2024-2025广东省佛山市南海中学高一（下）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省佛山市南海中学高一（下）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4.在中，点在线段上，且，是线段的中点，则( )
A. B. C. D.
5.设函数与函数，，的图像在内交点的横坐标依次是、、，且，则实数( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.三角板是一种用于几何绘图和测量的工具如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台处，到楼地面底部点的距离为，假设电视塔底部为点，塔顶为点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点，且，，三点共处同一水平线，在处测得阳台处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台处测得电视塔顶处的仰角，假设，和点在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，可以作基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是( )
A. B. C. D.
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是( )
A. 若，，则
B. 若是锐角三角形，则
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若为非直角三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______．
13.已知，都是锐角，且，，则 ______．
14.已知平面向量，，满足，，，其中，且，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，．
若与同向，求的坐标；
若，求与的夹角．
16.本小题分
如图，在中，，，，点，满足，，边上的中线与交于点设，．
用向量，表示，；
求的大小．
17.本小题分
记内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
若，求的面积．
18.本小题分
已知函数的部分图像如图所示，且，的面积等于．
求函数的解析式；
将图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若对于任意的，，当时，恒成立，求实数的最大值．
19.本小题分
类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系：设数轴、的交点为，与、轴正方向同向的单位向量分别是、，且与的夹角为，其中，由平面向量基本定理：对于平面内的向量，存在唯一有序实数对，使得，把叫做点在斜坐标系中的坐标，也叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，在平面斜坐标系内，直线的方向向量与直线平行的向量、法向量与直线垂直的向量、点方向式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如时，方程表示斜坐标系内一条过点，且方向向量为的直线．
若，，，求；
若，已知直线，求的一个法向量．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.
16.解：由，可知，，，
则，，所以；
又为边上的中线，
所以．
由，得，，又，
所以与的夹角为，则．
由图形可知，的大小等于向量与的夹角．
又
，
，
，
，
又，
．
17.解：在中，，
由余弦定理得，结合，可得．
所以，解得，结合，可得；
由得，
由正弦定理，可得．
所以的面积．
18.解：由题意可得，
，
所以，由，解得，
所以，
图像过点，则，
又因为，
所以，
所以，
由题意可得，
设
，
，，当时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
在区间上单调递减，
令，解得，
因为，所以，则，
故，解得，
所以最大值为．
19.
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