1.2 集合的基本关系（课件+学案+练习共3份） 北师大版（2019）必修 第一册
(共56张PPT)
第一章
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1.2 集合的基本关系
1.理解子集、真子集、集合相等的概念.
2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.
3.掌握列举有限集的所有子集的方法.
学习目标
草原上,蓝蓝的天上白云飘,白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A,草原上的所有马组成集合B.集合A与集合B存在什么关系
导 语
一、集合间关系的判断
二、子集、真子集的个数
随堂演练
三、集合间关系的应用
内容索引
课时对点练
一
集合间关系的判断
观察下面的几个例子,请同学们说出每组两个集合之间的关系.
(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合,D为这个班全体学生组成的集合;
(3)E={x|x=2k,k∈Z},F={偶数}.
问题
提示 (1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,(2)(3)中的集合C与D,E与F也有这种关系.
1.Venn图
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.
2.子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子集 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集 A B(或B A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 或
定义 符号表示 图形表示
集合 相等 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等 A B
真子集 对于两个集合A与B,如果A B,且A≠B,那么称集合A是集合B的真子集 A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
=
3.子集的性质
(1)任何一个集合都是它本身的 ,即A A.
(2)规定:空集是任何集合的子集.
子集
(1)用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
(2)在真子集的定义中,A,B首先要满足A B,且A≠B.
(3)若出现A B时,应讨论A= 和A≠ 两种情形.
(4)若A B,且B C,则A C.
注 意 点
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(1)(多选)下列各式中,正确的是
A.{0}∈{0,1,2} B. {0,1,2}
C. {0} D.{0,1}={(0,1)}
例 1
√
对于A,是集合与集合的关系,应为{0} {0,1,2},A错误;
对于B,空集是任何集合的子集,B正确;
对于C,{0}是含有单元素0的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以 {0},C正确;
对于D,{0,1}是含有两个元素0与1的集合,而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集,所以{0,1}与{(0,1)}不相等,D错误.
√
(2)指出下列各组集合之间的关系:
①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
②M={x|x=2n-1,n∈N+},N={x|x=2n+1,n∈N+}.
方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N+,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N M.
方法二 由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N M.
反
思
感
悟
判断集合间关系的常用方法
(1)能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是
跟踪训练 1
√
由x2-x=0得x=1或x=0,
故N={0,1},
易得N M,其对应的Venn图如选项B所示.
(2)若{a,0,1}={a2,a,0},则实数a的值为
A.-1 B.0
C.1 D.-1或1
√
在{a,0,1}中,a≠0且a≠1,而{a,0,1}={a2,a,0},则有a2=1,解得a=-1,所以实数a的值为-1.
二
子集、真子集的个数
已知集合A={x|ax2-5x+6=0},若2∈A,列举集合A的子集并指出有多少个真子集.
例 2
依题意得4a-10+6=0,解得a=1.
则x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3,
所以A={2,3}.
所以集合A的子集有 ,{2},{3},{2,3},共4个.
真子集有 ,{2},{3},共3个.
反
思
感
悟
(1)求集合的子集时,为了做到不重不漏,对于含有n个元素的集合A,可以按元素个数由0到n,依次列出集合A的子集.
(2)一般地,若集合A中有n个元素,则其子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.
满足{1,2} M {1,2,3,4}的集合M有 个.
跟踪训练 2
由题意可得{1,2} M {1,2,3,4},可以确定集合M必含有元素1,2,且含
有元素3,4中的至少一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:
含有三个元素,{1,2,3},{1,2,4};
含有四个元素,{1,2,3,4}.
故满足题意的集合M共有3个.
3
三
集合间关系的应用
已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.若B A,求实数m的取值范围.
例 3
当B= 时,
由m+1>2m-1,解得m<2;
当B≠ 时,
∴
解得2≤m≤3.
综上所述,m的取值范围是(-∞,3].
1.若本例条件“B A”改为“B A”,其他条件不变,求m的取值范围.
延伸探究
当B≠ 时,如图所示.
∴
解得2≤m≤3;
当B= 时,
由m+1>2m-1,得m<2.
综上可得,m的取值范围是(-∞,3].
2.若本例条件“B A”改为“A B”,其他条件不变,求m的取值范围.
当A B时,此时B≠ ,如图所示.
∴
即
∴m∈ ,即m的取值范围为 .
反
思
感
悟
(1)利用数轴处理不等式表示集合间的关系问题时,可化抽象为直观,要注意端点值的取舍,“含”用实心点表示,“不含”用空心点表示.
(2)涉及“A B”或“A B且B≠ ”的问题,一定要分A= 和A≠ 两种情况讨论,不要忽视空集的情况.
(1)设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k≤0},若M N,则k的取值范
围是
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1]
跟踪训练 3
√
由题设,N={x|x≤k},
又M N,M={x|-1≤x<2},∴k≥2.
(2)(多选)若集合A=,B={x|mx=1}且B A,则m的所有可能取值为
A.2 B.-3
C.0 D.1
√
√
√
∵B A,A=,
∴B= 或B=或B=.
①当B={x|mx=1}= 时,m=0;
②当B={x|mx=1}=时,=-,可得m=-3;
③当B={x|mx=1}=时,=,可得m=2,
综上所述,m的值为0或-3或2.
1.知识清单:
(1)子集、真子集、集合相等的概念.
(2)集合间关系的判断,求子集、真子集的个数问题.
(3)由集合间的关系求参数的值或范围.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:
(1)忽略对集合是否为空集的讨论.
(2)求参数范围时,端点值能否取到容易出现错误.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)已知集合A={x|-1-x<0},则下列各式正确的是
A.0 A B.{0}∈A
C.0∈A D.{0} A
√
√
集合A={x|-1-x<0}={x|x>-1},
所以0∈A,{0} A,CD正确.
2.已知集合A={x|x<-2或x>0},B={x|0
C.B A D.A
2
3
4
√
由数轴知B A.
3.集合A={0,2,4,6}的子集个数是
A.8 B.12
C.15 D.16
1
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√
4.已知集合A={x|x≥1或x≤-2},B={x|x≥a},若B A,则实数a的取值范围是 .
1
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4
∵B A,∴a≥1.
[1,+∞)
课时对点练
五
1.下列各选项中,表示M N的是
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基础巩固
√
由M N知,表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中.
2.已知集合A={a,b,c},下列可以作为集合A的子集的是
A.a B.{a,c}
C.{a,e} D.{a,b,c,d}
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√
根据集合的子集的定义,得集合A={a,b,c}的子集为 ,{a},{b},{c}, {a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},对应选项可知,可以作为集合A的子集的是{a,c}.
3.已知集合A={0,1},则下列式子错误的是
A.0∈A B.{1}∈A
C. A D.{0,1} A
√
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∵{1} A,∴{1}∈A错误,其余均正确.
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4.已知集合M={x|y2=2x}和集合P={(x,y)|y2=2x},则两个集合间的关系是
A.M P B.P M
C.M=P D.M,P互不包含
√
由于集合M为数集,集合P为点集,因此M与P互不包含.
5.已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A B,则a等于
A.1 B.0
C.-2 D.-3
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√
∵集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A B,∴a+3=1,∴a=-2.
6.设集合A={x,y},B={0,x2},若A B且B A,则2x+y等于
A.0 B.1 C.2 D.-1
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√
由A B且B A,得A=B,
得x=0或y=0.
当x=0时,x2=0,此时B不满足集合中元素的互异性,舍去;
当y=0时,x=x2,则x=0或x=1.
由上知,x=0不合适,故y=0,x=1,
经验证,符合题意,则2x+y=2.
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7.已知a是实数,若集合{x|x2+2x+a=0}是任意集合的子集,则a的取值范围是 .
{a|a>1}
由题意知,集合{x|x2+2x+a=0}是空集,
∴方程x2+2x+a=0无解,
即Δ=4-4a<0,解得a>1,
故a的取值范围是{a|a>1}.
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8.已知集合A=[-4,4],B={x|x≥a},且A B,则实数a的取值范围为 .
∵集合A=[-4,4],集合B={x|x≥a},
若A B,则a≤-4,
即实数a的取值范围是(-∞,-4].
9.已知集合A={x|(a-2)x2+2x-1=0}有且仅有两个子集,求实数a的值及对应的两个子集.
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由题意可得集合A为单元素集,
(1)当a=2时,A={x|2x-1=0}=,此时集合A的两个子集是, ,
(2)当a≠2时,则Δ=4+4(a-2)=0,解得a=1,此时集合A的两个子集是{1}, ,
∴实数a的值是1或2.当a=2时,集合A的两个子集是, ;当a=1时,集合A的两个子集是{1}, .
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10.集合A={x|1
当C= 时,3a-2≥4a-3,解得a≤1;
当C≠ 时,3a-2<4a-3,解得a>1,
又C A,数轴表示如图:
∴
综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤2}.
11.集合M=,N=,则
A.M=N B.M N
C.N M D.无法判断
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综合运用
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∵在集合M中,x=+=
在集合N中,x=k+=n+,k=n∈Z,
∴N M.
12.集合A={1,2,3,4,5,6},则B=的子集的个数为
A.4 B.8 C.15 D.16
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√
集合A={1,2,3,4,5,6},
B=={1,2,3,6},
故B有24=16(个)子集.
13.(多选)以下满足{0,2,4} A {0,1,2,3,4}的集合A可以为
A.{0,2,4} B.{0,1,3,4}
C.{0,1,2,4} D.{0,1,2,3,4}
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由题意可知,集合A包含集合{0,2,4},
同时又是集合{0,1,2,3,4}的真子集,
则所有符合条件的集合A为{0,2,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4}.
√
√
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14.已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q P,那么实数a的取值构成的集合是 .
由题意得P={-1,1},又因为Q P,
若Q= ,则a=0,此时满足Q P,
若Q≠ ,则Q=,
由题意知,=1或=-1,解得a=±1.
综上可知,实数a的取值构成的集合是{0,1,-1}.
{0,1,-1}
15.设集合A={a1,a2,a3,a4},若集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B={2,5,6,8},则集合A= .
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拓广探究
{-1,1,2,5}
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集合A中三个元素的子集为{a1,a2,a3},{a1,a2,a4},{a1,a3,a4},{a2,a3,a4},
因为集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B= {2,5,6,8},
所以
所以集合A={-1,1,2,5}.
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16.已知A={x|x2+5x-6=0},B=,B A,且B不是空集.
(1)求集合B的所有可能情况;
∵A=={-6,1},
B A且B≠ ,
则B={-6}或B={1}或B={-6,1}.
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(2)求p,q的值.
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若B={-6},由根与系数的关系可得
若B={1},由根与系数的关系可得
解得
若B={-6,1},由根与系数的关系可得
综上所述,1.2 集合的基本关系
［学习目标］ 1.理解子集、真子集、集合相等的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法.
一、集合间关系的判断
问题 观察下面的几个例子，请同学们说出每组两个集合之间的关系.
（1）A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，3，4，5｝；
（2）C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
（3）E=｛x|x=2k，k∈Z｝，F=｛偶数｝.
知识梳理
1.Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图.
2.子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子 集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集 A B （或B A），读作“A包含于B”（或“B包含A”） 或
集 合 相 等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等 A B
真 子 集 对于两个集合A与B，如果A B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集 A B （或B A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）
3.子集的性质
（1）任何一个集合都是它本身的 ，即A A.
（2）规定：空集是任何集合的子集.
例1 （1）（多选）下列各式中，正确的是（ ）
A.｛0｝∈｛0，1，2｝ B. ｛0，1，2｝
C. ｛0｝ D.｛0，1｝=｛（0，1）｝
（2）指出下列各组集合之间的关系：
①A=｛-1，1｝，B=｛（-1，-1），（-1，1），（1，-1），（1，1）｝；
②M=｛x|x=2n-1，n∈N+｝，N=｛x|x=2n+1，n∈N+｝.
反思感悟 判断集合间关系的常用方法
跟踪训练1 （1）能正确表示集合M=｛x∈R|0≤x≤2｝和集合N=｛x∈R|x2-x=0｝关系的Venn图是（ ）
（2）若｛a，0，1｝=｛a2，a，0｝，则实数a的值为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
二、子集、真子集的个数
例2 已知集合A=｛x|ax2-5x+6=0｝，若2∈A，列举集合A的子集并指出有多少个真子集.
反思感悟 （1）求集合的子集时，为了做到不重不漏，对于含有n个元素的集合A，可以按元素个数由0到n，依次列出集合A的子集.
（2）一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有（2n-1）个，非空真子集有（2n-2）个.
跟踪训练2 满足｛1，2｝M ｛1，2，3，4｝的集合M有 个.
三、集合间关系的应用
例3 已知集合A=｛x|-2≤x≤5｝，B=｛x|m+1≤x≤2m-1｝.若B A，求实数m的取值范围.
延伸探究
1.若本例条件“B A”改为“BA”，其他条件不变，求m的取值范围.
2.若本例条件“B A”改为“A B”，其他条件不变，求m的取值范围.
反思感悟 （1）利用数轴处理不等式表示集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示.
（2）涉及“A B”或“AB且B≠ ”的问题，一定要分A= 和A≠ 两种情况讨论，不要忽视空集的情况.
跟踪训练3 （1）设集合M=｛x|-1≤x<2｝，N=｛x|x-k≤0｝，若M N，则k的取值范围是 （ ）
A.（-∞，2］ B.［2，+∞）
C.（-1，+∞） D.（-∞，-1］
（2）（多选）若集合A=，B=｛x|mx=1｝且B A，则m的所有可能取值为 （ ）
A.2 B.-3 C.0 D.1
1.知识清单：
（1）子集、真子集、集合相等的概念.
（2）集合间关系的判断，求子集、真子集的个数问题.
（3）由集合间的关系求参数的值或范围.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：
（1）忽略对集合是否为空集的讨论.
（2）求参数范围时，端点值能否取到容易出现错误.
1.（多选）已知集合A=｛x|-1-x<0｝，则下列各式正确的是（ ）
A.0 A B.｛0｝∈A
C.0∈A D.｛0｝ A
2.已知集合A=｛x|x<-2或x>0｝，B=｛x|0
C.BA D.A
A.8 B.12 C.15 D.16
4.已知集合A=｛x|x≥1或x≤-2｝，B=｛x|x≥a｝，若BA，则实数a的取值范围是 .
答案精析
问题 （1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，（2）（3）中的集合C与D，E与F也有这种关系.
知识梳理
2. =
3.（1）子集
例1 （1）BC
（2）解 ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
②方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N+，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
方法二 由列举法知M=｛1，3，5，7，…｝，N=｛3，5，7，9，…｝，所以NM.
跟踪训练1 （1）B （2）A
例2 解 依题意得4a-10+6=0，
解得a=1.
则x2-5x+6=0，
解得x1=2，x2=3，
所以A=｛2，3｝.
所以集合A的子集有 ，｛2｝，｛3｝，｛2，3｝，共4个.
真子集有 ，｛2｝，｛3｝，共3个.
跟踪训练2 3
例3 解 当B= 时，
由m+1>2m-1，解得m<2；
当B≠ 时，
∴
解得2≤m≤3.
综上所述，m的取值范围是（-∞，3］.
延伸探究
1.解 当B≠ 时，如图所示.
∴或
解得2≤m≤3；
当B= 时，
由m+1>2m-1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是（-∞，3］.
2.解 当A B时，此时B≠ ，如图所示.
∴即
∴m∈ ，即m的取值范围为 .
跟踪训练3 （1）B ［由题设，
N=｛x|x≤k｝，
又M N，M=｛x|-1≤x<2｝，
∴k≥2.］
（2）ABC ［∵B A，
A=，
∴B= 或B=或B=.
①当B=｛x|mx=1｝= 时，m=0；
②当B=｛x|mx=1｝=时，
=-，可得m=-3；
③当B=｛x|mx=1｝=时，
=，可得m=2，
综上所述，m的值为0或-3或2.］
随堂演练
1.CD 2.C 3.D 4.［1，+∞）作业2 集合的基本关系
（分值：100分）
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.下列各选项中，表示M N的是 （ ）
A. B.
C. D.
2.已知集合A=｛a，b，c｝，下列可以作为集合A的子集的是 （ ）
A.a B.｛a，c｝
C.｛a，e｝ D.｛a，b，c，d｝
3.已知集合A=｛0，1｝，则下列式子错误的是 （ ）
A.0∈A B.｛1｝∈A
C. A D.｛0，1｝ A
4.已知集合M=｛x|y2=2x｝和集合P=｛（x，y）|y2=2x｝，则两个集合间的关系是 （ ）
A.M P B.P M
C.M=P D.M，P互不包含
5.已知集合A=｛0，1｝，B=｛-1，0，a+3｝，且A B，则a等于 （ ）
A.1 B.0 C.-2 D.-3
6.设集合A=｛x，y｝，B=｛0，x2｝，若A B且B A，则2x+y等于 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.-1
7.已知a是实数，若集合｛x|x2+2x+a=0｝是任意集合的子集，则a的取值范围是 .
8.已知集合A=［-4，4］，B=｛x|x≥a｝，且AB，则实数a的取值范围为 .
9.（10分）已知集合A=｛x|（a-2）x2+2x-1=0｝有且仅有两个子集，求实数a的值及对应的两个子集.
10.（12分）集合A=｛x|1
A.M=N B.M N
C.N M D.无法判断
12.集合A=｛1，2，3，4，5，6｝，则B=的子集的个数为 （ ）
A.4 B.8 C.15 D.16
13.（多选）以下满足｛0，2，4｝ A｛0，1，2，3，4｝的集合A可以为 （ ）
A.｛0，2，4｝ B.｛0，1，3，4｝
C.｛0，1，2，4｝ D.｛0，1，2，3，4｝
14.已知集合P=｛x|x2=1｝，集合Q=｛x|ax=1｝，若Q P，那么实数a的取值构成的集合是 .
15.设集合A=｛a1，a2，a3，a4｝，若集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B=｛2，5，6，8｝，则集合A= .
16.（12分）已知A=｛x|x2+5x-6=0｝，B=，B A，且B不是空集.
（1）求集合B的所有可能情况；（5分）
（2）求p，q的值.（7分）
答案精析
1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.C
7.｛a|a>1｝ 8.（-∞，-4］
9.解 由题意可得集合A为单元素集，
（1）当a=2时，A=｛x|2x-1=0｝=，此时集合A的两个子集是， ，
（2）当a≠2时，则Δ=4+4（a-2）=0，解得a=1，此时集合A的两个子集是｛1｝， ，
∴实数a的值是1或2.当a=2时，集合A的两个子集是， ；当a=1时，集合A的两个子集是｛1｝， .
10.解 ∵C A，
∴分C= 和C≠ 两种情况讨论.
当C= 时，3a-2≥4a-3，解得a≤1；
当C≠ 时，3a-2<4a-3，解得a>1，
又C A，数轴表示如下：
∴
综上所述，实数a的取值范围是
｛a|a≤2｝.
11.C
12.D ［集合A=｛1，2，3，4，5，6｝，
B==｛1，2，3，6｝，故B有24=16（个）子集.］
13.AC ［由题意可知，集合A包含集合｛0，2，4｝，
同时又是集合｛0，1，2，3，4｝的真子集，
则所有符合条件的集合A为｛0，2，4｝，｛0，1，2，4｝，｛0，2，3，4｝.］
14.｛0，1，-1｝
解析 由题意得P=｛-1，1｝，
又因为Q P，
若Q= ，则a=0，此时满足Q P，
若Q≠ ，则Q=，
由题意知，=1或=-1，
解得a=±1.
综上可知，实数a的取值构成的集合是｛0，1，-1｝.
15.｛-1，1，2，5｝
解析 集合A中三个元素的子集为｛a1，a2，a3｝，｛a1，a2，a4｝，｛a1，a3，a4｝，｛a2，a3，a4｝，
因为集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B=｛2，5，6，8｝，
所以
解得
所以集合A=｛-1，1，2，5｝.
16.解 （1）∵A=｛x|x2+5x-6=0｝=｛-6，1｝，B A且B≠ ，
则B=｛-6｝或B=｛1｝或B=｛-6，1｝.
（2）若B=｛-6｝，由根与系数的关系可得解得
若B=｛1｝，由根与系数的关系可得解得
若B=｛-6，1｝，由根与系数的关系可得解得
综上所述，或
或
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