期末综合评价卷 （含答案） 2024-2025数学北师大版九年级下册

一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知tan A=,∠A是锐角,则∠A的度数为(　A　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.若函数y=(m-3)+5是关于x的二次函数,则m=(　A　)
A.-3 B.3 C.3或-3 D.2
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC∶AB=12∶13,则tan A的值是(　A　)
A. B. C. D.
4.关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是(　D　)
A.其图象的对称轴在y轴的右侧
B.其图象与y轴的交点坐标为(0,8)
C.其图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)
D.y的最小值为-9
5.如图所示,在由边长相同的小正方形组成的正方形网格中,以格点O为圆心画圆,使该圆经过格点A,B,并在点A,B的右侧圆弧上取一点C,连接AC,BC,则sin C的值为(　D　)
A. B. C.1 D.
6.如图所示,A,B,C,D四点均在☉O上,∠AOD=68°,AO∥DC,则∠B的度数为(　C　)
A.40° B.60° C.56° D.68°
7.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-4,0),其对称轴为直线x=-1,结合图象给出下列结论:①abc<0;②4a+2b+c>0;③3b+
2c>0;④a-b≥am2+bm.
其中正确的结论有(　B　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图所示,若☉O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆,则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为(　A　)
A.2∶3 B.∶1
C.∶ D.1∶
9.如图所示,从观景塔底中心D处水平向前走14米到点A处,再沿着坡度为0.75的斜坡走一段距离到达B点,此时回望观景塔,更显气势宏伟,在B点观察到观景塔顶端E的仰角为45°,再往前沿水平方向走27米到C处,观察到观景塔顶端E的仰角是22°,则观景塔的高度DE约为(　A　)
(参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
A.21米 B.24米 C.36米 D.45米
10.如图所示,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,有下列结论:①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③BC平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是(　B　)
A.②④⑤⑥ B.①③④⑤
C.②③④⑥ D.①③⑤⑥
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图所示,△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,则cos A的值是　　.
12.如图所示,☉O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,则CE的长为　2　.
13.为了在体育中考中取得更好的成绩,小豪积极训练,体育老师对小豪投掷实心球的录像进行技术分析,如图所示,发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为y=-(x-4)2+2,由此可知小豪此次投掷的成绩是　9　m.
14.如图所示,在△ABC中,O为BC边上的一点,以O为圆心的半圆分别与AB,AC相切于点M,N.已知∠BAC=120°,AB+AC=16,的长为π,则图中阴影部分的面积为　24-3-3π　.
15.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2x-2相交于点A(m,4),
B(n,-2),则关于x的方程ax2+bx+c=2x-2的解为　x1=3,x2=0　.
16.如图所示,在☉O中,AB为直径,BD为弦,点C为的中点,以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E.
(1)若∠A=30°,AB=6,则的长是　2π　 (结果保留π);
(2)若=,则=　　 .
三、解答题(共96分)
17.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在边BC上,AD=BD=5,sin∠ADC=,求tan∠ABC的值.
解:在Rt△ADC中,∠C=90°,
由sin∠ADC==,AD=5,得AC=4.
由勾股定理,得CD==3,
∴BC=CD+DB=3+5=8,
∴tan∠ABC===.
18.(8分)如图所示,四边形ABCD的四个顶点都在☉O上,DB平分∠ADC,连接OC,且OC⊥BD.
(1)求证:AB=CD;
(2)若CD=5,BD=8,求☉O的半径.
(1)证明:∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB,∴=.
∵OC⊥BD,∴=,
∴=,∴AB=CD.
(2)解:如图所示,连接OB,设OC与BD交于点E.
∵OC⊥BD,BD=8,∴BE=DE=×8=4,
∴CE===3.
设☉O的半径为r,则OE=r-3.
∵OB2=OE2+BE2,
∴r2=42+(r-3)2,
解得r=,
∴☉O的半径是.
19.(10分)如图所示,二次函数y1=2x2+bx+c的图象与x轴有两个交点,其中一个交点为A(-1,0),且图象过点B(1,2),过A,B两点作直线AB.
(1)求该二次函数的表达式,并用顶点式来表示.
(2)将二次函数y1=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位长度,得函数y2=　　　　　　　　的图象;
函数y2的图象与坐标轴的交点坐标为　　　　　　　　.
(3)在(2)的条件下,将直线AB向下平移n(n>0)个单位长度后与函数y2的图象有唯一交点,求n的值.
解:(1)将点A(-1,0),点B(1,2)的坐标代入抛物线表达式,得
解得
∴抛物线表达式为y=2x2+x-1=2(x+)2-.
(2)2(x+)2-　 (-,0),(-2,0)
(3)设直线AB的表达式为y=kx+m,将A(-1,0),B(1,2)两点的坐标代
入,得
解得
∴直线AB的表达式为y=x+1.
将直线AB向下平移n(n>0)个单位长度后所得的直线的表达式为y=x+1-n.
由2(x+)2-=x+1-n整理,得2x2+4x+n+1=0.
∵直线AB平移后的直线与抛物线有唯一交点,∴Δ=16-4×2(n+1)=0,解得n=1.
20.(10分)在平面直角坐标系中,函数y=-x2+bx+c的图象过点A
(m,0),B(m+3,0).
(1)当m=1时,求该函数的表达式;
(2)求证:该函数的图象必过点(m+1,2);
(3)求该函数的最大值.
(1)解:当m=1时,A(1,0),B(4,0),
∴该函数表达式为y=-(x-1)(x-4),
即y=-x2+5x-4.
(2)证明:该函数表达式为y=-(x-m)(x-m-3),
当x=m+1时,y=-(m+1-m)(m+1-m-3)=2,
∴该函数的图象必过点(m+1,2).
(3)解:∵y=-(x-m)(x-m-3)=-x2+(2m+3)x-m2-3m=-(x-)2+,
∴当x=时,二次函数有最大值,最大值为.
21.(10分)(遂宁中考)数学兴趣小组到一公园测量塔的高度.如图所示,塔的剖面和台阶的剖面在同一平面内,在台阶底部点A处测得塔顶端点E的仰角∠GAE=50.2°,台阶AB长26米,台阶坡面AB的坡度i=5∶12,然后在点B处测得塔顶端点E的仰角∠EBF=63.4°,则塔的高度EF约为多少米
(参考数据:tan 50.2°≈1.20,tan 63.4°≈2.00,sin 50.2°≈0.77,sin 63.4°≈0.89)
解:如图所示,延长EF交AG于点H,则EH⊥AG,过点B作BP⊥AG于点P,则四边形BFHP是矩形,
∴FB=PH,FH=PB.
∵坡面AB的坡度i=5∶12,∴可以设BP=5x米,则AP=12x米.
∵PB2+PA2=AB2,∴(5x)2+(12x)2=262,
∴x=2或x=-2(舍去),
∴FH=PB=10米,AP=24米.
设EF=a米,BF=b米.
∵tan∠EBF=,∴=tan 63.4°≈2,∴a≈2b①.
∵tan∠EAH==,∴=tan 50.2°≈1.2②.
由①②得a≈47,b≈23.5.
答:塔的高度EF约为47米.
22.(12分)如图所示,现打算用60 m长的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD(含隔离栏EF),菜园的一面靠墙MN,墙MN可利用的长度为
39 m.(篱笆的宽度忽略不计)
(1)菜园面积可能为252 m2吗 若可能,求边AB的长;若不可能,说明
理由.
(2)因场地限制,菜园的宽度AB不能超过8 m,求该菜园面积的最大值.
解:(1)可能.理由:设AB的长为x m,则BC的长为(60-3x)m.
根据题意,得x(60-3x)=252,解得x=6或x=14.
当x=6时,60-18=42>39,舍去;
当x=14时,60-42=18<39,满足题意.
∴菜园面积可能为252 m2,此时边AB的长为14 m.
(2)设AB的长为x m,菜园面积为y m2.
由题意,得y=x(60-3x)=-3x2+60x=-3(x-10)2+300.
∵-3<0,∴当x<10时,y随x的增大而增大.
∵x≤8,∴当x=8时,y最大,最大值为288.
∴该菜园面积的最大值为288 m2.
23.(12分)如图所示,AB为☉O的直径,点C在☉O上,∠ACB的平分线交☉O于点D,过点D作DE∥AB,交CB的延长线于点E.
(1)求证:ED是☉O的切线;
(2)若AC=3,BC=,求BD,CD的长.
(1)证明:连接OD,如图所示.
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠ACD=∠BCD,
∴∠AOD=∠BOD.
∵AB为☉O的直径,
∴∠AOD=∠BOD=×180°=90°,
∴OD⊥AB.
∵DE∥AB,∴OD⊥DE.
∵OD为☉O的半径,
∴ED是☉O的切线.
(2)解:∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.
∵AC=3,BC=,
∴AB==2.
∵∠ACD=∠BCD,
∴=,
∴AD=BD=AB=.
过点B作BH⊥CD于点H,如图所示.
∵∠BCD=∠ACB=45°,
∴BH=CH=BC=1,
∴DH==3,
∴CD=CH+DH=1+3=4.
24.(12分)如图所示的是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图,底座的高AB为5 cm,宽MN为10 cm,点A是MN的中点,连杆BC,CD的长度分别为18.5 cm和15 cm,∠CBA=150°,且连杆BC,CD与AB始终在同一平面内.
(1)求点C到水平桌面的距离(结果保留根号);
(2)产品说明书提示,若点D与点A的水平距离超过AN的长度,则该支架会倾倒,现将∠DCB调节为80°,此时支架会倾倒吗 (参考数据:
tan 20°≈0.36,tan 70°≈2.75,sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94)
解:(1)如图所示,过点C作CE⊥NM交NM的延长线于点E,过点B作BF⊥CE于点F.
∵∠CBF=∠CBA-∠FBA=150°-90°=60°,
∴sin∠CBF=sin 60°==,
∴CF= cm,
∴CE=CF+EF=CF+AB= cm.
∴点C到水平桌面的距离是 cm.
(2)如图所示,过点D作DK⊥FB交FB的延长线于点K,过点C作CH⊥DK于点H.
∵∠DCH=∠DCB-∠HCB=80°-60°=20°,
∴cos∠DCH=cos 20°==≈0.94,
∴FK=CH≈14.1 cm.
∵∠BCF=30°,∴BF=BC=9.25 cm,
∴BK=FK-BF≈4.85 cm.
∵MN=10 cm,A为MN中点,
∴AN=MN=5 cm.
∵AN>BK,∴此时支架不会倾倒.
25.(14分)如图所示,抛物线的顶点为A(0,2),且经过点B(2,0).以坐标原点O为圆心的圆的半径r=,OC⊥AB于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求证:直线AB与☉O相切;
(3)已知P为抛物线上一动点,线段PO交☉O于点M,当以M,O,A,C为顶点的四边形是平行四边形时,求PM的长.
　　　
备用图
(1)解:∵抛物线的顶点为A(0,2),∴可设抛物线的表达式为y=ax2+2.
∵抛物线经过点B(2,0),∴4a+2=0,解得a=-,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2.
(2)证明:∵A(0,2),B(2,0),∴OA=OB=2,∴AB=2.
∵OC⊥AB,∴OA·OB=AB·OC,∴×2×2=×2OC,解得OC=.
∵☉O的半径r=,∴OC是☉O的半径,∴直线AB与☉O相切.
(3)解:∵点P在抛物线y=-x2+2上,∴设P.
由题意,得AC=OM=,CM=OA=2.
∵OA=OB,OC⊥AB,∴点C是AB的中点,∴C(1,1),∴M(1,-1).
设直线OM的表达式为y=kx,
将M(1,-1)代入,得k=-1,∴直线OM的表达式为y=-x.
∵点P在OM上,∴-x2+2=-x,
解得x1=1+,x2=1-,∴y1=-1-,y2=-1+,
∴P1(1+,-1-),P2(1-,-1+).
如图所示,当点P位于点P1位置时,
OP1==×(1+)=+.
∴P1M1=OP1-OM1=+-=.
当点P位于点P2位置时,同理可得OP2=-.
∴P2M2=OP2-OM2=--=-2.
综上所述,PM的长是或-2.一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知tan A=,∠A是锐角,则∠A的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.若函数y=(m-3)+5是关于x的二次函数,则m=( )
A.-3 B.3 C.3或-3 D.2
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC∶AB=12∶13,则tan A的值是( )
A. B. C. D.
4.关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是( )
A.其图象的对称轴在y轴的右侧
B.其图象与y轴的交点坐标为(0,8)
C.其图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)
D.y的最小值为-9
5.如图所示,在由边长相同的小正方形组成的正方形网格中,以格点O为圆心画圆,使该圆经过格点A,B,并在点A,B的右侧圆弧上取一点C,连接AC,BC,则sin C的值为( )
A. B. C.1 D.
6.如图所示,A,B,C,D四点均在☉O上,∠AOD=68°,AO∥DC,则∠B的度数为( )
A.40° B.60° C.56° D.68°
7.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-4,0),其对称轴为直线x=-1,结合图象给出下列结论:①abc<0;②4a+2b+c>0;③3b+
2c>0;④a-b≥am2+bm.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图所示,若☉O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆,则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为( )
A.2∶3 B.∶1
C.∶ D.1∶
9.如图所示,从观景塔底中心D处水平向前走14米到点A处,再沿着坡度为0.75的斜坡走一段距离到达B点,此时回望观景塔,更显气势宏伟,在B点观察到观景塔顶端E的仰角为45°,再往前沿水平方向走27米到C处,观察到观景塔顶端E的仰角是22°,则观景塔的高度DE约为( )
(参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
A.21米 B.24米 C.36米 D.45米
10.如图所示,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,有下列结论:①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③BC平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( )
A.②④⑤⑥ B.①③④⑤
C.②③④⑥ D.①③⑤⑥
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图所示,△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,则cos A的值是 .
12.如图所示,☉O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,则CE的长为 .
13.为了在体育中考中取得更好的成绩,小豪积极训练,体育老师对小豪投掷实心球的录像进行技术分析,如图所示,发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为y=-(x-4)2+2,由此可知小豪此次投掷的成绩是 m.
14.如图所示,在△ABC中,O为BC边上的一点,以O为圆心的半圆分别与AB,AC相切于点M,N.已知∠BAC=120°,AB+AC=16,的长为π,则图中阴影部分的面积为 .
15.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2x-2相交于点A(m,4),
B(n,-2),则关于x的方程ax2+bx+c=2x-2的解为 .
16.如图所示,在☉O中,AB为直径,BD为弦,点C为的中点,以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E.
(1)若∠A=30°,AB=6,则的长是 (结果保留π);
(2)若=,则= .
三、解答题(共96分)
17.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在边BC上,AD=BD=5,sin∠ADC=,求tan∠ABC的值.
18.(8分)如图所示,四边形ABCD的四个顶点都在☉O上,DB平分∠ADC,连接OC,且OC⊥BD.
(1)求证:AB=CD;
(2)若CD=5,BD=8,求☉O的半径.
19.(10分)如图所示,二次函数y1=2x2+bx+c的图象与x轴有两个交点,其中一个交点为A(-1,0),且图象过点B(1,2),过A,B两点作直线AB.
(1)求该二次函数的表达式,并用顶点式来表示.
(2)将二次函数y1=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位长度,得函数y2= 的图象;
函数y2的图象与坐标轴的交点坐标为 .
(3)在(2)的条件下,将直线AB向下平移n(n>0)个单位长度后与函数y2的图象有唯一交点,求n的值.
20.(10分)在平面直角坐标系中,函数y=-x2+bx+c的图象过点A
(m,0),B(m+3,0).
(1)当m=1时,求该函数的表达式;
(2)求证:该函数的图象必过点(m+1,2);
(3)求该函数的最大值.
21.(10分)(遂宁中考)数学兴趣小组到一公园测量塔的高度.如图所示,塔的剖面和台阶的剖面在同一平面内,在台阶底部点A处测得塔顶端点E的仰角∠GAE=50.2°,台阶AB长26米,台阶坡面AB的坡度i=5∶12,然后在点B处测得塔顶端点E的仰角∠EBF=63.4°,则塔的高度EF约为多少米
(参考数据:tan 50.2°≈1.20,tan 63.4°≈2.00,sin 50.2°≈0.77,sin 63.4°≈0.89)
22.(12分)如图所示,现打算用60 m长的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD(含隔离栏EF),菜园的一面靠墙MN,墙MN可利用的长度为
39 m.(篱笆的宽度忽略不计)
(1)菜园面积可能为252 m2吗 若可能,求边AB的长;若不可能,说明
理由.
(2)因场地限制,菜园的宽度AB不能超过8 m,求该菜园面积的最大值.
23.(12分)如图所示,AB为☉O的直径,点C在☉O上,∠ACB的平分线交☉O于点D,过点D作DE∥AB,交CB的延长线于点E.
(1)求证:ED是☉O的切线;
(2)若AC=3,BC=,求BD,CD的长.
24.(12分)如图所示的是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图,底座的高AB为5 cm,宽MN为10 cm,点A是MN的中点,连杆BC,CD的长度分别为18.5 cm和15 cm,∠CBA=150°,且连杆BC,CD与AB始终在同一平面内.
(1)求点C到水平桌面的距离(结果保留根号);
(2)产品说明书提示,若点D与点A的水平距离超过AN的长度,则该支架会倾倒,现将∠DCB调节为80°,此时支架会倾倒吗 (参考数据:
tan 20°≈0.36,tan 70°≈2.75,sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94)
25.(14分)如图所示,抛物线的顶点为A(0,2),且经过点B(2,0).以坐标原点O为圆心的圆的半径r=,OC⊥AB于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求证:直线AB与☉O相切;
(3)已知P为抛物线上一动点,线段PO交☉O于点M,当以M,O,A,C为顶点的四边形是平行四边形时,求PM的长.
　　　
备用图