江苏省无锡市江阴市长泾中学2024-2025高一（下）段考数学试卷（3月份）（图片版含答案）

2024-2025 学年江苏省无锡市江阴市长泾中学高一（下）3 月段考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.若复数 = 1+ ，则下列结论中不正确的是( )
A. 的虚部为 1 B. | | = 2
C. 2为纯虚数 D. 的共轭复数为 1
2.在△ 中，若 = 5 2， = 10， = 30°，则 =( )
A. 15°或 105° B. 45°或 105° C. 15° D. 105°
3.△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 2 = ，则△ 的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
4.一艘游轮航行到 处时看灯塔 在 的北偏东 75°，距离为 12 6海里，灯塔 在 的北偏西 30°，距离为 12 3
海里，该游轮由 沿正北方向继续航行到 处时再看灯塔 在其南偏东 60°方向，则此时灯塔 位于游轮的( )
A.正西方向 B.南偏西 75°方向 C.南偏西 60°方向 D.南偏西 45°方向
5 1.已知单位向量 ， 满足 = 4，且 = 2 +
，则 sin < ， >=( )
A. 55 3 6 10 38 B. 8 C. 8 D. 8
6.在△ 中， 为 上的中线， 为 的中点， ， 分别为线段 ， 上的动点(不包括端点 ， ， )，
且 ， ， 三点共线，若 = ， = ，则 + 4 的最小值为( )
A. 3 B. 52 2 C. 2 D.
9
4
7.已知点 ， ， 在△ 所在平面内，且 + + = 3 ,
2 2 2= = ， = =
，则点 ， ， 依次是△ 的( )
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
8 1 1.如图，在梯形 中， = = 2 = 1 且 ⊥ ， 为以 为圆心 为半径的4圆弧上的一动点，
则 ( + )的最小值为( )
A. 3 2 2
B. 3 3 2
C. 3 4 2
D. 3 5 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A. + 2 + 3 + 4 = 0
B.复数 = 3 的模为 10

C.若 = (1 + 2 )2，则复平面内 的虚部为 4
D.已知复数 满足| 1| = | + 1|，则 在复平面内对应的点的轨迹为直线
10.下列命题中正确的是( )
A.两个非零向量 ， ，若| | = | | + | |，则 与 共线且反向
B.已知 ≠ 0，且 = ，则 =

C.若 = (3, 4)， = (6, 3)， = (5 , 3 )，∠ 为锐角，则实数 的取值范围是 > 34
D.若 > | |2，则△ 为钝角三角形
11 .已知△ 中， = 4， = 3 .下列说法中正确的是( )
A.若△ 是钝角三角形，则 0 < < 2
B.若△ 是锐角三角形，则 2 3 < < 4 3
C. 2 3 的最大值是 3
D. + 2 的最小值是 2 + 4 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12 1.已知虚数 满足： + 为实数，则 = ______．
13 △ 1 1.已知点 是 所在平面内的一点，若 = + ，则 △ 4 2 =______．△
14.在边长为 3的等边△ 中， 在 9边上，延长 到 ，使得 = 2，若
= + ( 32 )
= (其中 为常数)，则 = ______. = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 , , ，且 = ( 2,1)．
(1)若 / / ，且| | = 25，求向量 的坐标；
(2)若 = (3,2)，求 在 方向的投影向量(用坐标表示)．
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16.(本小题 15 分)
已知 ∈ ，复数 1 = 1 + = 1
+2
， 2 , 3 = 1 在复平面上对应的点分别为 、 、 ， 为坐标原
点．
(1)求| 1 + 2|的取值范围；
(2)当 、 、 三点共线时，求三角形 的面积．
17.(本小题 15 分)
已知在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且满足 + = 2 ．
(1)求角 ；
(2)若 点在线段 上，且 平分∠ ，若 = 2 ，且 = 3，求△ 的面积．
18.(本小题 17 分)
已知梯形 中， = 2 ， = = 2，∠ = 60°， 为 的中点，连接 ．
(1)若 = 4 ，求证： ， ， 三点共线；
(2)求 与 所成角的余弦值；
(3)若 为以 为圆心、 为半径的圆弧 (包含 ， )上的任意一点，当点 在圆弧 (包含 ， )上运动时，
求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，在平面四边形 中，点 与点 分别在直线 的两侧， = = 2．
(1)已知 = 2，且 = ，
( ) cos∠ = 2当 3时，求△ 的面积；
( )若∠ = 2∠ > 2，求∠ ．
(2)已知 = 2 ，且∠ = 4，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.1
13.12
14.3 32 2
15.解：(1)设 = ( , ), = ( 2,1)，
∵ // ，
∴ = 2 ，
又| | = 25，
∴ 2 + 2 = 625，
∴ 2 = 125，
∴ =± 5 5，
∴ = 10 5 = 10 5或 ，
= 5 5 = 5 5
∴ = ( 10 5, 5 5)或(10 5, 5 5)；
(2) = 6+ 2 = 4，
∴ = 4 = 4 13，
| | 13 13
∴ 在 12 8上的投影向量为( 13 , 13 )．
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16.解：(1)因为 1 + 2 =
2
， ∈ ，
所以| 2 4 2 41 + 2| = + 2 ≥ 2 × 2 = 2，当且仅当 =± 2时等号成立，
故| 1 + 2|的取值范围是[2, + ∞)．
(2) 2由题意有 ( 1,1)， (1, 1 )， ( 1,0)三点共线，
1+2
∴ =
1
，即

= 2，解得 = 4，
∴ ( 5,1)， (1, 12 )，即
= ( 5,1)， = (1, 12 )，

11
cos∠ =
11
所以 2
| ||
= = ，
| 26× 5 26× 54
∴ sin∠ = 326× 5，
1所以 △ = | || 2
|sin∠
= 12 × 26 ×
5 3 3
2 × 26× 5 = 4．
17.解：(1) + = 2 ，
则由正弦定理可得， + = 2 ，即 sin( + ) = 2 ，
∵ sin( + ) = 2 ，
∴ = 2 ，
∵ 0 < < ，
∴ = 1 2，即 = 3．
(2) 点在线段 上，且 平分∠ ，
∠ = ∠ = 则 6，
设 = ， = ， = ，
则 = 2 ，
= = 3 = 3 = 2 由正弦定理可得， sin∠ ， sin∠ ，即 1， 1 ，
2 2

则 = = 2，
2+(2 )2 ( 3)2 2+(3 )2 2
由余弦定理可得， = 2 2 22 2 = 2 3 ，解得 6 + 2 9 = 0，
又 = 2 ，
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则 2 = 2 32，
2+ 2 (3 )2 1 2+4 2 9 2+
27
cos∠ = = 2 = 1 = 32 2，即 4 2 2，解得 2，
则 = 3，
故△ 1的面积为2 =
1 × 3 3 9 32 2 × 3 × 2 = 8 ．
18. 1证明：(1)如图 1，∵ = + = + 2 ，
= + = 1 + 1 12 5 = 2
+ 1 5 ( +
) = 1 + 1 ( 1 2 1 2 5 2 + ) = 5 + 5
，
∴ = 2 5 ，∴ ， ， 三点共线．
解：(2)如图 1，∵ | |2 =
2
= ( + 1
2
)2 = + + 1
2
2 4 = 4 + 2 × 2 × 60° + 1 = 7，
∴ | | = 7，
∵ = + = 1 2 ，
∴ | 2
2
| = = ( 1 2 1
2 2
2 ) = 4
+ = 1 2 × 2 × 60° + 4 = 3，
∴ | | = 3，
= ( 1
2 2
2
) ( + 12
) = 1 1 3 2 2 4
= 1 1 32 × 4 2 × 4 4 × 2 × 2 × 60° =
3
2，

∴ cos < , >= 21
| ||
= ．
| 14
(3)如图 2，∵ = , = ，
∴ = ( ) ( ) =
2
+ ( + )，
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∠ = , ∈ [0, ] ∠ = 设 3 ，则 3 ，
= 2 × 2 × cos 3 + 4 2 × 2 × 2 × 2 × cos(

3 ) = 6 4 4(cos

3 +
sin 3 ) = 6 4 3sin( +

3 )，
∵ ∈ [0, 3 ]， +

3 ∈ [

3 ,
2
3 ]，
∴ 当 + 3 = 2，即 = 6时， 取最小值 6 4 3．
2
19.解：(1)( )设 = 2 4 2，在△ 中，由余弦定理得 cos∠ = 2 = ，解得3 = 6，2
在△ 中， = = 2，则底边 上的高 = 2 ( 12 )
2 = 4 32 =
10，
2
所以△ 的面积 1△ = 2 =
1 × 6 × 10 = 15．2 2 2
( )设∠ = ，依题意，∠ = ∠ = 12 2∠ =

2 ，
则 = = 2 ∠ = 4 ， = 2 ∠ = 8 = 2 ，即 2 = 12，而2 < 2 < ，
5
所以∠ = 2 = 6．
(2)连接 ，△ 中， = 2 ，∠ =

4，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 4 =
2 + 2 2 2 2 2 2，2 =
则 = ，∠ = 2，设∠ = (0 < <

2 )，在△ 中， = = 2，
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于是 = = 2 ∠ = 4 ，在△ 中，∠ = 2 + ，
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ∠ ，

则 2 = 16 2 + 4 8 2 ( 2 + ) = 16
2 + 4 + 16
= 8 2 + 8( 2 + 1) + 4 = 8 2sin(2 + 4 ) + 12 ≤ 8 2 + 12，

当且仅当 2 + 4 = 2，即 = 8时取等号，

所以当 = 8时， = 4(1 + 2)2 = 2 + 2 2，
所以 的最大值是 2 + 2 2．
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