQB的面积;
(2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M,N,且满足QM⊥QN.证明:直线MN过定点,并求出该定点坐标.
解析　(1)设P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=-b2, (2分)
当=0时,的最小值为-b2,所以b2=2,结合离心率为,可得a2=1,c2=3,
故双曲线方程为x2-=1. (3分)
所以Q(3,4),双曲线的渐近线方程为y=±x.
不妨令A为直线y=(x-3)的交点,可得A,
同理可知B,
所以S四边形OAQB=. (7分)
(2)若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2).
联立消去y得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0,则Δ=8m2-8k2+16>0,2-k2≠0,
x1+x2=,x1x2=, (9分)
因为QM⊥QN,
所以=(x1-3,y1-4)·(x2-3,y2-4)
=(x1-3)(x2-3)+(kx1+m-4)(kx2+m-4)
=(1+k2)x1x2+[k(m-4)-3](x1+x2)+9+(m-4)2=0, (11分)
整理得,m2-(6k+16)m-27k2+48=0,
m=9k+12或m=-3k+4, (13分)
当m=-3k+4时,直线方程为y=kx-3k+4,过Q(3,4),与题意不符;
当m=9k+12时,直线方程为y=kx+9k+12=k(x+9)+12,过定点(-9,12). (15分)
若直线l的斜率不存在,令其方程为x=t,根据对称性不妨令M(t,),N(t,-),
=(t-3,-4)·(t-3,--4)
=(t-3)2+16-2t2+2=0 t2+6t-27=0,解得t=3或t=-9.
t=3时,直线过点Q,与题意不符;
t=-9时,直线过定点(-9,12).
综上,直线过定点(-9,12). (17分)
3.(2024河北保定二模,18)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作互相垂直的直线l1,l2,分别与C交于A,B和D,E两点(A,D在第一象限),当直线l1的倾斜角等于45°时,四边形ADBE的面积为32.
(1)求C的方程;
(2)设直线AD与BE交于点Q,证明:点Q在定直线上.
解析　(1)当直线l1的倾斜角等于45°时,直线l2的倾斜角等于135°,直线AB的方程为y=x-,
由抛物线的对称性知|AB|=|DE|,
所以S四边形ADBE=|AB||DE|=32,得|AB|=8.
联立=0.Δ=8p2>0,
设A,B两点的横坐标分别为xA,xB,则xA+xB=3p.
因为|AB|=xA+xB+p=4p=8,所以p=2,所以C的方程为y2=4x.
(2)证明:由(1)知F(1,0),依题意,可设直线l1的方程为y=k(x-1)(k≠0),则直线l2的方程为y=-(x-1).
联立y-4=0,显然Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-4.
设D(x3,y3),E(x4,y4),同理可得y3+y4=-4k,y3y4=-4,
所以kAD=,同理可得kBE=.
直线AD的方程为y-y1=(x-x1),
即y=.
同理,直线BE的方程为
y=.
两直线方程联立得,解得x=-1,
即直线AD与BE的交点Q在定直线x=-1上.
4.(2024安徽合肥一中期末,18)已知双曲线C1:=1(a>0,b>0)的一条渐近线与双曲线C2:-y2=1的一条渐近线垂直,且C1的一个焦点到C2的一条渐近线的距离为2.
(1)求C1的方程;
(2)若C1上任意一点A关于直线y=x的对称点为A',过A'分别作C2的两条渐近线的平行线,与C2分别交于P,Q.求证:|A'P|·|A'Q|为定值.
解析　(1)由题意可取双曲线C2:x,
因为双曲线C1的一条渐近线与双曲线C2的一条渐近线垂直,
所以双曲线C1的一条渐近线的方程为y=-2x,
所以=2,即b=2a,
所以c=a,所以C1的一个焦点为F(a,0),
由点F到双曲线C2的渐近线y==a=2,
所以b=4,故C1的方程为=1.
(2)证明:设A(m,n),则=1,即4m2-n2=16,m2≥4,
由点A关于直线y=x的对称点为A',得A'(n,m),
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由题意知直线A'P与C2的渐近线平行,根据对称性不妨令A'P的斜率为,
则直线A'P的方程为y-m=(x-n),
联立m,(提示:(2m+n)(2m-n)=16)
直线A'Q的方程为y-m=-(x-n),
联立解得
x2=m,
所以|A'P|·|A'Q|=,
故|A'P|·|A'Q|为定值.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()