2024-2025广东省五校高二下学期4月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省五校高二下学期4月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知在一次降雨过程中，某地降雨量单位：与时间单位：的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为 ．
A. B. C. D.
2.教学大楼共有层，每层都有东西两个楼梯，从一层到层共有种走法．
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
4.从数字，，，，，中任取个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
6.法国数学家拉格朗日于年在其著作解析函数论中给出了一个定理：若函数在闭区间上是连续不断的，在开区间上都有导数，则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”函数在区间上的“拉格朗日中值”( )
A. B. C. D.
7.若函数在上是单调函数，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，下列结论正确的是( )
A. 函数在区间单调递减 B. 函数在区间单调递减
C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值
10.下列说法正确的是( )
A. 可表示为
B. 若把英文“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种
C. 个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手次
D. 学校有个“市三好学生”名额，现分给个年级，每个年级至少一个名额，则有种分法
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线在点处的切线方程为，则
B. 若，则函数在上单调递增
C. 若，则函数在上的最小值为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数是 用数字作答
13.若直线是曲线的一条切线，则实数的值为 ．
14.已知某商品的日销售量单位：套与销售价格单位：元套满足的函数关系式为，其中，为常数．当销售价格为元套时，每日可售出套．
实数 ；
若商店销售该商品的销售成本为每套元只考虑销售出的套数，当销售价格 元套时精确到，日销售该商品所获得的利润最大．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
求在上的最小值和最大值．
16.本小题分
已知，．
求的值；
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列．
求；
求展开式中的常数项；
求展开式中系数最大的项．
18.本小题分
已知函数，其中是自然常数．
讨论函数的单调性；
若，对恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间；
若函数恰有一个零点，则的取值范围为______只需写出结论
参考答案
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15.解：所以，
令，解得或，令，解得，
所以的增区间为，减区间为；
令，解得或，
由得单调递增，单调递减，单调递增，
又，
，
，
，所以

16.解：二项式展开式的通项为：且，
所以，所以．
令，得，
令，得，
所以．
因为展开式的通项为且，
所以当为奇数时，项的系数为负数．
所以，
令，得，
．

17.解：的展开式中的前三项为：，，，其系数分别为：，故由，解得或，由于不符题意，所以，；
当时，，为常数项的充要条件为，所以，，故常数项为；
由知，第项的系数分别为：；
由题意，得或
展开式中系数最大的项为和

18.解：函数的定义域为，且，
时，，在上单调递增；
时，令，得，
令，得，
所以在单调递减，单调递增．
综上：时，在上单调递增
时，在单调递减，单调递增；
由题得对恒成立，
令，，则，
设，，
则，
因为，所以．
因为，所以．
所以在上单调递增，
所以．
当时，，
所以在上单调递增，
所以恒成立，
即，对恒成立，故满足题意；
时，，，
因为在上单调递增，
所以使．
当时，，当时，，
所以在单调递减，单调递增，
所以使，
所以不符合题意．
综上所述，．
故实数的取值范围是．
19.解：由题设，则，
所以，，故曲线在点处的切线方程为．
由，
当时，，则时，时，
所以在上递减，上递增；
当时，令，可得或，
若，即时，、上，上，
所以在、上递增，上递减；
若，即时，在上恒成立，即在上递增；
若，即时，、上，上，
所以在、上递增，上递减；
综上，，在上递减，上递增；
，在、上递增，上递减；
，在上递增；
，在、上递增，上递减；
由，当时，，而趋向、时趋向于，
所以，在、各有一个零点，共两个零点，不合题设；
当时，，
在上，趋向时趋向于，
所以，此时在有一个零点，满足题设；
当时，极大值，极小值，趋向时趋向于，
所以，在有一个零点，满足题设；
当时，，趋向时趋向于，
所以，在上有一个零点，满足题设；
当时，极大值，极小值，趋向时趋向于，
所以，在上有一个零点，满足题设；
综上，函数恰有一个零点，．

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