2025年九年级下学期数学模拟考试试题(适用北师大版)(含答案)

2025年九年级学业水平数学模拟考试试题
（考试时间120分钟 满分150分）
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．下列实数中，无理数是（ ）
A .-3 B .0 C. D .
2．古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件"榫"的实物图，它的主视图是( )
3．新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，具有新技术、新结构，环保安静、平稳舒适，在全球范围逐渐被广泛应用于乘用车和商用领域。据统计，2024年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为( )
A .0.944x107 B .9.44x106 C .9.44x107 D .94.4x106
4．淘淘在"七星小镇"研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为( )
A .36° B .40° C .45° D .60°
甲、乙、丙、丁4个人步行的距离和花费的时间如图，按平均值计算，则走的最慢的是( )
A ．甲 B . 乙 C ．丙 D ．丁
6．下列运算中，正确的是( )
A .a2+a3=a5 B .(-2a2)3=-8a6 C .(a -1)2=a2-1 D .a8÷a4=a2
7．化简﹣的结果是( )
A. B. C. D.
8．中国古代的"四书"是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是( )
A. B. C. D.
9．如图，在四边形 ABCD 中， AD // BC ,∠D =90°, AD =5, BC =4，分别以点 A , C 为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点 E ，作射线 BE 交 AD 于点 F ，交 AC 于点0．若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（ ）
A.3.5 B . C . D .4
10．在平面直角坐标系中，抛物线 y =x2-2mx+3( m 为常数）与 y 轴交于点 A ，过点 A 作 x 轴的平行线与抛物线交于另一点 B ，点 M ( m +2,3)，N (0, m +3)，若抛物线与线段 MN 有且只有一个公共点，则 m 的取值范围是( )
A .0< m ≤2或 m <-2 B .0< m ≤2或 m ≤-2 C .0≤ m ≤2或 m ≤-2 D .0< m ≤2或 m <-2
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．若x2-2x-3=0，则2x2-4x+1= 。
12．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是 。
13．如图，已知 EF // CD , BC = DC ,∠ABF =30°，则∠D 的度数为 。
14．在全民健身越野赛中，甲、乙两选手的行程 y （千米）随时间 x （小时）变化的图象（全程）如图所示，有下列说法：①起跑后1小时内，乙在甲的前面；②甲比乙先到达终点；③第1小时两人都跑了10千米；④1.5小时时，甲、乙相距5千米；⑤两人都跑了20千米．其中正确的说法是 （填序号）
15．如图，在矩形纸片 ABCD 中， AD =12, AB =4，点 E 在线段 BC 上，将△ ECD 沿 DE 向上翻折，点 C 的对应点C' 落在线段 AD 上，点M , N分别是线段 AD 与线段 BC 上的点，将四边形 ABNM 沿 MN 向上翻折，点 B 恰好落在线段 DE 的中点B' 处，则线段 MN 的长为 。
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（7分）计算：（﹣π）0+（﹣）﹣2+2sin45--.
17.(7分）解不等式组，并写出最小整数解．
18.(7分）如图，在菱形 ABCD 中，点E , F 分别是边AB , BC上的点，BE = BF ，求证：∠DEF = ∠DFE .
19.(8分）某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度．如图所示，点 A , B , C 在同一平面内，操控者站在坡度是 i =1:，坡面长6m的斜坡 BC 的底部 C 处遥控无人机，坡顶 B 处的无人机以0.4m/ s 的速度沿仰角α=39°的方向爬升，30s时到达空中的点 A 处．（结果精确到0.1m，参考数据：sin39°≈0.81,cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41,≈1.73）
(1）求此时无人机离点 C 所在地面的高度；
(2）此时，若在距离 C 点4.5m处的点 M 处站着一个人，他正抬头仰望无人机，请问无人机是否在此人头顶的正上方？请说明理由。
20.(8分）如图， BE 是O 的直径，点 A 在⊙O 上，点 C 在 BE 的延长线上，∠EAC =∠ABC , AD
平分∠BAE 交O 于点 D ，连接 DE .
(1）求证：CA 是⊙O 的切线；
(2）当 AC =8, CE =4时，求 DE 的长．
21.(9分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位： h )，随机调查了该校八年级 a 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2.
请根据相关信息，解答下列问题：
(1）填空： a 的值为 ，图1中 m 的值为 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ;
(2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
(3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数为多少？
22.(10分）济南是"老舍"故里，文化底蕴深厚．近年来济南市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的 A 款文创产品和用780元购进的 B 款文创产品数量相同每件 A 款文创产品进价比 B 款文创产品进价多15元．
(1）求A , B两款文创产品每件的进价各是多少元？
(2）已知 A 款文创产品每件售价为100元， B 款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
23.(10分）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍，倍，k 倍？
(1）若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？ (填"存在"或"不存在");
(2）继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？小明同学有以下思路：设新矩形长和宽为 x , y ．根据题意，得 x + y =10, xy =12，联立，但x2-10x+12=0再探究根的情况：小慧同学认为也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：l1:y=- x +10，l2:y=，则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由；
(3）根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的
倍？若存在，用图象表达；
(4）是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的 k 倍？请写出当结论成立时k 的取值范围．
24.(12分）如图，抛物线 y =ax2+ bx + c 与 x 轴交于 A , B 两点，点 A 在点 B 的左边，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为(-2,0)，AO : CO : BO =1:2:3.
(1）如图1，求抛物线的表达式；
(2）如图1，点 D 在直线 BC 上方的抛物线上运动（不含端点B , C )，连接DC , DB ，当四边形ABDC 面积最大时，求出面积最大值和点 D 的坐标；
(3）如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点 E ，连接BE．点 M 为原抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，以B , E , M , N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点 N 的坐标．
25.(12分）
(1)【操作发现】如图1，在矩形 ABCD 和矩形 CEGF 中，=，AB =9, AD =12，小明将矩形 CECF 绕点 C 顺时针转一定的角度，如图2所示．
①问：的值是否变化？若不变，求的值；若变化，请说明理由；
②在旋转过程中，当点 B , E , F 在同一条直线上时，求 AG 的长度；
(2)【类比探究】
如图3，在△ ABC 中， AB = AC =2, ∠BAC =α°, tan∠ABC =，G为 BC 的中点，点D 为平面内一动点，且 DG =，将线段BD绕点D逆时针旋转a得到B’D，则四边形ABB’C面积的最大值为 。
答案
一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．下列实数中，无理数是（ D ）
A .-3 B .0 C. D .
2．古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件"榫"的实物图，它的主视图是( A )
3．新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，具有新技术、新结构，环保安静、平稳舒适，在全球范围逐渐被广泛应用于乘用车和商用领域。据统计，2024年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为( B )
A .0.944x107 B .9.44x106 C .9.44x107 D .94.4x106
4．淘淘在"七星小镇"研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为( C )
A .36° B .40° C .45° D .60°
甲、乙、丙、丁4个人步行的距离和花费的时间如图，按平均值计算，则走的最慢的是( A )
A ．甲 B . 乙 C ．丙 D ．丁
6．下列运算中，正确的是( B )
A .a2+a3=a5 B .(-2a2)3=-8a6 C .(a -1)2=a2-1 D .a8÷a4=a2
7．化简﹣的结果是( C )
A. B. C. D.
8．中国古代的"四书"是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是( B )
A. B. C. D.
9．如图，在四边形 ABCD 中， AD // BC ,∠D =90°, AD =5, BC =4，分别以点 A , C 为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点 E ，作射线 BE 交 AD 于点 F ，交 AC 于点0．若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（ C ）
A.3.5 B . C . D .4
10．在平面直角坐标系中，抛物线 y =x2-2mx+3( m 为常数）与 y 轴交于点 A ，过点 A 作 x 轴的平行线与抛物线交于另一点 B ，点 M ( m +2,3)，N (0, m +3)，若抛物线与线段 MN 有且只有一个公共点，则 m 的取值范围是( C )
A .0< m ≤2或 m <-2 B .0< m ≤2或 m ≤-2 C .0≤ m ≤2或 m ≤-2 D .0< m ≤2或 m <-2
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．若x2-2x-3=0，则2x2-4x+1= 7 。
12．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是 。
13．如图，已知 EF // CD , BC = DC ,∠ABF =30°，则∠D 的度数为 75° 。
14．在全民健身越野赛中，甲、乙两选手的行程 y （千米）随时间 x （小时）变化的图象（全程）如图所示，有下列说法：①起跑后1小时内，乙在甲的前面；②甲比乙先到达终点；③第1小时两人都跑了10千米；④1.5小时时，甲、乙相距5千米；⑤两人都跑了20千米．其中正确的说法是 ③⑤ （填序号）
15．如图，在矩形纸片 ABCD 中， AD =12, AB =4，点 E 在线段 BC 上，将△ ECD 沿 DE 向上翻折，点 C 的对应点C' 落在线段 AD 上，点M , N分别是线段 AD 与线段 BC 上的点，将四边形 ABNM 沿 MN 向上翻折，点 B 恰好落在线段 DE 的中点B' 处，则线段 MN 的长为 。
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（7分）计算：（﹣π）0+（﹣）﹣2+2sin45--.
=1+4+﹣+1﹣2
=4
17.(7分）解不等式组，并写出最小整数解．
解不等式①，得 x ≤8.
解不等式②，得 x ≥
所以不等式组的解集为≤ x ≤8.
所以不等式组的最小整数解为2
18.(7分）如图，在菱形 ABCD 中，点E , F 分别是边AB , BC上的点，BE = BF ，求证：∠DEF = ∠DFE .
证明：∵四边形 ABCD 是菱形
∴AB = BC = CD = AD , ∠A = ∠C
∵BE = BF
∴AE = CF
在△ DAE 和△ DCF 中
∴△ DAE≌△ DCF ( SAS )
∴ DE = DF
∴∠DEF =∠DFE .
19.(8分）某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度．如图所示，点 A , B , C 在同一平面内，操控者站在坡度是 i =1:，坡面长6m的斜坡 BC 的底部 C 处遥控无人机，坡顶 B 处的无人机以0.4m/ s 的速度沿仰角α=39°的方向爬升，30s时到达空中的点 A 处．（结果精确到0.1m，参考数据：sin39°≈0.81,cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41,≈1.73）
(1）求此时无人机离点 C 所在地面的高度；
(2）此时，若在距离 C 点4.5m处的点 M 处站着一个人，他正抬头仰望无人机，请问无人机是否在此人头顶的正上方？请说明理由。
解：(1）如图所示，过点 B 作 BD⊥CD 于点 D ，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E ，过点 B 作 BG⊥AE 于点 G ，则四边形 BDEG 是矩形
∵i=1:, BC =6m
∴tan∠BCD==
∴∠BCD =30°
∴BD = BC·sin∠BCD =3 m
∴EG = BD =3m
∴AB =0.4x30=12m
在 Rt△AGB 中， AG = AB·sin 39°≈12x0.63=7.5
∴AE = AG + GE =7.56+3=10.56≈10.6(m ).
故此时无人机离点 C 所在地面的高度是10.6m.
(2)不在．理由如下：
在Rt△AGB 中，BG = AB·cos 39°≈12x0.78=9.36≈9.4 m
∴DE = BG =9.4 m ．由（1）知，∠BCD =30°,
A 在Rt△BCD 中，CD = BC·cos 30°=3m .
∴DM = CD + CM =3√3+4.5≈9.69≈9.7( m ).
∵DE ≠ DM
∴此时无人机不在此人头顶的正上方．
20.(8分）如图， BE 是O 的直径，点 A 在⊙O 上，点 C 在 BE 的延长线上，∠EAC =∠ABC , AD
平分∠BAE 交O 于点 D ，连接 DE .
(1）求证：CA 是⊙O 的切线；
(2）当 AC =8, CE =4时，求 DE 的长．
(1）证明：如图，连接 OA
∵BE 是⊙O 的直径，
∴∠BAE =90°
∴∠BAO + ∠OAE =90°
∵OA =0B
∴∠ABO = ∠BAO
∵∠EAC = ∠ABC
∴∠CAE = ∠BAO .
∴∠CAE + ∠OAE =90°
∴∠OAC =90°.
∵OA 是⊙O 的半径
∴CA 是⊙O 的切线．
(2）解：∠EAC = ∠ABC , ∠C =∠C
AC _ CE ...84
∴△ABC∽△EAC
∴=
∴BC =16
∴BE =BC - CE =12.
如图，连接 BD ,
AD 平分∠BAE ,∠BAD = ∠EAD .
∵BE 是⊙O 的直径
∴∠BDE =90°.
∴DE=BD=BE =6
21.(9分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位： h )，随机调查了该校八年级 a 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2.
请根据相关信息，解答下列问题：
(1）填空： a 的值为 ，图1中 m 的值为 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ;
(2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
(3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数为多少？
解：(1) a =3÷6%=50
m%=17+50x100%=34%
所以m =34.
在这组数据中，8出现了17次，次数最多，
所以众数是8.
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25,26名学生的时间数据都是8 h
所以中位数是（8+8)÷2=8.
(2)平均数：8.36,
(3)∵在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%,
∴500x30%=150（名）.
∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是 h 的人数为150.
22.(10分）济南是"老舍"故里，文化底蕴深厚．近年来济南市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的 A 款文创产品和用780元购进的 B 款文创产品数量相同每件 A 款文创产品进价比 B 款文创产品进价多15元．
(1）求A , B两款文创产品每件的进价各是多少元？
(2）已知 A 款文创产品每件售价为100元， B 款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
解：(1）设 A 款文创产品每件的进价为 a 元，则 B 款文创产品每件的进价为（ a -15）元，
根据题意，得=
解得 a =80.
经检验， a =80是原分式方程的解，且符合题意．
此时 a -15=80-15=65.
答： A 款文创产品每件的进价80元，则 B 款文创产品每件的进价是65元．
(2）设购进 A 款文创产品 x 件，则购进 B 款文创产品（100- x ）件，总利润为 w ，根据题意，得
80x+65(100- x )≤7400,
解得 x ≤60.
w =(100-80) x +(80-65)(100- x )=5x+1500.
∵k =5>0，w 随 x 的增大而增大，
当 x =60时，利润最大，w =5x60+1500=1800.此时100- x =100-60=40.
答：购进A款文创产品60件，B款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元．
23.(10分）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍，倍，k 倍？
(1）若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？ (填"存在"或"不存在");
(2）继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？小明同学有以下思路：设新矩形长和宽为 x , y ．根据题意，得 x + y =10, xy =12，联立，但x2-10x+12=0再探究根的情况：小慧同学认为也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：l1:y=- x +10，l2:y=，则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由；
(3）根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的
倍？若存在，用图象表达；
(4）是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的 k 倍？请写出当结论成立时k 的取值范围．
解：(1）假定正方形的周长为8，面积为4,若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8,对应的边长为4和2√2，不符合题意．所以不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．故答案为不存在．
(2）小明同学思路：设新矩形长和宽为 x , y ，则依题意，得 x + y =10, xy =12,
联立得x2-10x+12=0
∵ =(-10)2-4x1x12>0,
∴此方程有两个不相等的解．
∴存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的2倍。
小慧同学思路：从图象看来，函数 y =- x +10和函数y =图象在第一象限有两个交点
所以存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
(3）设新矩形长和宽为 x , y ，则依题意，得 x + y =2.5, xy =3,
联立
∵△=(-5)2-4x2x6=-23<0，此方程无解．
∴不存在一个新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍。
(4）设新矩形长和宽为 x , y ，则依题意，得 x + y =5k, xy =6k,
联立
∵△=(-5k)2-4x1x6k=25k2-24k.
设方程的两根为x1,x2
当△≥0，即25k2-24k≥0时，
x1+ x2=5k>0, x1·x2=6k>0,
解得 k ≥或 k ≤0（舍）.
∴当 k ≥时，存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的 k 倍
24.(12分）如图，抛物线 y =ax2+ bx + c 与 x 轴交于 A , B 两点，点 A 在点 B 的左边，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为(-2,0)，AO : CO : BO =1:2:3.
(1）如图1，求抛物线的表达式；
(2）如图1，点 D 在直线 BC 上方的抛物线上运动（不含端点B , C )，连接DC , DB ，当四边形ABDC 面积最大时，求出面积最大值和点 D 的坐标；
(3）如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点 E ，连接BE．点 M 为原抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，以B , E , M , N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点 N 的坐标．
解：(1) A (-2,0), AO : CO : BO =1:2:3
∴B (6,0), C (0,4).
将 A (-2,0), B (6,0), C (0,4）代入 y =ax2+ bx + c
得解得
∴y=﹣x2+ x + 4
（2）t=3时，四边形ABDC面积最大，是25.此时D（3，5）
（3）（7，4）或（7，1）或（5，﹣）或（﹣1，）
25.(12分）
(1)【操作发现】如图1，在矩形 ABCD 和矩形 CEGF 中，=，AB =9, AD =12，小明将矩形 CECF 绕点 C 顺时针转一定的角度，如图2所示．
①问：的值是否变化？若不变，求的值；若变化，请说明理由；
②在旋转过程中，当点 B , E , F 在同一条直线上时，求 AG 的长度；
(2)【类比探究】
如图3，在△ ABC 中， AB = AC =2, ∠BAC =α°, tan∠ABC =，G为 BC 的中点，点D 为平面内一动点，且 DG =，将线段BD绕点D逆时针旋转a得到B’D，则四边形ABB’C面积的最大值为 。
（1）如图，连接CG
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=90°，AD=BC=12
∵AB=9
∴AC=5
∵∠ACB=∠ECG
∴∠BCE=∠ACG
∴△ACG∽△BCE
∴==
（2）AG=6﹣4或6+4
（3）24