专题训练3 构造函数问题 (原卷版+解析版)

专题训练3　构造函数问题
一、单项选择题
1．已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，且f(x)＋(x－1)f′(x)>0，则(　C　)
A．f(1)＝0 B．f(x)<0
C．f(x)>0 D．(x－1)f(x)<0
解析：令g(x)＝(x－1)f(x)，则g′(x)＝f(x)＋(x－1)f′(x)>0，所以g(x)在R上是增函数．又因为g(1)＝0，
所以当x>1时，g(x)＝(x－1)f(x)>0；
当x<1时，g(x)＝(x－1)f(x)<0，
所以当x≠1时，f(x)>0，
又f(1)＋(1－1)f′(1)＝f(1)>0，
所以A，B，D错误，C正确．
2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(m－2 024)>(m－2 024)f(1)，则实数m的取值范围是(　D　)
A．(0，2 024) B．(2 024，＋∞)
C．(2 025，＋∞) D．(2 024，2 025)
解析：设g(x)＝，则g′(x)＝<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f(m－2 024)>(m－2 024)f(1)，
且函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以m－2 024>0，所以m>2 024，
所以＞，
即g(m－2 024)>g(1)，
所以m－2 024<1 m<2 025.
综上可得，2 0243．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　D　)
A．(－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，3)
解析：令F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)，当x＜0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，
则当x<0时，F(x)为增函数．∵f(x)为定义在R上的奇函数，g(x)为定义在R上的偶函数，∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，∴F(x)为定义在R上的奇函数．故当x>0时，F(x)仍为增函数且F(0)＝0.
又F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0，所以F(3)＝－F(－3)＝0.根据F(x)＝f(x)g(x)的性质，可作出F(x)的大致图象．如图：
∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3).
4．已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是(　D　)
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．c＜a＜b
解析：设g(x)＝，g′(x)＝，因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以函数g(x)＝在(0，＋∞)上单调递减．因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以c＝＝.a＝g(e)，b＝g(ln 2)，c＝g(3).因为3>e>ln 2，所以g(3)5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＋f′(x)>2，f(0)＝5，则不等式f(x)－3e－x>2的解集为(　A　)
A.(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(1，＋∞)
解析：因为f(x)＋f′(x)>2，所以构造函数g(x)＝exf(x)－2ex，g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－2]>0，所以g(x)在R上单调递增，g(0)＝f(0)－2＝3.因为f(x)－3e－x>2，所以exf(x)－2ex>3，即g(x)>3＝g(0)，所以x>0.故选A.
6．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，满足tan x·f′(x)＞f(x)，a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系正确的是(　A　)
A．aC．b解析：根据题意，tan x·f′(x)＞f(x) tan x·f′(x)－f(x)＞0，变换可得，
tan x＞0 tan x[f′(x)－]＞0 ＞0，
分析可得，若x∈，则cos x>0，
故>0，所以函数g(x)＝在上单调递增，
所以＜＜，
即2f＜f＜f，
即f＜f＜f，
即a＜b＜c.
二、多项选择题
7．若f(x)满足f′(x)＋f(x)>0，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是(　BD　)
A．f(a)B．e2af(a)>f(－a)
C.f(a)>f(0)
D．f(a)＞
解析：设h(x)＝exf(x)，
则h′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)].
因为f′(x)＋f(x)>0，
所以h′(x)>0，h(x)在R上是增函数．
因为a是正实数，所以a<2a，
所以eaf(a)即f(a)又ea>1，故f(a)，f(2a)大小不确定，故A错误；
因为－a＜a，所以e－af(－a)＜eaf(a)，
即e2af(a)> f(－a)，故B正确；
因为a>0，所以eaf(a)>e0f(0)＝f(0)，
即f(a)>，又ea>1，所以f(a)，
f(0)大小不确定，故C错误，D正确．
8．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)·ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则(　BCD　)
A．3f(2)>2f(3)
B．f(1)C．f(x)在x＝1处取得极小值
D．f(x)无极大值
解析：设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝＝＝′，可设g(x)＝＋c(c为常数)，则g(1)＝＝e＋c＝0，解得c＝－e，故g(x)＝－e，即f(x)＝ex－ex，令g′(x)>0，则x>1，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故g(2)0，解得x>1，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(1)三、填空题
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝3，对 x∈R恒有f′(x)<2，则f(x)≥2x＋1的解集为(－∞，1]．
解析：令F(x)＝f(x)－2x－1，则F′(x)＝f′(x)－2.又因为对 x∈R恒有f′(x)<2，所以F′(x)＝f′(x)－2<0恒成立，所以F(x)＝f(x)－2x－1在R上单调递减．又F(1)＝f(1)－2－1＝0，所以F(x)≥0的解集为(－∞，1].
10．已知f(x)是定义在上的函数，其导函数为f′(x)，f＝2，且当x∈时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，则不等式f(x)sin x<3的解集为．
解析：因为当x∈时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，所以[f(x)sin x]′＞0，
x∈，令g(x)＝f(x)sin x，
则当x∈时，g′(x)＞0，故g(x)在上单调递增．因为f＝2，
所以g＝fsin ＝3，所以不等式f(x)sin x<3，即g(x)因为g(x)在上单调递增，
所以0＜x＜，
所以原不等式的解集为.
11．设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x，则不等式(x－2 024)2f(x－2 024)－4f(2)≤0的解集为(2 024，2 026]．
解析：因为函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且有2f(x)＋xf′(x)＞x，
所以2xf(x)＋x2f′(x)>x2.
设函数g(x)＝x2f(x)，
则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又因为(x－2 024)2f(x－2 024)－4f(2)≤0，即(x－2 024)2f(x－2 024)≤22f(2)，
所以g(x－2 024)≤g(2)，
则即2 024即不等式的解集为(2 024，2 026].
12．已知f(x)是定义域为R的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则不等式xf(x)>0解集为(－1，0)∪(0，1)．
解析：令g(x)＝，
则g′(x)＝.
因为x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，
则当x>0时，g′(x)＝＜0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f(x)为奇函数，即f(－x)＝－f(x)，
则g(－x)＝＝＝g(x)，
故g(x)为偶函数且在(－∞，0)上单调递增．
因为f(－1)＝0，故g(－1)＝g(1)＝0，
作出g(x)的大致图象如图所示，
由xf(x)>0 x2g(x)>0 g(x)>0，
由图可知，－1四、解答题
13．已知函数f(x)＝x2－2a ln x＋(a－2)x，是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>a恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x，都有＞a恒成立，不妨设0∵＞a，
∴f(x2)－ax2>f(x1)－ax1.
令g(x)＝f(x)－ax，则g(x2)>g(x1)，
则由此可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(x)＝x2－2a ln x＋(a－2)x－
ax＝x2－2a ln x－2x，则g′(x)＝x－－2＝＝，
由此可得g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
只需－1－2a≥0，解得a≤－，
故存在满足题意的实数a，
且a的取值范围是.
14．已知函数f(x)＝x－k ln x，k为常数．
(1)若函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y＝－2x＋3，求f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝xf(x)在区间(e，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1－.
因为函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y＝－2x＋3，
则有f′(1)＝1－k＝－2，解得k＝3，
从而有f′(x)＝1－＝.
当0当x>3时，f′(x)>0，即f(x)在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(3，＋∞)，
单调递减区间是(0，3).
(2)因为函数g(x)＝xf(x)＝x2－kx ln x在区间(e，＋∞)上是增函数，则g′(x)＝2x－k(1＋ln x)≥0对x∈(e，＋∞)恒成立；即k≤对x∈(e，＋∞)恒成立．
令h(x)＝，x∈(e，＋∞)，
则h′(x)＝＞0，即函数h(x)＝在(e，＋∞)上单调递增，
所以 x∈(e，＋∞)，h(x)＞h(e)＝e.
于是得k≤e，
所以实数k的取值范围是(－∞，e].
15．(2024·贵州六盘水高二期末)已知函数f(x)＝＋ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个不相同的零点x1，x2，求证：x1x2>a2.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，
①当x>a时，f′(x)>0，所以f(x)在(a，＋∞)上单调递增；
②当0综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．
(2)证明：由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，至多有1个零点，不符合题意；
当a>0时，f(x)在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，所以f(a)为函数的极小值，因为f(x)有两个不相同的零点，则f(a)<0，不妨设x1a2，即证x1>，因为x1，∈(0，a)，f(x)在(0，a)上单调递减，所以只要证f>f(x1)即可．
又f(x1)＝f(x2)＝0，即证f>f(x2).
设函数F(x)＝f－f(x)＝－－2ln x＋2ln a(x>a)，
所以F′(x)＝>0，所以F(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以F(x2)>F(a)＝0，所以f>f(x2)成立，从而x1x2>a2成立．专题训练3　构造函数问题
一、单项选择题
1．已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，且f(x)＋(x－1)f′(x)>0，则(　　)
A．f(1)＝0 B．f(x)<0
C．f(x)>0 D．(x－1)f(x)<0
2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(m－2 024)>(m－2 024)f(1)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，2 024) B．(2 024，＋∞)
C．(2 025，＋∞) D．(2 024，2 025)
3．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)
A．(－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，3)
4．已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．c＜a＜b
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＋f′(x)>2，f(0)＝5，则不等式f(x)－3e－x>2的解集为(　　)
A.(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(1，＋∞)
6．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，满足tan x·f′(x)＞f(x)，a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．aC．b二、多项选择题
7．若f(x)满足f′(x)＋f(x)>0，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是(　　)
A．f(a)B．e2af(a)>f(－a)
C.f(a)>f(0)
D．f(a)＞
8．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)·ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则(　　)
A．3f(2)>2f(3)
B．f(1)C．f(x)在x＝1处取得极小值
D．f(x)无极大值
三、填空题
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝3，对 x∈R恒有f′(x)<2，则f(x)≥2x＋1的解集为 ．
10．已知f(x)是定义在上的函数，其导函数为f′(x)，f＝2，且当x∈时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，则不等式f(x)sin x<3的解集为 ．
11．设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x，则不等式(x－2 024)2f(x－2 024)－4f(2)≤0的解集为 ．
12．已知f(x)是定义域为R的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则不等式xf(x)>0解集为 ．
四、解答题
13．已知函数f(x)＝x2－2a ln x＋(a－2)x，是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>a恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
14．已知函数f(x)＝x－k ln x，k为常数．
(1)若函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y＝－2x＋3，求f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝xf(x)在区间(e，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．
15．(2024·贵州六盘水高二期末)已知函数f(x)＝＋ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个不相同的零点x1，x2，求证：x1x2>a2.