湖北省武汉市部分重点学校2024-2025高一下学期期中联考数学试题（含答案）

武汉市部分重点中学2024－2025学年度下学期期中联考
高一数学
本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.
考试时间：2025年4月14日下午14：00－16：00
祝考试顺利
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.的值是（ ）
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.若，则（ ）
A. B. C. D.
5.若（，是虚数单位），则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则的取值为（ ）
A.2025 B.1012 C.1350 D.1348
8.已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9.如图，是的斜二测画法的直观图，，，则在原平面图形中，有（ ）
A. B. C. D.
10.已知平面向量，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.与的夹角为
C. D.的最大值为
11.已知复数，，则（ ）
A.若，互为共轭复数，则为实数 B.若，则或
C.若，则 D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知复数满足，则______.
13.将函数的图象向右平移个单位后，所得到的函数图象关于轴对称，则______.
14.我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）.类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的钝角三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形.已知，若，则的值为______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
（1）计算：
（2）若对于复数，为其共轭复数，其满足，求，并指出在复平面对应的点位于第几象限？
16.（本小题满分15分）
设内角，，所对的边分别为，，，已知，，且.
（1）求的面积；
（2）若为角的平分线，交于，求的长度.
17.（本小题满分15分）
已知平面向量，，其中，是夹角为的单位向量.
（1）当，求与夹角的余弦值；
（2）若与夹角为钝角，求的取值范围.
18.（本小题满分17分）
某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地进行改造.如图所示，矩形区域为活动区域，已知扇形的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大.一种方案是将矩形的一边放在上，另外两个顶点，分别在弧和上，其中（如图2所示）；
（1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值；
（2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点，在弧上，另外两个顶点，分别在和上，有（如图3所示）.比较两种方案，哪种方案更优？
19.（本小题满分17分）
斯特瓦尔特（Stewart）定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论.根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：
设中，点在边上，有.
（1）若，，，为中点，求；
（2）当为角平分线时，利用斯特瓦尔特定理证明：；
（3）在内，为的角平分线，点在线段上，，，，求的值.
（角平分线定理：在中，若为角平分线，在上，则有：）
武汉市部分重点中学2024－2025学年度下学期期中联考
高一数学试卷参考答案与详解
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A B A C D C C ABD BCD ACD
12. 13. 14..
15.【答案】
（1）
（2）；第一象限.
【详解】
（1）
（2）设，，，得；，得，，故在第一象限.
16.【答案】
（1）；
（2）角平分线的长度为.
【详解】
（1）由余弦定理：
代入已知条件、、：
化简得：
（2）得
代入已知、、（即）：
角平分线的长度为.
17.【答案】
（1）
（2）且
【详解】
（1）由已知，，，是夹角为的单位向量，
所以，
又，则，
所以，
又，
所以.
（2）若与的夹角为钝角，则且，不共线，
所以，且，
，且，所以且.
18.【答案】
（1）平方米；（2）方案一更优
【详解】
（1）连接，设，，
由条件知，，，，
在中，，得，
知，
，
因为，所以当时，矩形面积的最大值为平方米；
（2）如图，根据对称性转化为求中心角度为的扇形内接矩形面积最大值.
连接，设，，
由条件知，，，
，在中，，得，
知，
因为，
所以时，圆心角为扇形中截面积最大值为平方米；
，因为方案一内接矩形面积更大，最大值为，故方案一更优.
19.【答案】
（1）；（2）见详解；（3）3
【详解】（1）由斯特瓦尔特定理，
，得.
（2）由角平分线定理可知：
，故，；
由斯特瓦尔特定理，
得.
整理得.
（3）令，，令.易知，
由第二问知；
根据斯特瓦尔特定理可得
由角平分线定理可知
，，
代入上式得
由此得
故