2026全国版高考数学一轮基础知识练--10.3　二项分布、超几何分布及正态分布（含解析）

2026全国版高考数学一轮
10.3　二项分布、超几何分布及正态分布
高考新风向·回顾教材思维引导 回归本质
(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分,中)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.P(X>2)>0.2　　　　B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5　　　　D.P(Y>2)<0.8 本题是对正态分布的考查,此类问题多利用正态分布曲线的对称性,本题也不例外.题目给出的实际上是两个随机变量,它们都满足正态分布,分析出它们对应的μ和σ,结合题目给出的概率数据,利用对称性就可以分析出四个选项中相应概率的范围.
五年高考
考点1　二项分布
1.(2019课标Ⅰ理,15,5分,中)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　.
2.(2018课标Ⅰ理,20,12分,易)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验
3.(2020北京,18,14分,中)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;
(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)
考点2　超几何分布
1.(2022浙江,15,6分,中)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=　　　　,E(ξ)=　　　　.
2.(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8
26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6
35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5
18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8
23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
对照组
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
.
考点3　正态分布
1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,易)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是 (　　)
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)=　　　　.
3.(2017课标Ⅰ理,19,12分,中)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望.
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得xi=9.97,=≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(,)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ0.997 416≈0.959 2,≈0.09.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届江苏前黄中学检测,4)已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,随机变量ξ~N(μ,σ2),其正态密度曲线如图所示,若=E(ξ)D(ξ),则n的值为 (　　)
A.5　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.14
2.(2024湖南师大附中月考六,4)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)A.0.7　　　　B.0.6　　　　C.0.4　　　　D.0.3
3.(2024广东江门二模,7)一箱苹果共有12个苹果,其中有n(2A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
4.(2024河南开封第三次质量检测,6)在某项测验中,假设测验数据服从正态分布N(78,16).如果按照16%,34%,34%,16%的比例将测验数据从大到小分为A,B,C,D四个等级,则等级为A的测验数据的最小值可能是 (　　)
(附:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.682 7,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5)
A.94　　　　B.86　　　　C.82　　　　D.78
5.(2025届重庆实验外国语学校第三次考试,16)某校机器人社团为了解市民对历年“数博会”科技成果的关注情况,在市内随机抽取了1 000名市民进行问卷调查,问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3.
(1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数;
(2)若本次问卷调查得分超过80分,则认为该市民对“数博会”的关注度较高,现从市内随机抽取3名市民,记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
能力拔高练
1.(2025届湖北新高考协作体开学考,8)小明有一枚质地不均匀的骰子,每次掷出后出现1点的概率为p(0A.E(X)>6
B.E(X)<6
C.E(X)=6
D.E(X)与6的大小无法确定
2.(2024辽宁省三所重点中学第三次模拟,19)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立.
(1)求X1的分布列.
(2)记随机变量Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+D(Xj).
(i)证明:E()=E(X1),D()=D(X1);
(ii)该小组完成所有试验后,得到Xi的实际取值分别为xi(i=1,2,…,20).数据xi(i=1,2,…,20)的平均值=30,方差s2=1.采用和s2分别代替E()和D(),给出M,N的估计值.
已知随机变量X服从超几何分布记为X~H(P,n,Q)(其中P为总数,Q为某类元素的个数,n为抽取的个数),则D(X)=n
创新风向练
1.(创新情境)(2025届湖北部分高中期中,7)英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.一个高尔顿钉板的设计图如图,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗钉子的正中间,小球每次下落,将随机向两边等概率地下落.数学课堂上,老师向学生们介绍了高尔顿钉板.放学后,爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”,它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时,向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时,最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下,经过5层钉板最终落到4号位置的概率是 (　　)
A.　　　　
C.
2.(创新知识交汇)(2025届河北部分地区摸底考,14)在一次抽奖活动中,抽奖箱里有编号为1到n(n∈N*,n≥5)的n个相同小球.每次抽奖从箱中随机抽取一个球,记录编号后放回.连续抽奖5次,设抽到编号为k(1≤k≤n)的小球的次数为X,已知X服从二项分布B.若(a+bx)n展开式中的x3系数是X=3的概率的10倍,则an-3b3的值为　　　　.(结果用含n的式子表示)
10.3　二项分布、超几何分布及正态分布
高考新风向·回顾教材思维引导 回归本质
(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分,中)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.P(X>2)>0.2　　　　B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5　　　　D.P(Y>2)<0.8 本题是对正态分布的考查,此类问题多利用正态分布曲线的对称性,本题也不例外.题目给出的实际上是两个随机变量,它们都满足正态分布,分析出它们对应的μ和σ,结合题目给出的概率数据,利用对称性就可以分析出四个选项中相应概率的范围. 答案　BC　
五年高考
考点1　二项分布
1.(2019课标Ⅰ理,15,5分,中)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　.
答案　0.18
2.(2018课标Ⅰ理,20,12分,易)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验
解析　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.
因此f '(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17·(1-10p).令f '(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时, f '(p)>0;
当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
(2)由(1)知,p=0.1,
(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,
依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX>400,故应该对这箱余下的所有产品作检验.
3.(2020北京,18,14分,中)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;
(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)
解析　(1)设“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案一”为事件B.
依题意知,抽取的样本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人,
故P(A)=;抽取的样本中共有女生400人,其中支持方案一的有300人,
故P(B)=.
(2)由(1)可知,“该校男生支持方案一”的概率估计值为;“该校女生支持方案一”的概率估计值为.
设“抽取的该校2个男生和1个女生中,支持方案一的恰有2人”为事件C,该事件包括“2个男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2个男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”,故所求概率为
P(C)=.
(3)p1由样本的频率估计总体概率,该校学生支持方案二的概率估计值为p0=.
该校一年级男生中支持方案二的约有×500≈292人,该校一年级女生中支持方案二的约有×300≈113人,假设一年级学生中支持方案二的概率为p2,则p2=(292+113)÷(500+300)=,,
则p2>p0,故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p1考点2　超几何分布
1.(2022浙江,15,6分,中)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=　　　　,E(ξ)=　　　　.
答案　;
2.(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8
26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6
35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5
18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8
23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
对照组
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
.
解析　(1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴E(X)=0×=1.
(2)(i)依题意可得m==23.4.
则对照组样本中小于m的数据的个数为6,
试验组样本中小于m的数据的个数为14,
则列联表为
对照组 6 14
试验组 14 6
(ii)由(i)中列联表可得
K2==6.4>3.841,
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
考点3　正态分布
1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,易)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是 (　　)
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
答案　D　
2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)=　　　　.
答案　0.14
3.(2017课标Ⅰ理,19,12分,中)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望.
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得xi=9.97,=≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(,)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ0.997 416≈0.959 2,≈0.09.
解析　(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6).
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.
X的数学期望为EX=16×0.002 6=0.041 6.
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii)由=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(,)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除(,)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.
=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
剔除(,)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
因此σ的估计值为≈0.09.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届江苏前黄中学检测,4)已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,随机变量ξ~N(μ,σ2),其正态密度曲线如图所示,若=E(ξ)D(ξ),则n的值为 (　　)
A.5　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.14
答案　A　
2.(2024湖南师大附中月考六,4)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)A.0.7　　　　B.0.6　　　　C.0.4　　　　D.0.3
答案　B　
3.(2024广东江门二模,7)一箱苹果共有12个苹果,其中有n(2A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
答案　B　
4.(2024河南开封第三次质量检测,6)在某项测验中,假设测验数据服从正态分布N(78,16).如果按照16%,34%,34%,16%的比例将测验数据从大到小分为A,B,C,D四个等级,则等级为A的测验数据的最小值可能是 (　　)
(附:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.682 7,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5)
A.94　　　　B.86　　　　C.82　　　　D.78
答案　C　
5.(2025届重庆实验外国语学校第三次考试,16)某校机器人社团为了解市民对历年“数博会”科技成果的关注情况,在市内随机抽取了1 000名市民进行问卷调查,问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3.
(1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数;
(2)若本次问卷调查得分超过80分,则认为该市民对“数博会”的关注度较高,现从市内随机抽取3名市民,记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
解析　(1)由问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3,
得P(ξ>80)=P(ξ≥77)-P(77≤ξ≤80)=0.5-0.3=0.2,
1 000×0.2=200,
所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200.
(2)由(1)知,事件“对‘数博会’的关注度较高”的概率为P=,
X的可能取值为0,1,2,3,易知X~B,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望为E(X)=3×.
能力拔高练
1.(2025届湖北新高考协作体开学考,8)小明有一枚质地不均匀的骰子,每次掷出后出现1点的概率为p(0A.E(X)>6
B.E(X)<6
C.E(X)=6
D.E(X)与6的大小无法确定
答案　B　
2.(2024辽宁省三所重点中学第三次模拟,19)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立.
(1)求X1的分布列.
(2)记随机变量Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+D(Xj).
(i)证明:E()=E(X1),D()=D(X1);
(ii)该小组完成所有试验后,得到Xi的实际取值分别为xi(i=1,2,…,20).数据xi(i=1,2,…,20)的平均值=30,方差s2=1.采用和s2分别代替E()和D(),给出M,N的估计值.
已知随机变量X服从超几何分布记为X~H(P,n,Q)(其中P为总数,Q为某类元素的个数,n为抽取的个数),则D(X)=n
解析　(1)依题意,X1服从超几何分布,故X1的分布列为P(X1=k)=,k∈N,0≤k≤100.
X1 0 1 … 99 100
P …
(2)(i)证明:由题可知Xi(i=1,2,…,20)均服从完全相同的超几何分布,所以E(X1)=E(X2)=…=E(X20),E()=EE(Xi)=×20E(X1)=E(X1),
D()=D
=D(Xi)=×20·D(X1)=D(X1).
故E()=E(X1),D()=D(X1).
(ii)由(i)可知的均值E()=E(X1)=.
由公式得X1的方差D(X1)=,
所以D()=.
依题意有
解得N=1 456,M=624,
所以可以估计M=624,N=1 456.
创新风向练
1.(创新情境)(2025届湖北部分高中期中,7)英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.一个高尔顿钉板的设计图如图,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗钉子的正中间,小球每次下落,将随机向两边等概率地下落.数学课堂上,老师向学生们介绍了高尔顿钉板.放学后,爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”,它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时,向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时,最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下,经过5层钉板最终落到4号位置的概率是 (　　)
A.　　　　
C.
答案　A　
2.(创新知识交汇)(2025届河北部分地区摸底考,14)在一次抽奖活动中,抽奖箱里有编号为1到n(n∈N*,n≥5)的n个相同小球.每次抽奖从箱中随机抽取一个球,记录编号后放回.连续抽奖5次,设抽到编号为k(1≤k≤n)的小球的次数为X,已知X服从二项分布B.若(a+bx)n展开式中的x3系数是X=3的概率的10倍,则an-3b3的值为　　　　.(结果用含n的式子表示)
答案　
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()