2025届九师联盟高三3月质量检测数学试卷（含答案）

2025 届九师联盟高三 3 月质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.若复数 = ，则 的虚部为( )
2+3
3 3 3 2
A. B. C. D.
13 13 13 13
2.已知集合 = { | 2 2 5 ≥ 0}， = { 2, 1,0,3,4}，则 ∩ =( )
A. { 2} B. {3,4} C. { 2,4} D. { 2,3,4}
3.已知向量 = (1, 4)， = (4,2)，若| + | = | |，则| | =( )
A. 5 B. 3 C. √ 5 D. √ 3

4.已知函数 ( ) = sin + cos 的图象关于点( , 0)对称，则 ( )的最大值为( )
6
√ 3 2√ 3
A. 1 B. 2 C. D.
3 3
2 2
5.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过 1且垂直于 轴的直线 与 交于 ，
两点，若△ 2为等边三角形，则 的离心率等于( )
A. √ 2 B. √ 3 C. 2 D. √ 5
1 2
6.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若sin = sin ，cos = ，△ 的面积为2√ 5，则△
3 3
的周长为( )
A. 8 + 2√ 6 B. 11 C. 8 + 2√ 7 D. 8 + 4√ 3
2
, 0,
1
7.设 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数，例如：[ 3.7] = 4，[2.3] = 2.已知函数 ( ) = 4 , 0 < ,3
1 1 1( ) 3 1, > ,
{ 4 3
则 = [ ( )]的值域为( )
A. { 1,0,1} B. { 1,0,1,2} C. {0,1,2} D. {0,1}
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8.如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形， ⊥ ， = = 2，∠ = 120 ，若三棱
锥 的四个顶点均在球 的表面上，则球 的表面积为( )
20√ 5 20
A. B. 20√ 5 C. D. 20
3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ( , 0)，准线为 ，过 上一点 作 ⊥ ，垂足为点 ，若| | =
2
| |，则( )
A. = 1 B. 直线 的斜率为±√ 3
C. | | = 3 D. 点 到 轴的距离为√ 3
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若随机变量 X~N(0,1),且 P(X>1)=p,则 P(-1≤X<0)=0.5-p
B. 若随机事件 A,B 满足 P(AB)=0.36,P(B)=0.73,则 P( B)=0.64
2036
C. 若随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= (a∈R,i=1,2, ,10),则 E(X)= 2 1023
D. 若随机变量 Y~B(10,0.8),则当 P(Y=k)取得最大值时,k=9
11.下面四个图案中，能用如图样式的一组七巧板拼出来的有( )
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A. B.
C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.(3 )6的展开式中含 2项的系数为 . (用数字作答)

13.杜老师对本班学生在一模考试中的数学成绩与语文成绩进行统计，得到如下信息：随机取一名学生，数
1 1 3
学成绩优秀的概率为 ，语文成绩优秀的概率为 ，数学成绩和语文成绩均未达到优秀的概率为 ，则该班学
6 7 4
生在数学成绩优秀的条件下，语文成绩也优秀的概率为 ．
14.已知函数 ( ) = ln + 1 + ln2( > 0)， ( ) = ln 2 ，若 1， 2 ∈ (0,+∞)， ( 1) + ( 2) < 0
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
小明为了了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，
得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 110
合计 80 200
(1)求 ， ;
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(2)在所有喜欢蛇年春晚小品类节目的观众中随机选1人，记该观众是男性观众的概率为 ，求出 的估计值;
(3)根据小概率值 = 0.010的独立性检验，能否认为性别因素与喜欢与否有关联
2
( )
附： 2 = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题15分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且2 + = 2 ．
(1)证明：{ 1}是等比数列;
(2)求{ }的通项公式;
1 9 3
(3)已知 = ，求数列{ }的前 项和 ，并证明： ≤ < ． 3 +1 16 4
17.(本小题15分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1( , 0)， 2( , 0)，左顶点为 ，上顶点为 ，且 是 1
线段 2上靠近点 的三等分点，△ 1 2的面积为√ 3．
(1)求 的方程;

(2)过点 ( , 0)作斜率不为零的直线 交 于 ， 两点，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值，并求出
2
该定值．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ln 2 + ( ∈ )．
(1)当 = 0时，求曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程;
(2)当 = 1时，求 ( )的零点个数;
(3)若 ( )有两个极值点 1， 2( 1 < 2)，证明：当 ≥ 1时，ln 1 + ln 2 > 1 + ．
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19.(本小题17分)
如图，四棱柱 1 1 1 1中， 1 = = 2．
(1)若四边形 为菱形， ∩ = ， 1 = ，∠ 1 = ∠ 1 ．
①证明： 1 ⊥平面 1 1;
1
②若四边形 1 1的面积为 ，证明：四棱柱 1 1 1 1的体积 = 1 ; 2
1 1(2)若∠ = 60 ，cos∠ 1 = ，cos∠ 1 = ， = 3，求点 到平面 1 的距离． 4 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1215
5
13.【答案】
14
14.【答案】(0, )
15.【答案】解：(1)由列联表可知， = 80 45 = 35， = 200 80 = 120．
(2)由列联表可知，喜欢蛇年春晚小品类节目的观众共计120人，其中男性有45人，
45 3 3
而 = ，故 的估计值为 ．
120 8 8
(3)补全2 × 2列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 75 35 110
合计 120 80 200
零假设为 0:性别因素与喜欢与否无关联，
2
200(45×35 75×45)
根据列联表中的数据，得 2 = ≈ 6.818 > 6.635 = ，
90×110×120×80 0.010
依据小概率 = 0.010的独立性检验，可推断 0不成立，即可以认为性别因素与喜欢与否有关联．
16.【答案】(1)证明：因为2 + = 2 ，
2
所以当 = 1时，2 1 + 1 = 2，即2 1 + 1 = 2，所以 1 = ． 3
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当 ≥ 2时，2 1 + 1 = 2( 1)，
1 2
两式相减，得2 + 1 = 2，即 = 3 1
+ ，
3
1
所以 1 = ( 1 1)( ≥ 2)， 3
1
又 1 1 = ≠ 0， 3
1 1
所以{ 1}是以 为首项，以 为公比的等比数列． 3 3
1 1 1
(2)解：由(1)知， 1 = ( ) × ( )
1 = ，
3 3 3
1
所以 = 1 ． 3
1 1 3 +1 3 1 1
(3)解：由(2)，得 = 3
=
1 1
= = ( )，
+1 3 (1 )(1 +1) (3 1)(3
+1 1) 2 3 1 3 +1 1
3 3
3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1
所以 = ( 1 2 ) + ( 2 3 ) + ( 3 4 ) + + ( ) 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 3 +1 1
3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1
= (
2 2 32
+ +
1 32 1 33 1 33 1 34
+ + ) = ( )，
1 3 1 3 +1 1 2 2 3 +1 1
1
因为 ∈ ， +1 > 0， 3 1
3 1 1 3
所以 = ( ) < ， 2 2 3 +1 1 4
1
又 +1 = +1 = +1 > 0， 3 +1 +2
所以{ }是递增数列，
1 9
所以 ≥ 1 = 1 = 1 1 = ，
3×(1 1)(1 )
16
3 32
9 3
所以 ≤ < ．
16 4
+ = 3( ) = 2
17. 1【答案】解：(1)由题意，得{ 2 = √ 3 ,解得{ = √ 3,
2
2 2 = 2 = 1
2 2
所以 的方程为 + = 1．
4 3
1
(2)证明：由(1)，得 ( 2,0)， ( , 0)．
2
1
因为直线 的斜率不为0，故设直线 : = + ，
2
1
= +
2 45
联立{ 2 2
2 2
，消去 并整理，得(3 + 4) + 3 = 0，
4
+ = 1
4 3
显然，该方程的判别式 > 0，
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设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
3 45
则 1 + 2 = ， = ， 3 2+4 1 2 4(3 2+4)

又 ( 2,0)，所以 ， 的斜率分别为 =
1 = 1
+2 5
，
1 1+2

= 2 2 = 2 +2 5 2 + 2

所以 1 2 = 5 5
1+ 2 2+2
1 = 2
2
5 25
1 2+ ( 2 1
+ 2) + 4
45

4(3 2 +4)
=
45 2 5 3 25
+ · ( ) +
4(3 2 +4) 2 3 2 +4 4
45 9
= = ．
45 2 30 2+25(3 2+4) 20
9
所以直线 与直线 的斜率之积为定值 ．
20
18.【答案】(1)解：当 = 0时， ( ) = ln ，所以 ( ) = 0， ′( ) = ln + 1 1 = ln ，
所以 ′( ) = 1，所以曲线 = ( )在点( , ( )处的切线斜率 = 1，
所以曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程为 = ，即 = 0．
(2)解：当 = 1时， ( ) = ln 2 + 1，定义域为(0,+∞)，
′( ) = ln + 1 2 1 = ln 2 ，
1 1 2
令 ( ) = ′( ) = ln 2 ，则 ′( ) = 2 = ( > 0)，

1 1
当0 < < 时， ′( ) > 0，当 > 时， ′( ) < 0，
2 2
1 1
所以 ( )在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减，
2 2
1
所以 ′( )max = ( )max = ( ) = ln2 1 < 0， 2
所以 ′( ) < 0，所以 ( )在(0,+∞)上单调递减，
2 5 2
1 2 1 ( 1) 2 ( 1) 2 1
又 (1) = 1 < 0， ( ) = 1 = > 22 2 2 = 2 > 0， 4
1
所以存在唯一的 0 ∈ ( , 1)，使得 ( 0) = 0．
又 ( )在(0,+∞)上单调递减，所以当 = 1时， ( )的零点个数为1．
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(3)证明： ( )的定义域为(0,+∞)， ′( ) = ln 2 ，
因为 ( )有两个极值点 1， 2( 1 < 2)，
所以 ′( ) = ln 2 = 0有两个相异实根 1， 2( 1 < 2)，
所以ln 1 = 2 1，且ln 2 = 2 2，

ln
1

所以ln 1 = 2 ( )，所以2 = 2
1 2
，
2 1 2
所以，当 ≥ 1时，ln 1 + ln 2 > 1 + 2 1 + 2 2 = 2 ( 1 + 2) > 1 +

1 + ln
1
1 +
2 > 2 >
1 + 2 1 2 1 + 2
1 (1 + )( 1 2)
ln <
2 1 + 2

(1+ )(
1 1)

ln 1 < 2 ， 2 1+ 2
(1+ )( 1)
令 = 1， ∈ (0,1)，即证当 ≥ 1时，ln < 对 ∈ (0,1)恒成立．
2 +
2
(1+ )( 1) ( 1)( )
令 ( ) = ln ， ∈ (0,1)，则 ′( ) =
+ 2
．
( + )
因为0 < < 1， ≥ 1，所以 1 < 0， 2 < 0， ( + )2 > 0，所以 ′( ) > 0，
(1+ )( 1)
所以 ( )在(0,1)上单调递增，所以 ( ) < (1) = 0，即ln < ，
+
所以当 ≥ 1时，ln 1 + ln 2 > 1 + 恒成立．
19.【答案】解：(1)证明： ①因为四边形 为菱形，所以 = ， = ， ⊥ ，
因为∠ 1 = ∠ 1 ， = ， 1 = 1，
所以△ 1 ≌△ 1 ，所以 1 = 1D.
又 是 的中点，所以 1 ⊥ ，
又 ⊥ ， 1 ， 平面 1， 1 ∩ = ，所以 ⊥平面 1，
又 1 平面 1，所以 ⊥ 1 ，
1
在△ 1中，因为 = ， 1 = ，从而 1 = ，所以 1 ⊥ 1C. 2
又 1// 1，所以 1 ⊥ 1，
又 1 ⊥ ， 1， 平面 1 1， 1 ∩ = ，所以 1 ⊥平面 1 1．
②连接 1， 1，因为 1 1// ， 1 1 = ，所以四边形 1 1为平行四边形，
从而 1 与 1互相平分，
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1
又 1 ⊥平面 1 1，所以点 1到平面 1 1的距离为 ， 2 1
1 1 1
从而四棱锥 1 1 1的体积 四棱锥 1 = × = ， 1 1 3 2 1 6 1
因为三棱锥 1 与三棱锥 1 1 1等底等高，
所以 三棱锥 1 = 三棱锥 = ; 1 1 1 三棱锥 1 1 1
又四边形 1 1 为平行四边形，所以 △ 1 = 1 △ 1，
1
从而 三棱锥 = = ， 1 1 1 三棱锥 1 1 2 四棱锥 1 1 1
1
所以 三棱锥 1 = 四棱锥 ， 2 1 1 1
所以四棱柱 1 1 1 1的体积：
1
= 2( 四棱锥 1 1 + 三棱锥 ) = 2( 1 1 四棱锥 1 1 + 1 2 四棱锥 1 1
)
1
1 1
= 3 四棱锥 C. 1 = 3 × = 1 1 6 1 2 1
1 1
(2)因为cos∠ 1 = ，cos∠ 1 = ，∠ = 60
， 1 = = 2， = 3， 4 3
1
所以 = 2 × 2 × = 1，
1
= 2 × 3 × = 2，
1
1 1 = 3 × 2 × = 3， 4 3 2
因为 ， ， 不共面，以{ 1 , , 1}作为一组基底，
= 0,
设平面 1 的一个法向量为 = + + 1，则{
1 = 0,
( + + ) ( ) = 0,
即{ 1
( + + 1) ( 1) = 0.
+ 6 + = 0,
化简，得{ 令 = 1，解得 = 1， = 0，
2 + 7 2 = 0,
所以 = + 1，
2 2
所以 √ 1| | = + + 2| || 1 1|cos∠ 1 = √ 22 + 22 + 2 × 2 × 2 × = √ 10， 4
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2
= ( + ) = + 1 1 = 4 + 1 = 5，
| | 5 √ 10
设点 到平面 1 的距离为 ，则 = = = ． | | √ 10 2
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