浙江省金华市婺城区2024--2025上学期九年级期末考试数学卷

浙江省金华市婺城区2024--2025学年上学期九年级期末考试数学卷
1．（2025九上·婺城期末）若 ，则 的值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵3x＝2y，
∴x：y＝2：3，
故答案为：C.
【分析】利用比例的性质，可求出x与y的比值.
2．（2025九上·婺城期末）已知的半径为．若点在外，则的长可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点在外，
，
故选：．
【分析】点与圆的位置关系有三种情形，即点在圆外、点在圆上和点在圆内，判断依据是比较点到圆心的距离与半径的大小．
3．（2025九上·婺城期末）“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】 因为必然事件是指在一定条件下必定会发生的事件， 不可能事件是指在一定条件下不可能发生的事件， 而随机事件则是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，而必然事件和不可能事件统称确定性事件；所以“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是随机事件.故选：C．
【分析】牢固掌握几种事件的概念是关键.
4．（2025九上·婺城期末）图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（　　）
图① 图②
A．主视图与俯视图
B．左视图与主视图
C．左视图与俯视图
D．左视图、主视图、俯视图均相同
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的三视图如图所示：
由三视图可知，左视图与主视图相同，
故选：B．
【分析】掌握三视图的概念与画法是关键。
5．（2025九上·婺城期末）如图，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】
解：∵，，∴．
故选：D．
【分析】由相似三角形的性质知，相似三角形的对应角相等，其中与恰好对应。
6．（2025九上·婺城期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：过点作轴，则：，∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【分析】求一个角的三角形函数值，必须先构造直角三角形，再利用定义求解．
7．（2025九上·婺城期末）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴，
∴AD=4，AF=2，，
∴；
故选A．
【分析】由尺规作图方法知，MN垂直平分AD，而AD等于AB－BC，由于中两直角边已知，则斜边AB可求，AD可求，AF可求；先解可得出余弦值，再利用余弦值解即可得到AE．
8．（2025九上·婺城期末）已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两个同号不等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是，∴，即，
∴根的情况变为时求x的值，
由图象可知：直线与抛物线只有两个交点，即方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【分析】判断二元一次方程根的情况，实质是判断抛物线与直线的交点情况。
9．（2025九上·婺城期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与、分别相交．若点的坐标是，点的坐标是．则圆心的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；切线的性质
10．（2025九上·婺城期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得，连结，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—含30°角直角三角形
11．（2025九上·婺城期末）抛物线的顶点坐标是　 　．
【答案】(0，-2)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是(0，-2)，故答案为：(0，-2)．
【分析】抛物线的顶点式为，其顶点坐标为．
12．（2025九上·婺城期末）在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在0.7附近，则估计袋子中的白球有　 　个.
【答案】14
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵袋子中有红球和白球共20个，且摸出白球的频率稳定在0.7附近，
∴袋子中的白球有：
故答案为：14.
【分析】根据"袋子中有红球和白球共20个，且摸出白球的频率稳定在0.7附近"，利用白球在总球数中所占的比例等于实验概率，即可求解.
13．（2025九上·婺城期末）如图，将直角三角板的锐角顶点放在上，边，与分别交于点，，连结．若，，则的半径为　 　．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接、，
∵的锐角顶点A在上，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：3．
【分析】由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知，连接OE、OD后，等腰三角形OED的顶角，则三角形ODE是等边三角形，即半径等于弦DE。
14．（2025九上·婺城期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为　 　米．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】
解：设米，米，
米，
由物理性质可得入射角等于反射角，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴
∴，
∴，
即，
解得，即米．
故答案为：．
【分析】镜面相似相对简单，由于已有一组直角相等，再利用入射角等于反射角相等即可证明两三角形相似。
15．（2025九上·婺城期末）如图，与正八边形相切于点、，若的半径为，则的长为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】切线的性质；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接、，
∵与正八边形相切于点、，
∴，
∵六边形的内角和为，正八边形内角，
∴，
∵，
∴的长为，
故答案为：．
【分析】求 的关键是圆心角的度数，分别连接OA、OE则得到一个不规则六边形，由切线的定义和正多边形的性质即可计算出，再利用弧长公式计算．
16．（2025九上·婺城期末）如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则　 　．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形全等及其性质；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：如图，延长，交于点H，
设，，
∵四边形和四边形都是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（舍），，
∴．
故答案为：．
【分析】要求的比值，可把AE、AD放到一组相似三角形中。由于图中有中线可倍长中线构造全等三角形，即延长EM至点H，使HM＝EM，连接AH，则显然有，则可证AH//EF//CD，即B、A、H三点共线，此时可证，利用比例式即可求出的值。
17．（2025九上·婺城期末）计算：．
【答案】解：
.
．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算首先要注意运算顺序，其次要牢记一些特殊运算如0次幂、负整数指数幂、-1的整数次幂的运算法则、另外还要牢记一些特殊角的三角函数值。
18．（2025九上·婺城期末）已知，，是的三边长，且，，求的周长．
【答案】解：设，则，，．
∵，
，解得．
的周长为．
答：的周长为18.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】求三角形的周长，实质是求三角形的三条边长，由比例的基本性质可设这一组比例式的值为k，则a、b、c三边都可用含k的代数式表示，再借助a、b、c的数量关系即可。
19．（2025九上·婺城期末）某中学计划向全校学生招募“阳光小记者”．现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选．
（1）若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是________；
（2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法，求两位女生同时当选的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，画出树状图，如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，丙、丁同时当选的有2种，
∴两位女生同时当选的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是．
故答案为：；
【分析】
（1）对于简单随想事件的概率可直接按公式计算；
（2）对于两步试验，可通过画出树状图或列表计算概率，注意画树状图时要不重复、不遗漏；列表格计算时，注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是．
故答案为：
（2）解：根据题意，画出树状图，如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，丙、丁同时当选的有2种，
∴两位女生同时当选的概率是．
20．（2025九上·婺城期末）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，点在网格线上不在格点上．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．
（1）在图1中作的中线；
（2）在图2中作的高线；
（3）在图3中的边上确定点，连结，使得．
【答案】（1）
（2）
（3）解：如图所示，即为所求；
理由如下，找到格点，连接交于点，
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】（1）由矩形的对角线互相平分且相等知，求AB上的中线实质是求作AB的中点，可先找出以AB为对角线的矩形的其余两个顶点，连接这两个顶点所得的线段与AB的交点即为AB的中点；（2）设BE的延长线交网格与点F，由三角形高线的定义知，，则，在网格格点分别上取点S、T，使AS＝5、CS＝3，TB＝3，AT＝1，则，所以，又、，即，所以，，即直接在A点上方的格点上取点F，使AF＝4，再连接BF交AC于点E，则线段BE即为所求作；另外也可以AB中点D为圆心，DA长为半径画圆，圆D与AC的交点记为点E，则线段BE即为所求作；（3）欲使PQ//AB，则必然有，设过Q的直线交网格线与M、N（N在M上方），则，所以只需在格点上确定点N、M，并分别使CN＝1，BM＝2，且，连接MN所得的线段与BC交点即为所求作的点Q，巧妙利用格点构造相似三角形，将相似比转化为一组平行线所截得的对应线段的比是作图关键。
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
理由如下，如图所示：
∵，，
∴
∴
∴
∴，即，
∴是的高线
（3）解：如图所示，即为所求；
理由如下，找到格点，连接交于点，
如图所示，
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
21．（2025九上·婺城期末）对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数．
（1）填空：2025　 　稳定数（填“是”或“不是”）；
（2）已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；
（3）命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由．
【答案】（1）不是
（2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得
∴或
所求的稳定数为1908或1919．
答：这个稳定数为1908或1919
（3）解：是假命题，反例如下：四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
【知识点】二元一次方程的解；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）∵，∴2025不是稳定数；
所以应填“不是”；
【分析】（1）由稳定数的定义知，千位数字+个位数字＝百位数字+十位数字，2025显然不符合；（2）分别设十位数字和个位数字为a和b，则可得到关于a、b的二元一次方程，由于a、b都是小于10的自然数，写出满足条件的自然数解即可；（3）由于不好直接证明该结论，可利用反证法来印证．
（1）解：∵，
∴2025不是稳定数；
（2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得
∴或
所求的稳定数为1908或1919．
（3）解：是假命题，反例如下：
四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
22．（2025九上·婺城期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，，
（1）求车窗底部到地面的高度（即的长）；
（2）求盲区中的长度；
（3）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
【答案】（1）解：在中，
答：车窗底部到地面的高度为1.12米；
（2）解：由题意：四边形是矩形，
在中，
，
答：盲区中的长度为；
（3）解：能观察到物体。理由如下：如图所示，过点作交于点，
，，
∴，
由，得，
∴，即，
解得：，
在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）由正弦三角函数知，在中：，由于和都已知，则可直接计算出AC长 ；（2）由于中，可借助的正切三角函数计算；（3）驾驶员能否看到点M处的物体，就看这个物体的高度是否在视线PE上或PE上方，可利用相似测高来具体计算．
（1）解：在中，
答：车窗底部到地面的高度为1.12米
（2）解：由题意：四边形是矩形
，
在中，
，
答：盲区中的长度为
（3）解：过点作，
，，
∴，
由，得，
∴，即，
解得：，
在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体．
23．（2025九上·婺城期末）已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）．
（1）若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值；
（2）已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标；
（3）若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）．
【答案】（1）解：把代入，解得：，，
∴抛物线与x轴正半轴的交点为
把代入，
得：，
解得：．
（2）解：由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称，∴抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同，
∴，
∵，抛物线顶点坐标为，
的顶点坐标为：，
∴点P的坐标为，即．
答：点坐标为
（3）解：在的范围内，始终存在，即，
∴，
∴，
当时，，
当时，
此时，
解得∶．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）由 抛物线 与 抛物线 的交点在轴的正半轴上可知，当时方程的正数解也方程一个解，代入这个x值即可算出a；
（2）由中心对称的性质可知，抛物线与抛物线开口大小相同，但开口方向相反，所以，此时可得出两个抛物线的顶点坐标，由于它们关于点P中心对称，直接利用中点公式即可；
（3）注意由题意列不等式，因为含有绝对值，其实质是一个不等式组。
（1）解：把代入，
解得：，，
∴抛物线与x轴正半轴的交点为
把代入，
得：，
解得：．
（2）解：由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称，
∴抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同，
∴，
∵，抛物线顶点坐标为，
的顶点坐标为：，
∴点P的坐标为，即．
（3）解：在的范围内，始终存在，
即，
∴，
∴，
当时，，
当时，
此时，
解得∶．
24．（2025九上·婺城期末）如图1，在中，，以为直径的交，分别于点，，连接，相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）过点作于点，交于于点，交于点（如图2）．求证：．
【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
设，则，，
由（1）可得：，
，，，
，
，，
，
，
即：，
，

（3）证明：如图，连接，
是的直径，
，即：，
又，
，
，
又，
，
，
是圆内接四边形，
，
又、，
、，
，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由所证明的结论推测，可证明其所在的两个三角形全等，显然可利用ASA证明；（2）由于无法直接计算的值，但是等腰直角三角形，且，则可转化为求的值，显然有，则，由知，，则可算出的三边数量关系， 进而可计算出所求线段比值；（3）要证明等积式成立，实质是证比例式成立，则必需DE＝AG，即有，此时转化为求证
，结合圆周角及圆内接四边形的性质可证这两个三角形的两组对角相等。注意证明等积式时，一般先把它转化为比例式，再考虑对应线段所在的三角形是否相似。
（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
设，则，，
由（1）可得：，
，，，
，
，，
，
，
即：，
，
；
（3）证明：如图，连接，
是的直径，
，即：，
又，
，，
，
又，
，
即：，
，
是圆内接四边形，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
浙江省金华市婺城区2024--2025学年上学期九年级期末考试数学卷
1．（2025九上·婺城期末）若 ，则 的值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
2．（2025九上·婺城期末）已知的半径为．若点在外，则的长可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·婺城期末）“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
4．（2025九上·婺城期末）图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（　　）
图① 图②
A．主视图与俯视图
B．左视图与主视图
C．左视图与俯视图
D．左视图、主视图、俯视图均相同
5．（2025九上·婺城期末）如图，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·婺城期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·婺城期末）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）
A． B．3 C．2 D．
8．（2025九上·婺城期末）已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两个同号不等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根
9．（2025九上·婺城期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与、分别相交．若点的坐标是，点的坐标是．则圆心的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·婺城期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得，连结，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．4
11．（2025九上·婺城期末）抛物线的顶点坐标是　 　．
12．（2025九上·婺城期末）在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在0.7附近，则估计袋子中的白球有　 　个.
13．（2025九上·婺城期末）如图，将直角三角板的锐角顶点放在上，边，与分别交于点，，连结．若，，则的半径为　 　．
14．（2025九上·婺城期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为　 　米．
15．（2025九上·婺城期末）如图，与正八边形相切于点、，若的半径为，则的长为　 　（结果保留）．
16．（2025九上·婺城期末）如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则　 　．
17．（2025九上·婺城期末）计算：．
18．（2025九上·婺城期末）已知，，是的三边长，且，，求的周长．
19．（2025九上·婺城期末）某中学计划向全校学生招募“阳光小记者”．现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选．
（1）若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是________；
（2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法，求两位女生同时当选的概率．
20．（2025九上·婺城期末）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，点在网格线上不在格点上．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．
（1）在图1中作的中线；
（2）在图2中作的高线；
（3）在图3中的边上确定点，连结，使得．
21．（2025九上·婺城期末）对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数．
（1）填空：2025　 　稳定数（填“是”或“不是”）；
（2）已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；
（3）命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由．
22．（2025九上·婺城期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，，
（1）求车窗底部到地面的高度（即的长）；
（2）求盲区中的长度；
（3）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
23．（2025九上·婺城期末）已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）．
（1）若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值；
（2）已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标；
（3）若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）．
24．（2025九上·婺城期末）如图1，在中，，以为直径的交，分别于点，，连接，相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）过点作于点，交于于点，交于点（如图2）．求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵3x＝2y，
∴x：y＝2：3，
故答案为：C.
【分析】利用比例的性质，可求出x与y的比值.
2．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点在外，
，
故选：．
【分析】点与圆的位置关系有三种情形，即点在圆外、点在圆上和点在圆内，判断依据是比较点到圆心的距离与半径的大小．
3．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】 因为必然事件是指在一定条件下必定会发生的事件， 不可能事件是指在一定条件下不可能发生的事件， 而随机事件则是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，而必然事件和不可能事件统称确定性事件；所以“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是随机事件.故选：C．
【分析】牢固掌握几种事件的概念是关键.
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的三视图如图所示：
由三视图可知，左视图与主视图相同，
故选：B．
【分析】掌握三视图的概念与画法是关键。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】
解：∵，，∴．
故选：D．
【分析】由相似三角形的性质知，相似三角形的对应角相等，其中与恰好对应。
6．【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：过点作轴，则：，∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【分析】求一个角的三角形函数值，必须先构造直角三角形，再利用定义求解．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴，
∴AD=4，AF=2，，
∴；
故选A．
【分析】由尺规作图方法知，MN垂直平分AD，而AD等于AB－BC，由于中两直角边已知，则斜边AB可求，AD可求，AF可求；先解可得出余弦值，再利用余弦值解即可得到AE．
8．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是，∴，即，
∴根的情况变为时求x的值，
由图象可知：直线与抛物线只有两个交点，即方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【分析】判断二元一次方程根的情况，实质是判断抛物线与直线的交点情况。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；切线的性质
10．【答案】A
【知识点】旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—含30°角直角三角形
11．【答案】(0，-2)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是(0，-2)，故答案为：(0，-2)．
【分析】抛物线的顶点式为，其顶点坐标为．
12．【答案】14
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵袋子中有红球和白球共20个，且摸出白球的频率稳定在0.7附近，
∴袋子中的白球有：
故答案为：14.
【分析】根据"袋子中有红球和白球共20个，且摸出白球的频率稳定在0.7附近"，利用白球在总球数中所占的比例等于实验概率，即可求解.
13．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接、，
∵的锐角顶点A在上，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：3．
【分析】由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知，连接OE、OD后，等腰三角形OED的顶角，则三角形ODE是等边三角形，即半径等于弦DE。
14．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】
解：设米，米，
米，
由物理性质可得入射角等于反射角，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴
∴，
∴，
即，
解得，即米．
故答案为：．
【分析】镜面相似相对简单，由于已有一组直角相等，再利用入射角等于反射角相等即可证明两三角形相似。
15．【答案】
【知识点】切线的性质；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接、，
∵与正八边形相切于点、，
∴，
∵六边形的内角和为，正八边形内角，
∴，
∵，
∴的长为，
故答案为：．
【分析】求 的关键是圆心角的度数，分别连接OA、OE则得到一个不规则六边形，由切线的定义和正多边形的性质即可计算出，再利用弧长公式计算．
16．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形全等及其性质；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：如图，延长，交于点H，
设，，
∵四边形和四边形都是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（舍），，
∴．
故答案为：．
【分析】要求的比值，可把AE、AD放到一组相似三角形中。由于图中有中线可倍长中线构造全等三角形，即延长EM至点H，使HM＝EM，连接AH，则显然有，则可证AH//EF//CD，即B、A、H三点共线，此时可证，利用比例式即可求出的值。
17．【答案】解：
.
．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算首先要注意运算顺序，其次要牢记一些特殊运算如0次幂、负整数指数幂、-1的整数次幂的运算法则、另外还要牢记一些特殊角的三角函数值。
18．【答案】解：设，则，，．
∵，
，解得．
的周长为．
答：的周长为18.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】求三角形的周长，实质是求三角形的三条边长，由比例的基本性质可设这一组比例式的值为k，则a、b、c三边都可用含k的代数式表示，再借助a、b、c的数量关系即可。
19．【答案】（1）
（2）解：根据题意，画出树状图，如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，丙、丁同时当选的有2种，
∴两位女生同时当选的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是．
故答案为：；
【分析】
（1）对于简单随想事件的概率可直接按公式计算；
（2）对于两步试验，可通过画出树状图或列表计算概率，注意画树状图时要不重复、不遗漏；列表格计算时，注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是．
故答案为：
（2）解：根据题意，画出树状图，如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，丙、丁同时当选的有2种，
∴两位女生同时当选的概率是．
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：如图所示，即为所求；
理由如下，找到格点，连接交于点，
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】（1）由矩形的对角线互相平分且相等知，求AB上的中线实质是求作AB的中点，可先找出以AB为对角线的矩形的其余两个顶点，连接这两个顶点所得的线段与AB的交点即为AB的中点；（2）设BE的延长线交网格与点F，由三角形高线的定义知，，则，在网格格点分别上取点S、T，使AS＝5、CS＝3，TB＝3，AT＝1，则，所以，又、，即，所以，，即直接在A点上方的格点上取点F，使AF＝4，再连接BF交AC于点E，则线段BE即为所求作；另外也可以AB中点D为圆心，DA长为半径画圆，圆D与AC的交点记为点E，则线段BE即为所求作；（3）欲使PQ//AB，则必然有，设过Q的直线交网格线与M、N（N在M上方），则，所以只需在格点上确定点N、M，并分别使CN＝1，BM＝2，且，连接MN所得的线段与BC交点即为所求作的点Q，巧妙利用格点构造相似三角形，将相似比转化为一组平行线所截得的对应线段的比是作图关键。
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
理由如下，如图所示：
∵，，
∴
∴
∴
∴，即，
∴是的高线
（3）解：如图所示，即为所求；
理由如下，找到格点，连接交于点，
如图所示，
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
21．【答案】（1）不是
（2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得
∴或
所求的稳定数为1908或1919．
答：这个稳定数为1908或1919
（3）解：是假命题，反例如下：四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
【知识点】二元一次方程的解；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）∵，∴2025不是稳定数；
所以应填“不是”；
【分析】（1）由稳定数的定义知，千位数字+个位数字＝百位数字+十位数字，2025显然不符合；（2）分别设十位数字和个位数字为a和b，则可得到关于a、b的二元一次方程，由于a、b都是小于10的自然数，写出满足条件的自然数解即可；（3）由于不好直接证明该结论，可利用反证法来印证．
（1）解：∵，
∴2025不是稳定数；
（2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得
∴或
所求的稳定数为1908或1919．
（3）解：是假命题，反例如下：
四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
22．【答案】（1）解：在中，
答：车窗底部到地面的高度为1.12米；
（2）解：由题意：四边形是矩形，
在中，
，
答：盲区中的长度为；
（3）解：能观察到物体。理由如下：如图所示，过点作交于点，
，，
∴，
由，得，
∴，即，
解得：，
在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）由正弦三角函数知，在中：，由于和都已知，则可直接计算出AC长 ；（2）由于中，可借助的正切三角函数计算；（3）驾驶员能否看到点M处的物体，就看这个物体的高度是否在视线PE上或PE上方，可利用相似测高来具体计算．
（1）解：在中，
答：车窗底部到地面的高度为1.12米
（2）解：由题意：四边形是矩形
，
在中，
，
答：盲区中的长度为
（3）解：过点作，
，，
∴，
由，得，
∴，即，
解得：，
在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体．
23．【答案】（1）解：把代入，解得：，，
∴抛物线与x轴正半轴的交点为
把代入，
得：，
解得：．
（2）解：由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称，∴抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同，
∴，
∵，抛物线顶点坐标为，
的顶点坐标为：，
∴点P的坐标为，即．
答：点坐标为
（3）解：在的范围内，始终存在，即，
∴，
∴，
当时，，
当时，
此时，
解得∶．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）由 抛物线 与 抛物线 的交点在轴的正半轴上可知，当时方程的正数解也方程一个解，代入这个x值即可算出a；
（2）由中心对称的性质可知，抛物线与抛物线开口大小相同，但开口方向相反，所以，此时可得出两个抛物线的顶点坐标，由于它们关于点P中心对称，直接利用中点公式即可；
（3）注意由题意列不等式，因为含有绝对值，其实质是一个不等式组。
（1）解：把代入，
解得：，，
∴抛物线与x轴正半轴的交点为
把代入，
得：，
解得：．
（2）解：由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称，
∴抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同，
∴，
∵，抛物线顶点坐标为，
的顶点坐标为：，
∴点P的坐标为，即．
（3）解：在的范围内，始终存在，
即，
∴，
∴，
当时，，
当时，
此时，
解得∶．
24．【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
设，则，，
由（1）可得：，
，，，
，
，，
，
，
即：，
，

（3）证明：如图，连接，
是的直径，
，即：，
又，
，
，
又，
，
，
是圆内接四边形，
，
又、，
、，
，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由所证明的结论推测，可证明其所在的两个三角形全等，显然可利用ASA证明；（2）由于无法直接计算的值，但是等腰直角三角形，且，则可转化为求的值，显然有，则，由知，，则可算出的三边数量关系， 进而可计算出所求线段比值；（3）要证明等积式成立，实质是证比例式成立，则必需DE＝AG，即有，此时转化为求证
，结合圆周角及圆内接四边形的性质可证这两个三角形的两组对角相等。注意证明等积式时，一般先把它转化为比例式，再考虑对应线段所在的三角形是否相似。
（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
设，则，，
由（1）可得：，
，，，
，
，，
，
，
即：，
，
；
（3）证明：如图，连接，
是的直径，
，即：，
又，
，，
，
又，
，
即：，
，
是圆内接四边形，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．