2024-2025山东省潍坊第一中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省潍坊第一中学高一下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.若，则下列各式中正确的有的个数是( ) ；；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.在区间范围内，与终边相同的角是( )
A. B. C. D.
4.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作九章算术中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示若圆柱材料的截面圆的半径长为，圆心为，墙壁截面为矩形，且劣弧的长等于半径长的倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是( )
A.
B.
C.
D.
5.化简的结果是( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.角的终边与单位圆交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 与的面积之比为
10.已知，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D.
11.有下列说法其中正确的说法为( )
A. 若，则
B. 设点在所在平面内，若，且，则
C. 两个非零向量，若，则与共线且反向
D. 若分别表示的面积，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与向量方向相反的单位向量是 ．
13.已知角终边上一点坐标，则 ．
14.化简： ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简下列各式
若，化简；
若，化简．
16.本小题分
已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．
求实数的值；
若，，求；
已知点，在的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
17.本小题分
玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人如图，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图所示的扇形环面由扇形挖去扇形后构成已知该扇形玉雕壁画的周长为厘米．

若厘米求该扇形玉雕壁画的曲边的长度；
若求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值．
18.本小题分
化简．
已知，若角的终边与角关于轴对称，求的值．
19.本小题分
在等腰梯形中，，，，设，，取，为基底，若点是梯形内部含边界上一点，且
设，求，的值；
当时，求的最小值；
若，求证的面积为定值，并求出这个定值．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】若，则，，
所以
．
若，则，，
所以
．

16.【详解】，
当三点共线时，存在实数，使得，
即，
即，解得．
由可知，
，
．
，，
，
设，，
，
在平行四边形中，，即，解得
．

17.解：设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米，
因为，所以，所以 ，
因为厘米，所以厘米，
因为该扇形玉雕壁画的周长为厘米，所以，
所以，解得，即弧的长度为厘米；
因为，所以，所以，
则扇形的面积，扇形的面积，
故该扇形玉雕壁画的扇面面积 ，
因为该扇形玉雕壁画的周长为厘米，
所以所以，
则，从而，当且仅当时，等号成立，
故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为平方厘米．

18.【详解】
；
因为，，可得，
由得，
，
所以，可得或，
因为，所以舍去，
由，得
若角的终边与角关于轴对称，
则，，
．

19.【详解】根据题意有，
，，
，
又，，由，
即，
所以，，则，；
在等腰梯形中，，，，
过点作，过点作，则有，则，得，
所以，
，
当且仅当时，有最小值，此时，
满足条件的点在梯形内部．
，
当时，，
所以，从而动点在过点且与平行的直线上，设过点且与平行的直线与交点，
过点作，由，，
所以
所以的面积为定值，所以．

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