福建省2025年初中学业水平考试猜题卷 原卷+解析卷

福建省2025年初中学业水平考试猜题卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在实数，，0，，1.01010010001，中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．
【详解】解：实数，，0，，1.01010010001，中，是无理数的有，，共2个；
故选：B．
2．财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：1582亿．
故选：C．
3．如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（　）
A．B． C．D．
答案：A
解析：本题考查了三视图的知识点，熟知左视图的定义和画三视图的规则是解题的关键．根据俯视图的定义及画图规则，画出俯视图，再与各选项进行对比即可找出正确答案．从上向下看几何体时，外部轮廓如图1所示：
∵上半部有圆孔，且在几何体内部，看不见的轮廓线画虚线，
∴整个几何体的俯视图如图2所示：
因此本题选A．
4．如图，已知，平分．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可．
【详解】解：，
，；
平分，
．
．
故选：C
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、完全平方公式，熟记各运算法则和公式是解题关键．
根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、完全平方公式逐项判断即可得．
【详解】解：A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项错误；
D、，此项正确；
故选：D．
6．为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高：
身高 176 178 180 181 182 185
人数 1 2 3 2 1 1
下列说法正确的是（ ）
A．篮球队员身高的众数是 B．篮球队员的平均身高是
C．篮球队员身高的中位数是 D．篮球队员身高的方差是
【答案】B
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法逐项分析即可．
【详解】A． ∵出现的次数最多，
∴众数是，故不正确；
B． 平均数，正确；
C． ∵从小到大排列后排在第5和第6位的是，
∴中位数是，故不正确；
D．
，故不正确．
故选B．
7.如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解．
本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵四边形是的内接四边形
∴，
，，
，
，，，
，
解得，
，
．
故选：C
8．《九章算术》中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．问：太仓去上林几何？”其大意为：驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里，现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．问：太仓距上林多少里？设太仓距上林里，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设太仓到上林的距离为里，利用时间路程速度，结合5日往返3次，即可得出关于的方程．
【详解】解：设太仓到上林的距离为里，
依题意得：；
故选：A．
9．如图1为一张正三角形纸片ABC，其中D点在AB上，E点在BC上．今以DE为折线将B点往右折后，BD、BE分别与AC相交于F点、G点，如图2所示．若AD＝10，AF＝16，DF＝14，BF＝8，则CG的长度为多少？（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形ABC是正三角形，可得∠A＝∠B＝60°，△AFD∽△BFG，即可求出FG＝7，而AD＝10，DF＝14，BF＝8，可得AB＝32＝AC，故CG＝AC﹣AF﹣FG＝9．
【解析】∵三角形ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵∠AFD＝∠BFG，
∴△AFD∽△BFG，
∴＝，即＝，
∴FG＝7，
∵AD＝10，DF＝14，BF＝8，
∴AB＝32，
∴AC＝32，
∴CG＝AC﹣AF﹣FG＝32﹣16﹣7＝9；
故选：C．
10．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．
【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限，
设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得
解得．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11. 因式分解：8a2－2= ．
答案：2(2n+1)(2n-1)
解析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式进行分解即可．
12. 不等式组的解集为___________．
答案：－7≤x＜1，
解析：解不等式①得x＜1；解不等式②得x≥－7，所以不等式组的解集为－7≤x＜1．
13．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是
【答案】
【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．
运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．
【详解】解：列树状图如图所示，
共有9种情况，至少一辆车向右转有5种，
∴至少一辆车向右转的概率是，
14．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
∴，
∵菱形的面积为，
∴，
15．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连接，，则的值为
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，，再列式，因为，所以得，再解方程即可作答．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，及切线的判定和性质，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键．
【详解】解：根据题意可知，
把代入，得；
把代入，得；
∴，，
，
，
，
，
解得或（，故舍去），
答案：
16．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是

【答案】①②③
【分析】根据，设，得到，进而得到，求出的值，判定①，根据的面积是正方形面积的3倍，求出，进而得到，判断②；旋转得到，进而得到点在以为直径的半圆上，取的中点，连接，得到，判断③．
【详解】解：在中，，
∴设，则：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；故①正确；
若的面积是正方形面积的3倍，则：，
∴，即：，
∴或（舍去），
∴，
∴点F是的三等分点；故②正确；
∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴点在以为直径的半圆上，
取的中点，连接，则：，，

∴，
∴，
即：的最大值为；故③正确；
故答案：①②③．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求圆外一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：2sin30°﹣|1|+（）﹣2﹣（π﹣2020）0．
【分析】先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解析】原式＝22（1）+4﹣1
＝211+4﹣1
3．
18．如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接．
求证：
；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明；
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠可得，，，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．

请根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)参加本次问卷调查的学生共有______人．
(2)在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
(3)端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
【答案】(1)
(2)，作图见解析
(3)
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或画树状图法求概率；
（1）根据组的人数除以占比得出总人数；
（2）根据总人数求得组的人数，进而求得占比，以及补全统计图；
（3）根据列表法或画树状图法求概率，即可求解．
【详解】（1）解：参加本次问卷调查的学生共有（人）；
（2）解：A组人数为人
A组所占的百分比为：
补全统计图如图所示，

（3）画树状图法如下图

列表法如下图
A B C D
A
B
C
D
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．
∴P（选中的2个社团恰好是B和C）．
21．关于的方程＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，，存不存在这样的实数，使得＝？若存在，求出这样的值；若不存在，说明理由．
思路分析：（1）根据已知一元二次方程有两个不相等的实数根，得＞0，转化关于的不等式求解；（2）先由＝判定出、的符号相同，再由＝及（1）中的取值范围得到＞0，＞0，从而将＝中的绝对值符号化去，得到＝，两边平方转化成关于、的等式求解．
解：（1）根据题意，得＞0．
∴＞0．
解得＞，即实数的取值范围是＞．
（2）由根与系数关系，得＝，＝．
∵＝＞0，即＞0，
∴、同号．
∵＝，＞，
∴＞0．
∴＞0，＞0．
∵＝，
∴＝．
∴＝5，即＝5．
∴＝5．
解得＝4．
∵4＞，
∴的值为4．
22．机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成．如图，是淋水器安装模型，已知是（车轮）的直径，是上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的点相切（喷水嘴安装在车体上）．
(1)尺规作图：在上找一点D，连接，使，求证：直线与相切．
(2)在（1）的条件下，设射线与直线交于点，若，求机动车轮胎直径的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了复杂作图，掌握切线的判定与性质及三角函数的意义是解题的关键．
（1）根据“经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”进行作图，再利用切线的判定进行证明即可；
（2）根据三角形全等的性质及三角函数求解．
【详解】（1）如图：点即为所求；
证明：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
（2）解：是圆的切线，
，
，
是直径，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
．
23．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
(1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键．
（1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得；
（2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当 PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D，y '的顶点为点F．在新抛物线y '的对称轴上，是否存在点Q，使得 FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
思路分析：（1）首先求出A、E点的坐标，然后设出直线AE的解析式，并将A、E点的坐标代入，求得方程组的解，便可得到直线AE的解析式；
（2）由抛物线解析式求得C点坐标，则可得出直线CE的解析式；过点P作PH∥x轴，交CE于点H，设出P点坐标，可推出H点坐标，根据斜三角形面积公式“”可表示出 PCE的面积，并可计算出其面积最大时P点的坐标；分别作K关于CP、CD的对称点的对称点K1、K2，将KM +MN+KN即可确定出转化成一条线段，由“两点之间，线段最短”及勾股定理计算出其最小值即可；
（3）运用已知两定点时确定等腰三角形常用的方法“两圆一线”即可在抛物线y '的对称轴上找到符合条件的四个点，分别确定其坐标即可．
解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，且点E（4，n）在抛物线上，
∴，解得：x1＝－1，x2＝3，∴A，B两点的坐标分别为（－1，0），（3，0）；
＝，∴点E坐标为（4，）．
设直线AE的解析式的解析式为y＝kx+b，将A点、E点坐标分别代入，得：
，解得：，∴y＝x+；
（2）∵令x＝0，得y＝ ，∴点C（0，），∵点E坐标为（4，），∴直线CE的解析式为y＝，过点P作PH∥x轴，交CE于点H，如图，设点P的坐标为（，），则H（，），∴PH＝－（）＝，
∴，
∵，抛物线开口向下，，∴当＝2时，取得最大值，此时P为（2，）；
∵点C（0，），B（3，0），由三角形中位线定理得K（，），∵yC ＝yP＝，∴PC∥x轴，作K关于CP的对称点K1，则K1（，）；
∵，∴∠OCB＝60゜，∵D（1，0），∴，∴∠OCD＝
30゜，∴∠OCD＝∠BCD＝30゜，∴CD平分∠OCB，∴点K关于CD的对称点K2在y轴上，又∵CK＝OC＝ ，∴点K2与点O重合，连接OK1，交CD于点N，交CP于点M，如图，∴KM＝ K1M，KN＝ON，∴KM +MN+KN ＝ K1M +MN+ON，根据“两点之间，线段最短”可得，此时KM +MN+KN 的值最小，
∴K1 K2 ＝O K1＝，∴KM +MN+KN 的最小值为3；
（3）点Q的坐标为（3，），（3，），（3，），（3，）．
25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE．
（1）如图2，当t＝5s时，延长EP交边AD于点F．求证：AF＝CE；
（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当ts时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分∠AFP，求的值．
【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，再判断出CP＝AP，进而判断出△APF≌△CPE，即可得出结论；
（2）先判断出AF＝CE，PE＝PF，再用勾股定理得出AQ2+AF2＝QF2，即可得出结论；
（3）先判断出△FAQ≌△FPQ（AAS），得出AQ＝PQ＝t，AF＝PF，进而判断出PE＝CE，再判断出△CNE∽△CBA，得出CEt，在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，在Rt△BQE中，QE2＝BQ2+BE2，得出PQ2+PE2＝BQ2+BE2，∴t2+（t）2＝（6﹣t）2，进而求出t，即可得出结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理得，AC＝10，
由运动知，CP＝t＝5，
∴AP＝AC﹣CP＝5，
∴AP＝CP，
∵AD∥BC，
∴∠PAF＝∠PCE，∠AFP＝∠CEP，
∴△APF≌△CPE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）结论：AQ2+CE2＝QE2，
理由：如图2，
连接FQ，由（1）知，△APF≌△CPE，
∴AF＝CE，PE＝PF，
∵EF⊥PQ，
∴QE＝QF，
在Rt△QAF中，根据勾股定理得，AQ2+AF2＝QF2，
∴AQ2+CE2＝QE2；
（3）如图3，
由运动知，AQ＝t，CP＝t，
∴AP＝AC﹣CP＝10﹣t，
∵FQ平分∠AFE，
∴∠AFC＝∠PFQ，
∵∠FAQ＝∠FPQ＝90°，FQ＝FQ，
∴△FAQ≌△FPQ（AAS），
∴AQ＝PQ＝t，AF＝PF，
∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣t，∠FAC＝∠FPA，
∵∠DAC＝∠ACB，∠APF＝∠CPE，
∴∠ACB＝∠CPE，
∴PE＝CE，过点E作EN⊥AC于N，
∴CNCPt，∠CNE＝90°＝∠ABC，
∵∠NCE＝∠BCA，
∴△CNE∽△CBA，
∴，
∴，
∴CEt，
∴PEt，BE＝BC﹣CE＝8t，
在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，
在Rt△BQE中，QE2＝BQ2+BE2，
∴PQ2+PE2＝BQ2+BE2，
∴t2+（t）2＝（6﹣t）2+（8t）2，
∴t，
∴CP＝t，
∴AP＝10﹣CP，
∵AD∥BC，
∴△APF∽△CPE，
∴．
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福建省2025年初中学业水平考试猜题卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在实数，，0，，1.01010010001，中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（　）
A．B． C．D．
4．如图，已知，平分．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高：
身高 176 178 180 181 182 185
人数 1 2 3 2 1 1
下列说法正确的是（ ）
A．篮球队员身高的众数是 B．篮球队员的平均身高是
C．篮球队员身高的中位数是 D．篮球队员身高的方差是
7.如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．问：太仓去上林几何？”其大意为：驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里，现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．问：太仓距上林多少里？设太仓距上林里，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图1为一张正三角形纸片ABC，其中D点在AB上，E点在BC上．今以DE为折线将B点往右折后，BD、BE分别与AC相交于F点、G点，如图2所示．若AD＝10，AF＝16，DF＝14，BF＝8，则CG的长度为多少？（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11. 因式分解：8a2－2= ．
12. 不等式组的解集为___________．
13．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是
14．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是
15．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连接，，则的值为
16．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：2sin30°﹣|1|+（）﹣2﹣（π﹣2020）0．
18．如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接．
求证：；
先化简再求值：，其中．
20．为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．

请根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)参加本次问卷调查的学生共有______人．
(2)在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
(3)端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
21．关于的方程＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，，存不存在这样的实数，使得＝？若存在，求出这样的值；若不存在，说明理由．
22．机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成．如图，是淋水器安装模型，已知是（车轮）的直径，是上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的点相切（喷水嘴安装在车体上）．
(1)尺规作图：在上找一点D，连接，使，求证：直线与相切．
(2)在（1）的条件下，设射线与直线交于点，若，求机动车轮胎直径的长．
23．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
(1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当 PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D，y '的顶点为点F．在新抛物线y '的对称轴上，是否存在点Q，使得 FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE．
（1）如图2，当t＝5s时，延长EP交边AD于点F．求证：AF＝CE；
（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当ts时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分∠AFP，求的值．
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