2025年湖南省株洲十三中高考数学模拟试卷（3月份）（含答案）

2025年湖南省株洲十三中高考数学模拟试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮如图所示，大轮有个齿，小轮有个齿，小轮每分钟转圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知等差数列的公差不为，前项和为，若，，则( )
A. B. 数列最小项是
C. 的最小值是 D. 当时，
6.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用局胜制先胜局者胜，比赛结束，已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以：获胜的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知点为椭圆上一点，，分别为的左，右焦点若半径为的圆与的延长线切于点，与的延长线切于点以及与线段切于点若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程恰有个不同的解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最大值为
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于轴对称
10.如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. ，，三线不共点
C. 与平面所成角为
D. 设，则多面体的体积为
11.在如图所示的方格图中，去掉以下哪一个方格，剩下的方格图能用总共个或的矩形方格图完全覆盖( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，满足，则 ______．
13.已知，，成等差数列，若直线：与曲线相切，则 ______．
14.从，，，，中任意选取四元数组，满足，则这样的四元数组的个数为______用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，分别是角，，的对边，的面积．
证明：；
若为的平分线，交于点，且，，求的长．
16.本小题分
已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，两点，且点到抛物线的准线的距离为．
求抛物线的方程；
已知为坐标原点，直线的斜率为，的面积为，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点．
证明：平面．
若，直线与平面所成角的正弦值为．
求四棱柱的体积；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值；
若函数存在唯一极值点，求的取值范围；
若函数存在极大值，记作，求证：．
参考结论：当时，，这里表示从的右边逼近，表示从的左边逼近
19.本小题分
材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系该公式为：设，，，是一组两两互斥的事件，，且，，，，，则对任意的事件，，有，，，．
材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用其数学定义为：假设我们的序列状态是，，，，，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即
请根据以上材料，回答下列问题．
已知德国电车市场中，有的车电池性能很好公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；结果精确到
为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动活动规则如下：有个排成一行的格子，编号从左至右为，，，，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为或者的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束若小球最终停在号格子，则赢得百欧元的购车代金券；若小球最终停留在号格子，则客户获得一个纪念品记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第个格子一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第个格子，求他获得代金券的概率．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
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16.

17.
18.解：函数，则且，
则，
曲线在点处的切线方程为，
令，则，
由题意得，解得；
解：存在唯一极值点等价于方程在上有唯一解．
设，，
则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，当时，，
在上的值域为，在上的值域为，
故只需，解得，即实数的取值范围为；
证明：设，
当时，，，，
存在使得，
即当时，，当时，，
在，上单调递增，在，上单调递减，
存在极大值为，极小值为，不符合题意；
当时，由知，存在唯一的零点，
则在，上单调递减，在上单调递增，
存在极小值为
故若存在极大值，则，且，
有，，得，即，即，
则，
令，，则，
在上单调递增，
，即．
19.解：记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司，
由全概率公式知：，
故所求概率为；
记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第个格子，
事件表示小球向右走一格．小球开始于第格，此时的概率为，则下一步小球向左或向右移动，
当小球向右移动，即可理解为小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于，
即由题知，，
又，故，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
即：，
即：，
，
，
故，
，
则，
故这名顾客获得代金券的概率为．
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