2.1.1 两角和与差的余弦公式（课件+学案+练习共3份）湘教版（2019）必修第二册 第2章

2.1.1　两角和与差的余弦公式
课标要求　1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行求值、计算.
【引入】 同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器计算，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式.
一、两角差的余弦公式
探究1 已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标.
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探究2 如图，设α＝∠xOP，β＝∠xOP′，如何借助所学的向量知识求cos(α－β)的值？
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【知识梳理】
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝________________________，其中α，β∈R，简记为C(α－β).
温馨提示　(1)公式的结构特征
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合，如cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)·cos β＋sin(α＋β)·sin β.
例1 求下列各式的值：
(1)cos 165°；
(2)cos 105°＋sin 105°；
(3).
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思维升华　两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.
训练1 求下列三角函数式的值：
(1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)；
(2)cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°.
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二、两角和的余弦公式
探究3 观察cos(α－β)和cos(α＋β)两者之间的联系，你能发现什么？
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【知识梳理】
两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝________________________，其中α，β∈R，简记为C(α＋β).
温馨提示　注意公式的展开形式，两角和与差的余弦公式展开可简记为“余余正正，符号相反”.
例2 (链接教材P69例3)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α＋β)的值.
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思维升华　给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.
(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β).
训练2 若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ＋φ)的值.
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三、给值求角
例3 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值.
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思维升华　已知三角函数值求角的解题步骤
(1)求所求角的某种三角函数值(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数).
(2)结合三角函数值及角的范围求角.
训练3 已知cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α＜β，求α＋β的值.
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【课堂达标】
1.cos 20°等于(　　)
A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D.sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
2.cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)·sin(x－18°)的值为(　　)
A.－ B.
C. D.－
3.已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第四象限角，则cos(α＋β)＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
4.若sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，则β＝________.
2.1.1　两角和与差的余弦公式
探究1　提示　P(cos α，sin α).
探究2　提示　如图，在OP及OP′上分别取两个单位向量＝a，＝b，
则∠AOB＝α－β就是a与b的夹角.
易知a＝(cos α，sin α)，
b＝(cos β，sin β).
∴a·b＝cos αcos β＋sin αsin β.
(1)若α－β∈[0，π]，则cos〈a，b〉＝cos(α－β)，
∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝cos(α－β)，
即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
(2)若α－β∈[π，2π)，则α－β－2π∈[－π，0)，此时cos〈a，b〉＝cos(α－β－2π)＝cos(α－β).
即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
同理，当α，β为任意角时，总存在适当的整数k，使得α－β－2kπ∈[－π，π)，
此时还有cos〈a，b〉＝cos(α－β－2kπ)
＝cos(α－β).
即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
知识梳理
cos αcos β＋sin αsin β
例1　解　(1)cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝
－cos(45°－30°)＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－.
(2)原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.
(3)原式＝
＝
＝＝cos 15°
＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°
＝.
训练1　解　(1)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]
＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)
＝cos 60°＝.
(2)原式＝cos 15°cos(－105°)＋sin 15°sin(－105°)＝cos[15°－(－105°)]
＝cos(15°＋105°)＝cos 120°＝－.
探究3　提示　我们注意到α－β与α＋β有联系，α＋β＝α－(－β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos α·cos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式.
知识梳理
cos αcos β－sin αsin β
例2　解　∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝－＝－.
又β∈，cos β＝－，
∴sin β＝－＝－.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×
＝.
训练2　解　∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，
∴sin θ＝，
又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.
∵sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，
∴sin φ＝－，
∴cos(θ＋φ)＝cos θcos φ－sin θsin φ
＝×－×＝＋＝.
例3　解　∵α，β∈，且cos α＝，
cos(α＋β)＝－，
∴α＋β∈(0，π)，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
训练3　解　因为0＜α＜，0＜β＜，α＜β，
所以－＜α－β＜0.
又cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝－＝－.
又因为0＜2α＜π，cos 2α＝，
所以sin 2α＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
又0＜α＋β＜π，故α＋β＝.
课堂达标
1.B　[cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.]
2.C　[原式＝cos[(x＋27°)－(x－18°)]＝cos 45°＝.]
3.A　[由条件可得sin α＝，cos β＝，
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β
＝×－×＝.]
4.　[∵sin(π－α)＝sin α＝，0<α<，
∴cos α＝，
又∵0<β<α<，∴0<α－β<，
又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝＝.
又∵0<β<，∴β＝.](共49张PPT)
第2章 2.1　两角和与差的三角函数
2.1.1　两角和与差的余弦公式
课标要求
1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行求值、计算.
引入
同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器计算，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式.
课时精练
一、两角差的余弦公式
二、两角和的余弦公式
三、给值求角
课堂达标
内容索引
两角差的余弦公式
一
探究1 已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标.
提示　P(cos α，sin α).
探究2 如图，设α＝∠xOP，β＝∠xOP′，如何借助所学的向量知识求cos(α－β)的值？
则∠AOB＝α－β就是a与b的夹角.
易知a＝(cos α，sin α)，
b＝(cos β，sin β).
∴a·b＝cos αcos β＋sin αsin β.
(1)若α－β∈[0，π]，则cos〈a，b〉＝cos(α－β)，
∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝cos(α－β)，
即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
(2)若α－β∈[π，2π)，则α－β－2π∈[－π，0)，此时cos〈a，b〉＝cos(α－β－2π)＝cos(α－β).
即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
同理，当α，β为任意角时，总存在适当的整数k，使得α－β－2kπ∈[－π，π)，
此时还有cos〈a，b〉＝cos(α－β－2kπ)
＝cos(α－β).
即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝______________________，其中α，β∈R，简记为C(α－β).
知识梳理
cos αcos β＋sin αsin β
温馨提示
(1)公式的结构特征
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合，如cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)·cos β＋sin(α＋β)·sin β.
例1
(1)cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝
－cos(45°－30°)
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.
思维升华
求下列三角函数式的值：
(1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)；
(2)cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°.
训练1
(1)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)
两角和的余弦公式
二
探究3 观察cos(α－β)和cos(α＋β)两者之间的联系，你能发现什么？
提示　我们注意到α－β与α＋β有联系，α＋β＝α－(－β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos α·cos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式.
知识梳理
两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝______________________，其中α，β∈R，简记为C(α＋β).
cos αcos β－sin αsin β
温馨提示
注意公式的展开形式，两角和与差的余弦公式展开可简记为“余余正正，符号相反”.
例2
思维升华
训练2
给值求角
三
例3
思维升华
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)求所求角的某种三角函数值(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数).
(2)结合三角函数值及角的范围求角.
训练3
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
【课堂达标】
1.cos 20°等于
A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D.sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
√
cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.
√
√
【课时精练】
√
cos 54°cos 24°＋cos 36°sin 24°＝cos 54°cos 24°＋sin 54°sin 24°
√
√
√
√
0
√
√第2章　课时精练15　两角和与差的余弦公式
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分.
一、基础巩固
1.cos 54°cos 24°＋cos 36°sin 24°的值为(　　)
2.已知α为锐角且sin α＝，则cos的值为(　　)
－
3.满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　)
α＝，β＝ α＝，β＝
α＝，β＝ α＝，β＝
4.已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于(　　)
－
5.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　)
－
－
6.已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β＝________.
7.化简：＝________.
8.已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α－β＝________.
9.(13分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.求cos(α－β)的值.
10.(15分)若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，求角α＋β的值.
二、综合运用
11.已知cos＝－，则cos x＋cos等于(　　)
－ ±
－1 ±1
12.已知0＜α＜π，sin＝，则cos α＝________.
13.(17分)已知α，β为锐角，且
＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cos α＝，求cos β的值.
三、创新拓展
14.《周髀算经》中给出了如图所示的弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，则cos(α－β)的值为(　　)
课时精练15　两角和与差的余弦公式
1.B　[cos 54°cos 24°＋cos 36°sin 24°
＝cos 54°cos 24°＋sin 54°sin 24°
＝cos(54°－24°)
＝cos 30°＝.]
2.D　[∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝，
∴cos＝cos α·cos －sin α·sin
＝×－×＝.]
3.B　[由题意得cos αcos β＋sin αsin β＝，
即cos(α－β)＝，∴α－β＝±＋2kπ，k∈Z，
选项B中，α－β＝满足上式.]
4.A　[由题意可得sin α＝，cos α＝，
∴cos＝coscos α＋sinsin α
＝×＋×＝.]
5.A　[∵α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，∴sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.故选A.]
6.0　[cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，
两式相加可得2cos αcos β＝0，
即cos αcos β＝0.]
7.　[原式＝
＝＝.]
8.－　[由条件得sin α＝，sin β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsinβ
＝×＋×＝，
又α－β∈(－，)，∴α－β＝±，
又因为cos α>cos β，α，β均为锐角，
所以α<β，则α－β＝－.]
9.解　依题意得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，
所以sin α＝，sin β＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
10.解　因为<α<，所以－<－α<0，
因为<β<，所以<＋β<，
由已知可得cos＝，
cos＝－.
则cos(α＋β)＝cos
＝coscos
＋sin·sin
＝×＋×＝－.
因为<α＋β<π，所以α＋β＝.
11.C　[∵cos
＝cos xcos＋sin xsin
＝cos x＋sin x＝－.
∴cos x＋cos＝cos x＋cos x·cos
＋sin xsin＝cos x＋sin x
＝＝－×
＝－1，故选C.]
12.　[由0＜α＜π，则＜α＋＜，又sin＝＜，故＜α＋＜π，即位于第二象限，由同角三角函数关系得
cos＝－＝－，
cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝.]
13.解　(1)∵
＝，
∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，
∴cos(α－β)＝.
(2)∵cos α＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角，
∴sin α＝，sin(α－β)＝±.
当sin(α－β)＝时，
cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝.
当sin(α－β)＝－时，
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋
sin αsin(α－β)＝0.
∵β为锐角，∴cos β＝0不合题意，舍去.
∴cos β＝.
14.D　[设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，可得小正方形的边长为，可得cos α－sin α＝①，sin β－cos β＝②.由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，所以①×②得＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin2β＋cos2β－cos(α－β)＝1－cos(α－β)，
解得cos(α－β)＝.]