2024-2025湖北省武汉市重点中学5G联合体高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市重点中学5G联合体高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是( )
A. B. C. D.
2.在四面体中，，，，，，则( )
A. B. C. D.
3.“两个向量与共线”是“，，成等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
6.数列满足，，则( )
A. B. C. D.
7.双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的值可能为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
10.已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点点在第一象限，，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则的最小值为
C. 若，则
D. 若，则直线的斜率为
11.在棱长为的正方体中，是的中点，下列说法正确的是( )
A. 若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值
B. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为
C. 若平面与正方体各个面所在的平面所成的角分别为，则
D. 三棱锥外接球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知数列满足，且若是数列的前项积，当取最大值时， ．
14.已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求并写出的表达式；
记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值．
16.本小题分
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动．
求线段的中点的轨迹的方程；
设圆与曲线的交点为、，求线段的长．
17.本小题分
如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，，点为中点，．
求证：平面；
已知点为线段的中点，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到焦点的最近距离为，是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点在的左侧，并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于．
求椭圆的标准方程；
若，直线与的斜率分别为与，求的值；
求证：．
19.本小题分
已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于．
分别判断数集与是否具有性质
证明：，且
当时，若，若数集具有性质，求数集．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.【详解】由，求导可得
由，解得，则．
，求导可得，
由得，故在处的切线斜率，
所以在处的切线方程为，化简可得，
令，解得，将其代入切线方程可得，
代入得，所以得，解得．

16.【详解】设点的坐标为，点的坐标为，
由于点的坐标为，且点是线段的中点，所以，，
于是有
因为点在圆上运动，即：，
把代入，得，整理，得，
所以点的轨迹的方程为．
将圆与圆的方程相减得：，
由圆的圆心为，半径为，
且到直线的距离，
则．

17.【详解】连接因为，且，所以，
因为，所以因为是棱的中点，所以．
因为平面，且，所以平面．
因为平面，所以．
由题意可得，则，所以．
因为平面，且，所以平面．
因为平面，所以．
因为，所以，所以．
因为平面，且，所以平面．
以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，．
从而，，．
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
因为平面，平面的法向量为．
设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角为的余弦值为．

18.【详解】由题意：．
所以椭圆的标准方程为：．
设过点的切线方程为：，即，
由，消去，得：，
整理得：，
由，
整理得，
整理得：，所以．
设，的延长线交轴于点，如图：
、两点处切线斜率分别为，则．
设过点的椭圆的切线方程为：，即，
由消去，
化简整理得：，
由得：
化简整理得：，
由韦达定理，得：，，
所以，，
所以要证明，只需证明：，
即
，
因为，所以上式成立，即成立．

19.【详解】由于与均不属于数集，
所以数集不具有性质．
由于，，，，，，，，，都属于数集，
所以数集具有性质．
数集具有性质，则与中至少有以一个属于，由于，所以，所以，从而，即，即
，所以
由数集具有性质，得
从而
由知，当时，
有，，即，
，，，
由具有性质可知．
由，得，
且，，
即，，，，是首项为，公比为等比数列，
即有集合．

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