2025年天津市部分区高考数学质检试卷（一）（含答案）

2025年天津市部分区高考数学质检试卷（一）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列说法中，不正确的是( )
A. 在，，，，，，，这组数据中，第百分位数为
B. 分类变量与的统计量越大，说明“与有关系”的可信度越大
C. 根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则
D. 两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好
4.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.已知是各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的值是( )
A. B. C. D.
7.函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点若是上的一个动点，满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，复数______．
11.在的展开式中，常数项为 用数字作答
12.已知圆的方程为当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为______．
13.某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则 ______；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为______．
14.在边长为的菱形中，，且，，则 ______；若为线段上的动点，则的最小值为______．
15.已知，函数若关于的方程，恰有个互异的实数解，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
18.本小题分
已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且圆的短轴长为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ已知过原点的直线与椭圆相交于，两点，若直线：上存在点，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程．
19.本小题分
已知为等差数列，其前项和为，满足，且．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设数列满足其中．
记，证明：是等差数列；
求．
20.本小题分
已知函数，，其中．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ是否存在，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
Ⅲ设是函数的极小值点，且，证明：
参考答案
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16.解：Ⅰ因为，，，
所以由余弦定理可得：，
即，解得或舍去．
Ⅱ由正弦定理有：，
所以；
Ⅲ由余弦定理得：，
所以，，
所以
．
17.解：Ⅰ证明：因为底面，底面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，即为平面的一个法向量，
如图以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
可得，，，，，
由为棱的中点，得，
向量，，
故，
又平面，
所以平面；
Ⅱ因为，设平面的法向量为，
则，则，
取，
又平面的法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
Ⅲ因为，
所以点到平面的距离，
即点到平面的距离为．
18.解：Ⅰ因为的准线方程为，
所以的左焦点为，即，
又因为短轴长为，所以，即，所以，
所以椭圆的方程为；
Ⅱ设，，
当直线的斜率为时，：，
此时，分别为椭圆的左、右顶点，不妨设，，
要使是以为底边的等腰直角三角形，则，
所以，，所以，满足题意；
当直线的斜率存在且不为时，设：，
由，得，
所以，所以，
所以，
设的垂直平分线方程为，
由，得，
因为是以为底边的等腰直角三角形，所以，
所以，
化简得，，或舍，所以：，
当的斜率不存在时，：，
此时，分别为椭圆的上、下顶点，设，，
要使三角形是以为底边的等腰直角三角形，那么，
所以，，所以，不合题意．
综上，直线的方程为或．
19.解：Ⅰ设等差数列的公差为，
因为，且，
所以，解得，
所以；
Ⅱ证明：由Ⅰ可知，，又因为其中，
所以其中，
当为奇数时，，
所以，
所以，则，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
令
，
因为，
，
所以．
20.解：Ⅰ由题意，，则，
又，在点处的切线方程是，
即．
Ⅱ由题意，定义域为，
则，
，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
若，即时，在上单调递增，则，不符合题意；
若，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
，解得，不符合题意；
若，即时，在上单调递减，
则，解得，不符合题意；
综上可得，不存在这样的正实数，使得在区间上的最小值为；
Ⅲ证明：依题意，，定义域为，
则，
是函数的极小值点，，，
又，则，
因函数在上单调递减，而当时，，则由得，
令，，则，当在上单调递减，
，，当且仅当时取“”，即，，
，，，
，
，得证．
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